1、1圆的相关知识 最好配以简单的习题掌握 刘蕾老师整合板块一：圆的有关概念一、圆的定义：1. 描述性定义：在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 随之旋转所形成OAOA的图形叫做圆，其中固定端点 叫做圆心， 叫做半径2. 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径3. 圆的表示方法：通常用符号 表示圆，定义中以 为圆心， 为半径的圆记作“ ”，读作“圆 ” AO4. 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等二、弦和弧1. 弦：连结圆上
2、任意两点的线段叫做弦2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的 倍23. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以 为端点的圆弧记作 ，读作弧 AB、 AB5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形三、圆心角和圆周角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为 等份，每一份的弧对应 的圆心角，我们也称3601这样的弧为 的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数
3、相等12. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径90推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等板块二：圆的对称
4、性与垂径定理一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2. 推论 1： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧23. 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等板块三：点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：
5、点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定设 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，则有：O rPOd点在圆外 ；点在圆上 ；点在圆内 .drr如下表所示：位置关系 图形 定义 性质及判定点在圆外PrO 点在圆的外部 点 在 的外部.drPO点在圆上Pr O 点在圆周上 点 在 的圆周上.dr点在圆内PrO 点在圆的内部 点 在 的内部.drPO二、确定圆的条件1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点） ，确定圆的位置；半径（定长） ，确定圆的大小只有当圆心和半径都确定时，远才能确定2. 过已知点作圆经过点 的圆：以点 以外的任意一点 为圆心，
6、以 的长为半径，即可作出过点 的圆，这样AOAA的圆有无数个经过两点 的圆：以线段 中垂线上任意一点 作为圆心，以 的长为半径，即可作出过点B、ABO的圆，这样的圆也有无数个、过三点的圆：若这三点 共线时，过三点的圆不存在；若 三点不共线时，圆心是线C、 BC、段 与 的中垂线的交点，而这个交点 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个AC过 个点的圆：只可以作 个或 个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的n401圆心3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆注意：“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；“确定”一词的含义是“有且只有” ，即“唯一存在”
7、 4. 三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形外心的性质：三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离3相等；三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半） ；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.板块四：直线和圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设
8、 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表：O rOld位置关系 图形 定义 性质及判定相离lOdr 直线与圆没有公共点. 直线 与 相离drlO相切lOdr 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点. 直线 与 相切rl相交lOdr 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线. 直线 与 相交drlO从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线
9、是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3. 切线长和切线长定理： 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角三、三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形直线和圆的位置关系 相交 相切 相离公共点个数 210圆心到直线的
10、距离 与半径 的关系drdrdrdr公共点名称 交点 切点 无直线名称 割线 切线 无4板块五：圆和圆的位置关系一、圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设 的半径分别为 （其中 ） ，两圆圆心距为 ，则两圆位置关系如下表：12O、 Rr、rd位置关系 图形 定义 性质及判定外离r RO1 O2两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部 两圆外离Rr外切r RO2O1两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部两圆外切dr相交r RO1 O2 两个圆有两个公共点 两圆相交Rrdr内切r RO1O2两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另
11、一个圆的内部两圆内切dr内含rRO1O2 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例两圆内含0dRr说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况二、两圆的连心线1. 定义：通过两圆圆心的直线叫做连心线2. 性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上； 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦三、两圆的公切线1. 定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线外公切线：两个圆在
12、公切线同侧时，这样的公切线叫做外公切线；内公切线：两个圆在公切线两侧时，这样的公切线叫做内公切线2. 公切线条数与两圆的位置关系 若两圆外离，则外公切线条数为 ，内公切线条数为 ，公切线总数为 ；224 若两圆外切，则外公切线条数为 ，内公切线条数为 ，公切线总数为 ；13 若两圆相交，则外公切线条数为 ，内公切线条数为 ，公切线总数为 ；02 若两圆内切，则外公切线条数为 ，内公切线条数为 ，公切线总数为 ；1 1 若两圆内含，则外公切线条数为 ，内公切线条数为 ，公切线总数为 ；0 03. 性质： 若两圆有两条外（内）公切线，并且相交，则两圆的连心线必经过交点且平分这两条公切线的夹角；5 若两圆外切，则两圆的连心线垂直两圆的内公切线；若两圆内切，则两圆的连心线垂直两圆的外公切线特别地，若两圆为等圆，则它的两条外公切线均与连心线平行4. 公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长5. 公切线长定理：两圆的两条外公切线的长相等，两条内公切线的长也相等板块六：与圆有关的计算设 的半径为 ， 圆心角所对弧长为 ，O Rnl1. 弧长公式： 180l2. 扇形面积公式： 2136SRl、3. 圆柱体表面积公式： h4. 圆锥体表面积公式： （ 为母线）2l常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： 公式法； 割补法； 拼凑法； 等积变换法
