1、带电球体电场与电势的分布王峰（南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006）在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“ ”和“ ”的关系曲线图，rEr供大家参考。本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真
2、空环境中，即相对介电常数 ；10对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即 。0U1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。1.1 电场分布：1.1.1 内部（rR）：如图（2 ）所示，要计算带电金属球（壳）的外部 点的电场强度，P可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面 ，将每个单元面上电荷在 点产生的电ds场 进行叠加，求出 点的合场强 。由于球面上单元面 的对称性特点，可知 点dPEds的电场强度 的方向最终应该沿 连线的方向。PEO上述求电场强度 的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比
3、较复杂，需要采用二PE重积分的方法；即先要对 和 所在球面上的带电圆环进行 的环积分，对求出ds 20的环形电场再进行沿直径方向的 的积分，最终求出带电球体在 点的合场强 。0PPE积分过程如下：如图（2）所示，设 ，球表面电荷的面密度为xArOPRA，4RQ cos2xdKEP取球面极坐标，则 ，其中 为沿直径方向的从 积分角，Rsin 0为带电圆环的从 的还积分。0cossi202xdKEpP由 可知：OArRrxdsds dEdEdE+dEO PRr图（2）A又 cos2coscos rRrxRr02322)cos()s(inrRrdRKrrdEP又 rRr cos2cos 2 22 0
4、212020 02122322 )(112 )cos()(132 )cos(1)cos(2rQKR RrrRrr rrrRrRrRK rRrdrrdREP 2rQKEP由此可以看出，带电金属球体或金属球壳在外部空间某点产生的电场强度 ，与其上E电荷全部集中在球心时产生的电场强度相等。 2r外当 时，有 ，所以带电金属球或带电球壳的内、外电场强度的分布在RrQKE处电场强度的值有突变的情况。Rr1.1.3 图景：如图（3）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电场强度 的大小随 点到圆心 的距离 的关系图线。EPOr1.2 电势分布：1.2.1 内部（rR）：由上述电势理论同样可
5、得：rE0 R2rQKPO 图（3）rQKdrEr2当 时，有 ，所以带电金属球的内、外电势的分布是连续不间断的。Rr1.2.3 图景：如图（4）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电势 的大小随 点到圆心 的距离 的关系图线。POr2、 带电的绝缘体球：这种带电体的电荷是均匀分布在整个球体的各个部位，即电荷的体密度处处相同。2.1 电场的分布：2.1.1 内部（rR）：和带电导体球（或球壳）一样，仍可视为集中在球心处的点电荷在该处产生的电场。（ ）2rQKE外 R当 时，有电场强度的最大值 ，所以，带电绝缘体球的内、外部Rr2maxQKE的电场强度是连续分布的；在 处，电场
6、强度最大。Rr2.1.3 图景：如图（6）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电场强度 的大小随 P 点E到圆心 O 的距离 r 的关系图线。2.2 电势的分布：2.2.1 内部（rR）：由上述电势理论同样可得：rQKdrEr2当 时，即在球体的圆心处电势最高，有0r RO23当 ，即在此球壳处处电势为RR所以带电绝缘体球的内、外电势的分布曲线是连续的。2.2.3 图景：如图（7）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电势 的大小随 P 点到圆心 O 的距离 r 的关系图线。本文运用数学的积分思想对电场、电势的分布进行推导，引导高三复习的同学从数学角度认识物理过程，加强了数学和物理知识的联系，深化了学生
7、的物理形象思维和抽象思维。但高三学生复习本节知识点时，对于积分的推导过程不必太关注，但对电场、电势推导的结论、图景要作为高考必备知识点给予特别记忆和储存，以达到在高考时节省用在选择题中时间的目的。参考书目：1、赵凯华、陈熙谋电磁学1985 年 6 月第二版 高等教育出版社2、普通高中课程标准实验教材物理 31 2004 年 5 月第一版 人民教育出版社R r0rQKPO 图（7）联系方式：单位: 南通市启秀中学物理学科 王峰 Post: 226001Tele: 051385582985(宅) （0）13815211388Email: 通讯地址：南通市濠景园 14 幢 102 室 王峰 226006个人简介：王峰 男 72年生 南通市启秀中学高中物理教师 中学一级2006年就读南京师范大学物理科学与技术学院教育硕士研究生
