1、概率与统计解答题1、A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A 有效的概率为 ,服用 B 有效的概率为 .31（）求一个试验组为甲类组的概率；（）观察 3 个试验组，用 表示这 3 个试验组中甲类组的个数，求 的分布列和数学期望。（）解：设 A 表示事件“一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠有 i 只” ，i=0，1，2；iB 表示事件“一个试验组中，服用 B 有效的小白鼠有 i 只
2、”，i=0，1，2 i依题意有 P(A )=2 = , P(A )= = , P(B )= = , P(B )=2 = ,1 13 2349 2 23 2349 0 12 1214 1 12 1212所求的概率为 p=P(B A )P(B A )P(B A )= = 6 分0 1 0 2 1 2 14 49 14 49 12 4949（） 的可能取值为 0，1 ，2，3，且 B(3, ), 49 P(=0)=( )3= , P(=1)=C ( )2= , P(=2)=C ( )2 = , 59 125729 1 3 49 59 100243 2 3 49 5980243P(=3)=( )3=
3、的分布列为49 64729 0 1 2 3p 125729 100243 80243 64729数学期望 E=3 = 12 分49432、设 b和 c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量 表示方程0x实根的个数（重根按一个计） （）求方程 2xc有实根的概率；（）求 的分布列和数学期望；（）求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 20xbc有实根的概率.解:（I）基本事件总数为 63，若使方程有实根，则 240bc，即 bc。当 1c时， ,5； 当 时， 3,456；当 3c时， 4,56b； 当 4c时， ,56b； 当 时， ； 当 时， , 目标事件个数为 3219,因
4、此方程 20xbc 有实根的概率为 .36(II)由题意知， ,1，则 7()P， 21(),368P17(2)36P，故 的分布列为0 1 2P 7368736的数学期望 1102.E (III)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M， “方程 20axbc 有实根” 为事件N，则 1()36PM， 7()36N， ()7()1PN.3、如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，依次类推现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动记小弹子落入第 n层第 m个竖直通道（从左至右）的概率为 (,)Pnm （
5、已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）（）求 (2,1)3,的值，并猜想 (,)的表达式 （不必证明）（）设小弹子落入第 6 层第 个竖直通道得到分数为 ，其中4,3m，试求 的分布列及数学期望第 1层 第 2层 第 3层 第 4层 入 口 解：（1）011(2,)2PC，2 分12(3,)4 分1(,)mnCP6 分（2）0 15 51(6,),),(62)(,),2323CP5(,3)(,4)CP3 2 1P039 分2316E12 分4、2009 年 10 月 1 日，为庆祝中华人们共和国成立 60 周年，来自北京大学和清华大学的共计 6 名大学生志愿服务者被随机平均分配到
6、天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是 35。（1）求 6 名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；（3）设随机变量 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求 分布列及期望。解：（1）记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件 A，则 A 的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者 x 个，1x6， 那么 P（A）=26315xC，解得 x=2，即来自北京大学的志愿者有 2 人，来自清华大学志愿者 4 人； -3 分（2
7、）记清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人为事件 E，那么 P（E）=1246C= 85，所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是 815；-6 分（3） 的所有可能值为 0，1，2，P（=0）=246C= 5，P（=1）=1426C85， P（=2）=26C= 15，-8 分所以 的分布列为-11 分28120553E -12 分命题意图：本题考查了排列、组合、概率、数学期望等知识，考查了含有“至多、至少、恰好”等有关字眼问题中概率的求法以及同学们利用所学知识综合解决问题的能力。5、小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种症状中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生
8、作用） 、迟钝若出现三种症状的概率依次为 现对三只小白鼠注射这1,236、 、种药物（I）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；（II）用 表示三只小白鼠共表现症状的种数，求 的颁布列及数学期望解：（）用 表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟(12,3)iA，钝，用 表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，(,)iB，用 表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝 .123iC，三只小白鼠反应互不相同的概率为3 分3123()PAB5 分66（） 可能的取值为 ， .,3312311()()26PABCABC，8 分63或361)3()1()2
