1、2017 届北京市海淀区高三上学期期末考试数学理试题（word 版） 2017.1本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1抛物线 2yx的焦点到准线的距离为A B1 C2 D32在极坐标系中，点 (,)4与点 3(,)的距离为A1 B 2 C 3D 53右侧程序框图所示的算法来自于九章算术.若输入 a的值为 16， b的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A6 B7C 8 D94已知向量 ,a
2、b满足 20， ()2ab，则 abA 12 B 1C D25已知直线 l经过双曲线 14xy的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线 l的方程可能是A 152y B 152yx C 3x D 36设 ,y满足0,2,yx则 2(1)xy的最小值为A1 B 9C5 D97在手绘涂色本的某页上画有排成一列的 6 条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为A14 B16 C18 D208如图，已知正方体 1ACD的棱长为 1， ,EF分别是棱 AD，B 1C1 上的动点，设 1,ExFy若棱 与平面 有
3、公共点，则 xy的取值范围是开始 是 否是 否abaa输 出结束,ab输 入 A 0,1B 13,2C ,2D ,二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知复数 z满足 (1i)2z，则 z_10在 26()x的展开式中，常数项为_ （用数字作答）11若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_12已知圆 C: 220xy，则圆心坐标为_；若直线 l过点 (1,)且与圆 C相切，则直线 l的方程为_13 已知函数 2sin()yx(0,|)2. 若 (0)1f，则 _； 若 xR，使 ()(4fxf成立，则 的最小值是 _14 已知函数 |()ec
4、osxf，给出下列命题： fx的最大值为 2； ()在 10,)内的零点之和为 0； f的任何一个极大值都大于 1.其中所有正确命题的序号是_三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15 （本小题满分 13 分）在ABC 中， 2ca， 10B，且ABC 面积为 32（）求 b的值；俯 视 图2左 视 图 21主 视 图ABCD1A1BCEF（）求 tanA的值16 （本小题满分 13 分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站” ，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“ 周 实 际 回 收 水 费周 投 入 成 本 ”表示每周“水站诚信度” 为
5、了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周第一个周期 95% 98% 92% 88%第二个周期 94% 94% 83% 80%第三个周期 85% 92% 95% 96%（）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数 x；（）分别从上表每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量 X表示取出的 3 个数据中“水站诚信度”超过 91%的数据的个数，求随机变量 X的分布列和期望；（）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效
6、果，并根据已有数据陈述理由17 （本小题满分 14 分）如图 1，在梯形 ABCD中， /， 90ABC， 24CDB， O是边 AB的中点将三角形 AO绕边 所在直线旋转到 1O位置，使得 1O，如图 2设 m为平面 1DC与平面1B的交线（）判断直线 与直线 m的位置关系并证明；（）若直线 上的点 G满足 1A，求出 1G的长；（）求直线 1A与平面 1BD所成角的正弦值18 （本小题满分 13 分）已知 (0,2)3,1AB是椭圆 G：21(0)xyab上的两点（）求椭圆 G 的离心率；（）已知直线 l 过点 ，且与椭圆 交于另一点 C（不同于点 A） ，若以 BC为直径的圆经过点 A，
7、求直线 l 的方程AOBC1图 ODCB2图1A19. （本小题满分 14 分）已知函数 ()ln1afx（）若曲线 y存在斜率为 的切线，求实数 a的取值范围；（）求 ()f的单调区间；（）设函数 lnxag，求证：当 10时， ()gx在 1,)上存在极小值20 （本小题满分 13 分）对于无穷数列 na, b，若 1212max,in,(1,23)kkka ，则称 nb是 a的“收缩数列” 其中， 12x, , in, 分别表示 a 中的最大数和最小数已知 n为无穷数列，其前 项和为 S，数列 nb是 的“收缩数列” ()若 2a，求 nb的前 项和；()证明： n的“收缩数列”仍是 n
8、b；()若 121()()2n nSSa (1,23) ，求所有满足该条件的 na海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准 2017.1一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1.B 2.B 3. C 4.C 5.A 6. B 7.D 8.C二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，9. 1i 10.15 11. 1312.（ 1,0） ； ()yx和 (1)yx13. 6， 214.三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15.（本小题满分 13 分）解：（）由 ABC 面积公式及题设得 1sin2SacB32a，解得 1,2ac由余弦定理及题设
9、可得 22cosb114()72，又 0,7b. (不写 b0 不扣分)（）在ABC 中，由正弦定理 siniaAB得： 3sini147aABb，又 12B，所以 是锐角（或：因为 12,c）所以 2175cosi964A，所以 n3ta.16. （本小题满分 13 分）解：（）十二周“水站诚信度”的平均数为 x= 95+8294+8305+926=1%1（）随机变量 X的可能取值为 0，1 ，2，3三个周期“水站诚信度” 超过 9%分别有 3 次，2 次，3 次12(0)46P311446X2320()43186P随机变量 X的分布列为0 1 2 3132732153927590EX.（）
