高中数学易错题举例解析1.doc

1、高 中 数 学 易 错 题 举 例 解 析高 中 数 学 中 有 许 多 题 目 ， 求 解 的 思 路 不 难 ， 但 解 题 时 ， 对 某 些 特 殊 情 形 的 讨 论 ，却 很 容 易 被 忽 略 。 也 就 是 在 转 化 过 程 中 ， 没 有 注 意 转 化 的 等 价 性 ， 会 经 常 出 现 错 误 。本 文 通 过 几 个 例 子 ， 剖 析 致 错 原 因 ， 希 望 能 对 同 学 们 的 学 习 有 所 帮 助 。 加 强 思 维 的严 密 性 训 练 。 忽 视 等 价 性 变 形 ， 导 致 错 误 。 ， 但 与 不 等 价 。(x0y0) (x + y0x

2、y0) (x1y2) (x + y3xy2)【 例 1】 已 知 f(x) = ax + ， 若 求 的 范 围 。xb ,6,03ff )(f错 误 解 法 由 条 件 得 623a 2 156 2 得 38b+ 得 .34)(0,40fa即错 误 分 析 采 用 这 种 解 法 ， 忽 视 了 这 样 一 个 事 实 ： 作 为 满 足 条 件 的 函 数， 其 值 是 同 时 受 制 约 的 。 当 取 最 大 （ 小 ） 值 时 ， 不 一 定bxaf)( b和 ab取 最 大 （ 小 ） 值 ， 因 而 整 个 解 题 思 路 是 错 误 的 。正 确 解 法 由 题 意 有 , 解

3、 得 ：2)(1baf),(3),(231fbfa把 和 的 范 围 代 入 得.19516)(f)2(f.76在 本 题 中 能 够 检 查 出 解 题 思 路 错 误 ， 并 给 出 正 确 解 法 ， 就 体 现 了 思 维 具 有 反 思性 。 只 有 牢 固 地 掌 握 基 础 知 识 ， 才 能 反 思 性 地 看 问 题 。 忽 视 隐 含 条 件 ， 导 致 结 果 错 误 。【 例 2】(1) 设 是 方 程 的 两 个 实 根 ， 则 的 最、 062kx 22)1()(小 值 是 不D18)C(8)B(49)A(思 路 分 析 本 例 只 有 一 个 答 案 正 确 ，

4、设 了 3 个 陷 阱 ， 很 容 易 上 当 。利 用 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 易 得 ： ,6,2k.49)3()(112)1()( 222k有 的 学 生 一 看 到 ， 常 受 选 择 答 案 （ A） 的 诱 惑 ， 盲 从 附 和 。 这 正 是 思 维49缺 乏 反 思 性 的 体 现 。 如 果 能 以 反 思 性 的 态 度 考 察 各 个 选 择 答 案 的 来 源 和 它 们 之 间 的区 别 ， 就 能 从 中 选 出 正 确 答 案 。原 方 程 有 两 个 实 根 ， 、 0)6k(42.3k2不当 时 ， 的 最 小 值 是 8；22)

5、1()(当 时 ， 的 最 小 值 是 18。k这 时 就 可 以 作 出 正 确 选 择 ， 只 有 （ B） 正 确 。(2) 已 知 (x+2)2+ =1, 求 x2+y2 的 取 值 范 围 。y24错 解 由 已 知 得 y2= 4x2 16x 12， 因 此 x2+y2= 3x2 16x 12= 3(x+ )82+ ，38 当 x= 时 ， x2+y2 有 最 大 值 ， 即 x2+y2 的 取 值 范 围 是 ( , 。83 283 283分 析 没 有 注 意 x 的 取 值 范 围 要 受 已 知 条 件 的 限 制 ， 丢 掉 了 最 小 值 。事 实 上 ， 由 于 (x

6、+2)2+ =1 (x+2)2=1 1 3 x 1，y24 y24从 而 当 x= 1 时 x2+y2 有 最 小 值 1。 x2+y2 的 取 值 范 围 是 1, 。283注 意 有 界 性 ： 偶 次 方 x2 0， 三 角 函 数 1 sinx 1， 指 数 函 数 ax0， 圆 锥 曲线 有 界 性 等 。 忽 视 不 等 式 中 等 号 成 立 的 条 件 ， 导 致 结 果 错 误 。【 例 3】 已 知 ： a0 , b0 , a+b=1,求 (a+ )2+(b+ )2 的 最 小 值 。1a 1b错 解 (a+ )2+(b+ )2=a2+b2+ + +4 2ab+ +4 4