9、( P.10 分23121321231322222() )(6)363PCABCABCABC所以， 的分布列是1 2 3P6361所以， 12 分21321E6、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克） ，重量的分组区间为 ， 50,49，. . . ，,0.由此得到样本的频率分布直方图，如图所示51,0（）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量；（） 在上述抽取的 40件产品中任取 2 件，设 为重量超过505克的产品数量，求 的分布列；（）从流水线上任取 5 件产品，估计其中恰有 2 件产品的重量超过
10、505 克的概率.解：（）重量超过 505 克的产品数量是 件 -2 分12)50(40（） 的所有可能取值为 0,1,2 （只有当下述没做或都做错时，此步写对给 1 分） , , , 284063()1CP1284056()3CP2140()3CP（以上（）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣 1 分）的分布列为-9 分（每个 2 分，表 1 分）（）由（）的统计数据知，抽取的 40 件产品中有 12 件产品的重量超过 505 克，其频率为 ，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过 505 克的概率为3.0，令 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数，则 ，-. )3.0,5
11、(B-11 分故所求的概率为 -13 分3087.).(30)2(25Cp0 1 2P1630563017、张先生家住 H 小区，他工作在 C 科技园区，从家开车到公司上班路上有 L1，L 2 两条路线（如图） ，L 1 路线上有 A1，A 2，A 3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 ；L 2 路线上有 B1，B 2 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 ， 345（）若走 L1 路线，求最多遇到 1 次红灯的概率；（）若走 L2 路线，求遇到红灯次数 的数学期望；X（）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由解：（）设走 L1
12、路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件，则 4 分032()=()()2PAC所以走 L1 路线，最多遇到 1 次红灯的概率为 1（）依题意， 的可能取值为 0，1，2 X， 3(=0)()45，391P 8 分9(2)0X随机变量 的分布列为：0 1 2P 192090 11 分1927020EX（）设选择 L1 路线遇到红灯次数为 ，随机变量 服从二项分布， ，Y1(3,)2YB:所以 123Y分因为 ，所以选择 L2 路线上班最好 14 分EX8、某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客，假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的.
13、() 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率；() 用 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数，求 的分布列和数学期望.X解：() 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 , 1 分A由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 ， 3 分13H CA1 A2B1 B2L1L2A3则. 6 分4265()1()381PA() 的可能取值为 0,1,2,3,4, 7 分X由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 ，且每个人下电梯互不影响，3所以， . 9 分1(,)3B:X0 1 2 3 4P68481811 分. 13 分14()3EX9、甲班有 2
14、 名男乒乓球选手和 3 名女乒乓球选手，乙班有 3 名男乒乓球选手和 1 名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选 2 名选手参加体育交流活动.（）求选出的 4 名选手均为男选手的概率.（）记 为选出的 4 名选手中女选手的人数，求 的分布列和期望.XX解：（）事件 表示“选出的 4 名选手均为男选手”.由题意知A3 分2354()CP. 5 分10（） 的可能取值为 . 6 分X,23， 7 分32541()06CP， 9 分11235437() 20X， 10 分21354()06CP. 11 分()(1)(3)XPX920的分布列： 0P1207920312 分. 13 分7931()0E
15、X10、某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立。根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为 0.5， 6， .4。第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为 0.6， 5， .。 （1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；（3）设甲、乙、丙经过前后两次选拔后恰有两人合格的的概率；解：（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件 1A、 B；设 E 表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则 1()PEAB0.54.2
16、4 分（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件 A、 B、 C，则()0.56.3A， ()0.65.3， ()0.5.2PC。 8 分（3）经过前后两次选拔后合格入选的人数为 ，则 、1、2、3。则().7.892P， ()0.8030.7.04，1(2)1(.4)56（或者 ()P.3.7.256） 。的概率分布列为0 1 2 3P .3920.430.1560.1840.3921.4.56.8.E。 12 分11、某工厂有 120 名工人，其年龄都在 2060 岁之间，各年龄段人数按20，30)，30,40)，40，50) ，50，60分组，其频率分布直方图如下图所示.