10、本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1 分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2 分.标准 1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准 2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准 3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1 分）理由：活动举办后， “水站诚信度”由 88%94%和 80%85%看出，后继一周都有提升.（2 分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1 分）理由：三个周期的“水站诚信
11、度”平均数分别为 93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2 分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1 分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2 分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1 分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后， “水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2 分） （答出变化） 情
12、况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1 分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2 分）情况六：以“两次主题活动无法比较作答，只有给出如下理由才给 3 分：“12 个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0 分）.说明：情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分 1 分，不给理由分 2 分.以下情况不得分.情况七：结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的.例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高. 其他答案情
13、况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论. 17. （本小题满分 14 分）解：（）直线 DC/ m.证明：由题设可得 /,OB1AB平 面 ， 1OAB平 面 ，所以 平面 1A. 又因为 平面 ，平面 1DC平面 1m所以 /C.法 1：（）由已知 24ABD， O是边 AB的中点， /CD，所以 /O，因为 90，所以四边形 C是正方形，所以在图 1 中 DOAB，所以结合题设可得，在图 2 中有 1DOA， B，又因为 1，所以 平 面 . 在平面 AB内作 M垂直 B于 ，则 M.如图，建立空间直角坐标系 xyz，则1(3,0)(,2)(0,)D
14、，所以 1.设 ,Gm，则由 1OGA可得1AD，即(3,2)(,0)30解得 .所以 14.（）设平面 AB的法向量 (,)xyzn，则10,Dn即 320,令 1，则 3,1xz，所以 (,)，设直线 1AO与平面 1B所成角为 ，则 sin115cos,AOn.法 2：（）由已知 24CD， O是边 AB的中点， /CD，所以 /，因为 90AB，所以四边形 C是正方形，所以在图 1 中 ，所以结合题设可得，在图 2 中有 1A， OB，又因为 1O，所以 DAB平 面 .又因为 1G平 面 ，所以 DOG.若在直线 m上的点 满足 1A，又 1D，所以 1O平 面 ，所以 A，因为 1
15、120,/BG，所以 160O，因为 ，所以 4.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分）（）由（II）可知 1ODA、 、 两两垂直，ODCBG1AzyM如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 10,)(2,0)(,3),(0,2)OABD（，所以 11(2,0)(3,0)ADB设平面 的法向量 ,nxyz，则10,nAB即 20,3令 1， 则 3,1yz，所以 (,)，设直线 1O与平面 1D所成角为 ，则sin115co,An.18. （本小题满分 13 分）解：（）由已知 2,b由点 (3,1)B在椭圆 G 上可得 2914a，解得 2a.所以
16、28,cbc，所以椭圆 G 的离心率是 6.3ea（）法 1：因为以 BC为直径的圆经过点 A，所以 BAC，由斜率公式和 (0,2)3,1A可得 13k，所以 3ck，设直线 C的方程为 32yx. 由 23,14yx得 2790，由题设条件可得 ,ACx，ODCBG1Azx所以 913()7C-,，所以直线 B的方程为 213yx. 法 2：因为以 为直径的圆经过点 A，所以 BAC，由斜率公式和 (0,2),A可得 3k，所以 3ck，设 Cxy（ ， ） ,则 CAcykx，即 2Cyx由点 C 在椭圆上可得214将代入得 2790Cx，因为点 不同于点 A，所以 97Cx，所以 13
17、()7-,，所以直线 BC的方程为 213yx.法 3：当直线 l 过点 且斜率不存在时，可得点 (3,1)C，不满足条件.设直线 的方程为 1()ykx，点 xy（ ， ）由 23,14ykx可得 2 2()6(13)()10kk，显然 0，此方程两个根是点 BC和 点 的横坐标，所以23()1Ckx，即2(13)4,kx所以 26,y因为以 B为直径的圆经过点 A，所以 AC，即 0.（此处用 1BAk亦可）22963961(3,),)kk 23801k，即 210k，12,3当 213k时，即直线 AB,与已知点 C不同于点 A矛盾，所以 1,BC所以直线 的方程为 213yx. 19.
18、 （本小题满分 14 分）解：（）由 ()lnafx得21 (0)x.由已知曲线 yf存在斜率为 1的切线，所以 ()1fx存在大于零的实数根，即 20a存在大于零的实数根，因为 yx在 x时单调递增，所以实数 的取值范围 0（ -， ） . （）由 2()afx， x， R可得当 0时， ()f，所以函数 ()fx的增区间为 (0,)；当 a时，若 ,)xa， 0，若 ,a， (0fx，所以此时函数 (f的增区间为 (,)，减区间为 ,).（）由 ()lnxag及题设得 22ln1()ln)axfxg），由 10可得 1，由 ()可知函数 (f在 ,)a上递增，所以 ()fa，取 ex，显然 ，()ln10fe，所以存在 0(,)x满足 0()fx，即存在 1,e满足 g，所以 (),gx在区间 (1,)上的情况如下：x01,0x0(,)x
