1、二次函数与一元二次方程导学案二次函数与一元二次方程之间的联系1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：x一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特20axbc2yabc0y殊情况.图象与 轴的交点个数：x 当 时，图象与 轴交于两点 ，其240bacx120AxB， ， ， 12()x中的 是一元二次方程 的两根这两点间的距离12x， 20bca. 214bacAB 当 时，图象与 轴只有一个交点；0x 当 时，图象与 轴没有交点.当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；1ax0y当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 20x 2. 抛物线 的图象
2、与 轴一定相交，交点坐标为 ， ； 2yxbcy()c3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x例：二次函数 232 与 x 轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由: 根据图象的位置判断二次函数中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ，abca， 的符号判断图象的位置，要数形结合；bc 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.x总结：一元二次方程 的实数根就是对应的二次函数02cbxa与cbxay2xy ( , )( , )O xy( , )Ox
3、yO轴交点的 .x二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）21、二次函数 cbxay2与 一元二次方程 02cbxa与 轴有 个交点 0，方程有 的cb42实数根是 .与 轴有 个交点这个交点是 点0，方程有 的acb42实数根是 .与 轴有 个交点 0，方程 实数根.acb42二次函数 与 轴交点坐标是 .cbxay2y经典例题讲解【例 1】已知：关于 x的方程 23(1)230mxx求证： 取任何实数时，方程总有实数根；若二次函数 21()yxx的图象关于 y轴对称求二次函数 的解析式；已知一次函数 2yx，证明：在实数范围内，对于 x的同一个值，这两个函数所对应的函
4、数值 12 均成立；在条件下，若二次函数 23yaxbc的图象经过点 (50)小，且在实数范围内，对于 x的同一个值，这三个函数所对应的函数值 132y ，均成立，求二次函数 23yaxbc的解析式【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0 和 M0 两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于 Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为 0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数 2y恰好是抛物线 1y的一条
5、切线，只有一个公共点（1，0） 。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将 3y用只含 a 的表达式表示出来,再利用 132y ,构建两个不等式,最终分析出 a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.【解析】解：（1）分两种情况：当 0m时，原方程化为 03x，解得 1x， （不要遗漏）当 ，原方程有实数根. 当 时，原方程为关于 x的一元二次方程， 22231436930mm . 原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于 0 就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综
6、上所述， m取任何实数时，方程总有实数根. （2）关于 x的二次函数 32)1(321 mxmxy的图象关于 y轴对称， 0)1(3.（关于 Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为 0）m.抛物线的解析式为 121xy. 221 0yx， （判断大小直接做差） 2 （当且仅当 1时，等号成立）. （3）由 知，当 x时， 20y. 1y、 2的图象都经过 1,0. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）对于 x的同一个值， 32y ，23yabc的图象必经过 1,0. 又 x经过 5,， 2314yaax. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设 )2(2 )52()4(axax.对于 x的
7、同一个值，这三个函数所对应的函数值 13y 均成立， 320y ，图7-1-2-3-3 -2 -1-4-5-6 21123 2(4)(25)0yaxa .又根据 1、 的图象可得 ，24(25)(4)0aay小 .（a0 时,顶点纵坐标就是函数的最小值）2()(). 310a .而2().只有 013a，解得13a.抛物线的解析式为542xy. 【例 2】关于 x的一元二次方程 2(1)(2)10mxx.（1）当 m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点 1A， 是抛物线 2()()yxx上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点 B与点 A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与
8、抛物线只交于点 B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线 y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为 y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于 x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.【解析】：（1）由题意得 24(1)0m（ ）解得5420m解得 1 当54且 时，方程有两个不相等的实数根 . （2）由题意
9、得21()1m解得 3m， （舍） (始终牢记二次项系数不为 0)2810yx（3）抛物线的对称轴是58x由题意得14B，(关于对称轴对称的点的性质要掌握)x与抛物线有且只有一个交点 B (这种情况考试中容易遗漏)另设过点 B的直线 ykxb（ 0）把14B，代入 ykxb，得14k，14bkykx28104ykx整理得218(0)204kx有且只有一个交点，1()8(2)04kk解得 6k 12yx综上，与抛物线有且只有一个交点 B的直线的解析式有14x，162yx【例 3】已知 P（ 3,m)和 Q（1， ）是抛物线 2yb上的两点（1）求 b的值；（2）判断关于 x的一元二次方程 21x
10、b=0 是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线 21yb的图象向上平移 k（ 是正整数）个单位，使平移后的图象与 x轴无交点，求 k的最小值【例 4】已知关于 的一元二次方程 2410x有实数根， k为正整数.（1）求 k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x的二次函数41yx的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线 12yxbk与此图象有两个公共点时， b的取值范围 . 【思路分析】去年中
11、考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于 0加上 k 为正整数的条件求 k 很简单.第二问要分情况讨论当 k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去 8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.解：（1）由题意得， 168()0k 3k 为正整数， 12k， ， （2）当 时，方程 2410xk有一个根为零；当 k时，方程 无整数根；当 3时，方程 2xk有两个非零的整数根综上所述， 1k和 不合题意，舍去； 3k符合题意当 时，二次函数为24yx，把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象的解析式为246yx（3）设二次函数2x的图象与 x轴交于AB、两点，则 (30)， ， (1)B， 依题意翻折后的图象如图所示当直线12yxb经过 A点时，可得32b；当直线 经过 B点时，可得1由图象可知，符合题意的 (3)b的取值范围为32bA O xy86422 468B