7、+4=8,1 a (a+ )2+(b+ )2 的 最 小 值 是 8.分 析 上 面 的 解 答 中 ， 两 次 用 到 了 基 本 不 等 式 a2+b2 2ab， 第 一 次 等 号 成 立 的条 件 是 a=b= ,第 二 次 等 号 成 立 的 条 件 是 ab= ， 显 然 ， 这 两 个 条 件 是 不11能 同 时 成 立 的 。 因 此 ， 8 不 是 最 小 值 。事 实 上 ， 原 式 = a2+b2+ + +4=( a2+b2)+( + )+4=(a+b)2 2ab+(212+ )2 +4a1b= (1 2ab)(1+ )+4，2由 ab ( )2= 得 ： 1 2ab

8、1 = , 且 16， 1+ 17，422ba2ba 原 式 17+4= (当 且 仅 当 a=b= 时 ， 等 号 成 立 )，5 (a + )2 + (b + )2 的 最 小 值 是 。252 不 进 行 分 类 讨 论 ， 导 致 错 误【 例 4】 (1)已 知 数 列 的 前 项 和 ， 求na12nS.na错 误 解 法 .2)()( 11 nnS错 误 分 析 显 然 ， 当 时 ， 。311a错 误 原 因 ： 没 有 注 意 公 式 成 立 的 条 件 是 。1nnSa因 此 在 运 用 时 ， 必 须 检 验 时 的 情 形 。 即 ：1nSa。),2(1NSnan(2)

9、实 数 为 何 值 时 ， 圆 与 抛 物 线 有 两 个 公 共0122axyx xy21点 。错 误 解 法 将 圆 与 抛 物 线 联 立 ， 消 去 ，22 y得 ).0(1)2(2xaxx因 为 有 两 个 公 共 点 ， 所 以 方 程 有 两 个 相 等 正 根 ， 得 ， 解 之.012a得 .817a错 误 分 析 （ 如 图 2 2 1； 2 2 2） 显 然 ， 当 时 ， 圆 与 抛 物 线 有两 个 公 共 点 。要 使 圆 与 抛 物 线 有 两 个 交 点 的 充 要 条 件 是 方 程 有 一 正 根 、 一 负 根 ； 或 有 两个 相 等 正 根 。xyO图

10、2 2 1xyO图2 2 2当 方 程 有 一 正 根 、 一 负 根 时 ， 得 解 之 ， 得.012a.1a因 此 ， 当 或 时 ， 圆 与 抛 物 线817a1a2xyx有 两 个 公 共 点 。xy2思 考 题 ： 实 数 为 何 值 时 ， 圆 与 抛 物 线 ，0122axyx xy21(1)有 一 个 公 共 点 ； (2)有 三 个 公 共 点 ； (3)有 四 个 公 共 点 ； (4)没 有 公 共点 。 以 偏 概 全 ， 导 致 错 误以 偏 概 全 是 指 思 考 不 全 面 ， 遗 漏 特 殊 情 况 ， 致 使 解 答 不 完 全 ， 不 能 给 出 问 题

11、的全 部 答 案 ， 从 而 表 现 出 思 维 的 不 严 密 性 。【 例 5】 (1)设 等 比 数 列 的 全 项 和 为 .若 ， 求 数 列 的 公 比nanS9632S.q错 误 解 法 ，,2963Sqaqa1)(21)()( 9631.0(） 整 理 得 q 1q24q,0)1(q2.120q 3336 不不。错 误 分 析 在 错 解 中 ， 由 ，qaqa1)(21)()( 9631时 ， 应 有 。0q2(363不不0不在 等 比 数 列 中 ， 是 显 然 的 ， 但 公 比 q 完 全 可 能 为 1， 因 此 ， 在 解 题01a时 应 先 讨 论 公 比 的 情

12、 况 ， 再 在 的 情 况 下 ， 对 式 子 进 行 整 理 变 形 。q1正 确 解 法 若 ， 则 有 但 ， 即 得.9,6,311aSaS0与 题 设 矛 盾 ， 故 .,2963S1q又 依 题 意 963S2 qaqa1)(21)()( 963,即 因 为 ， 所 以 所 以01q2(63不,0)1(3q,03解 得 .3.243说 明 此 题 为 1996 年 全 国 高 考 文 史 类 数 学 试 题 第 （ 21） 题 ， 不 少 考 生 的 解 法同 错 误 解 法 ， 根 据 评 分 标 准 而 痛 失 2 分 。(2)求过点 的直线，使它与抛物线 仅有一个交点。),

13、0( xy错误解法 设所求的过点 的直线为 ，则它与抛物线的交点为)1,0(1k，消去 得 整理得 xyk21y.02xk .01)2(2xkx直线与抛物线仅有一个交点， 解得 所求直线为,.1k.y错 误 分 析 此 处 解 法 共 有 三 处 错 误 ：第一，设所求直线为 时，没有考虑 与斜率不存在的情形，实际上就1kxy0是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一