17、工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A、B 两项培训，培训结束后进行结业考试，已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示.假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响。(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为 40 的样本，求各年龄段应分别抽取的人数，并估计全厂工人的平均年龄；(2)随机从年龄段20，30)和30,40)中各抽取 1 人，设这两人中 A、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望。解：（1）由频率分布直方图知，年龄段 20,3,40,5,6， ， ， 的人数的频率分别为 0.35,4.1,0； ； ； ；因为
18、6.5.1； ； ；所以年龄段 2,4,0,6， ， ，应取的人数分别为 14；16；6；4；3 分因为各年龄组的中点值分别为 25；35；45；55；对应的频率分别为0.35,4.1,0； ； ； ；则 2.35.40.15.35X由此估计全厂工人的平均年龄为 35 岁. 6 分（2）因为年龄段 ,的工人数为 2.4人，从该年龄段任取 1 人，由表知，此人 A 项培训结业考试成绩 优秀的概率3057；B 项培训结业考试成绩优秀的概率1842所以 A,B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为59。8 分年龄分组 A 项培训成绩优秀人数 B 项培训成绩优秀人数20，30) 30 1830，40)
19、36 2440，50) 12 950,60 4 3因为年龄段 30,4的工人数为 120.48人，从该年龄段任取 1 人，由表知，此人 A 项培训结业考试成绩优秀的概率36；B 项培训结业考试成绩优秀的概率2418。 所以 A,B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为38。10 分由题设 X 的可能取值为 0,1,2；5317015417(0)(1);()49829392PPX2, 6E。 12 分12、 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据x 6 8 10 12y 2 3 5 6（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y
20、关于 x 的线性回归方程 ybxa；（3）试根据（II）求出的线性回归方程，预测记忆力为 9 的同学的判断力。（相关公式： 12 ,.niixybaybx）解：（）如右图：3 分 ()解： yxini1=62+8 3+10 5+126=158，x= 6810294， y= 3564，2221ni，258910.734b， 40.792.3aybx，故线性回归方程为 3yx 10 分()解：由回归直线方程预测，记忆力为 9 的同学的判断力约为 4. 12 分13、某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号 分组 频数 频率第一组 230,58
21、 0.16第二组 4 0.24第三组 , 15 第四组 25010 0.20第五组 ,5 0.10合 计 50 1.00(1)写出表中位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生，求 2 人中至少有 1 名是第四组的概率 解：(1) 位置的数据分别为 12、0.3； 4 分(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为 3、2、1； 8 分(3) 设上述 6 人为 abcdef(其中第四组的两人分别为 d，e )，则从 6 人中任取
22、 2 人的所有情形为：ab，ac，ad，ae，af ，bc，bd，be，bf，cd，ce ，cf，de，df，ef共有 15 种10 分记“2 人中至少有一名是第四组”为事件 A，则事件 A 所含的基本事件的种数有 9 种所以 ，故 2 人中至少有一名是第四组的概率为 14 分93()15PA 3514、某市举行一次数学新课程培训，共邀请 15 名研究不同版本教材的骨干教师，数据如下表所示：版本 人教 A 版 人教 B 版性别 男教师 女教师 男教师 女教师人数 6 3 4 2()从这 15 名教师中随机选出 2 名，则 2 人恰好是研究不同版本教材的男教师的概率是多少？()培训活动随机选出 2 名代表发言，设发言代表中研究人教 B 版教材的女教师人数为，求随机变量 的分布列和数学期望 E.解：()从 15 名教师中随机选出 2 名共 215C种选法， (2 分)所以这 2 人恰好是研究不同版本教材的男教师的概率是1642583C。 (4 分)()由题意得 0,1 (6 分)23156()CP； 12356()0CP；20135()CP(9分)故 的分布列为0 1 2p35260526105(10 分)所以，数学期望 401E (12 分)