14、个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。,0k正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 轴，因为过点 ，所以x)1,0(即 轴，它正好与抛物线 相切。,0xyxy2当所求直线斜率为零时，直线为 y = 1 平行 轴，它正好与抛物线 只有xxy2一个交点。一般地，设所求的过点 的直线为 ,则 ，)1,0(1kxy)0(xyk21令 解得 k = , 所求直线为.)2(2xkx,12 .综上，满足条件的直线为： .,0,1xyxy章节易错训练题1、 已 知 集 合 M = 直 线 ， N = 圆 ， 则 M N 中 元 素 个 数

15、 是 A(集 合 元 素的 确 定 性 )(A) 0 (B) 0 或 1 (C) 0 或 2(D) 0 或 1 或 22、 已 知 A = ， 若 A R* = ， 则 实 数 t 集 合 T = (x (x2 + tx + 1 = 0)_。 (空 集 )t3、 如 果 kx2+2kx (k+2)0xx1 x0)。 （ 漏 反 函 数 定 义 域 即 原 函 数 值 域 ）11、 函 数 f (x) = log (x 2 + a x + 2) 值 域 为 R， 则 实 数 a 的 取 值 范围 是 D(正 确 使 用 0 和 0 , b0 , a+b=1， 则 (a + )2 + (b + )

16、2 的 最 小 值 是1a 1b_。 (三 相 等 )25222、 已 知 x k (k Z)， 函 数 y = sin2x + 的 最 小 值 是4sin2x_。 5（ 三 相 等 ）23、求 的最小值。xy22cos8sin错解 1 |cosin|8cosin2si 222 xx.16,.16|2sin| minyx错解 2 .261821)cos8()siin( 222 xxy错误分析 在解法 1 中， 的充要条件是6y .|sin|coin22x且即 这是自相矛盾的。.|xsin|2|xtan|不 .16miy在解法 2 中， 的充要条件是261y这是不可,2cos2sincos8si

17、ni22 xxxx ， 即且能的。正确解法 1 y22e.18xtan4co20)(tt1(8)x22其中，当 .18ytxtan4cot 222 不不 .min正 确 解 法 2 取正常数 ，易得kkxxy )coss8()siin( 22.682kkk其中“ ”取“”的充要条件是 .18k2xtancosxssinxsi 2222 不不不因 此 ， 当 ,18k26y21xtan不 .miny24、 已 知 a1 = 1， an = an 1 + 2n 1(n 2)， 则 an = _。 2n 1(认 清项 数 )25、 已 知 9、 a1、 a2、 1 四 个 实 数 成 等 差 数 列

18、 ， 9、 b1、 b2、 b3、 1 五 个 实 数 成 等 比 数 列 ，则 b2 (a2 a1) = A(符 号 )(A) 8 (B) 8 (C) (D) 98 9826、 已 知 an 是 等 比 数 列 ， Sn 是 其 前 n 项 和 ， 判 断 Sk， S2k Sk， S3k S2k 成等 比 数 列 吗 ？当 q = 1， k 为 偶 数 时 ， Sk = 0， 则 Sk， S2k Sk， S3k S2k 不 成 等 比 数 列 ；当 q 1 或 q = 1 且 k 为 奇 数 时 ， 则 Sk， S2k Sk， S3k S2k 成 等 比 数 列 。（ 忽 视 公 比 q =

19、 1）27、 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 和 数 列 满 足 下 列 条 件 ：)(xfna， f(an) f(an 1) = 1211 ,.4,32)(,nafan k(an an 1)(n = 2,3, )， 其 中 a 为 常 数 ， k 为 非 零 常 数 。 （ 1） 令， 证 明 数 列 是 等 比 数 列 ； （ 2） 求 数 列 的 通 项 公b*)Nnbn式 ； （ 3） 当 时 ， 求 。|knalim（ 等 比 数 列 中 的 0 和 1， 正 确 分 类 讨 论 ）28、 不 等 式 m2 (m2 3m)i ， 误 认 短 轴 是 b = 2 ； 要 分 析

20、 直 线 PQ 斜 率 是 否 存 在2 2(有 时 也 可 以 设 为 x = ky + b)先 ； 对 一 元 二 次 方 程 要 先 看 二 次 项 系 数 为 0 否 ，再 考 虑 0， 后 韦 达 定 理 。 )41、 已知双曲线的右准线为 ，右焦点 ,离心率 ,求双曲线方程。4)01(e错 解 1 故 所 求 的 双 曲 线 方 程.6,10, 2222 acbacax为 .6042y错 解 2 由 焦 点 知)0,1(F,c .75,5,222acbace故 所 求 的 双 曲 线 方 程 为 .1752yx错 解 分 析 这 两 个 解 法 都 是 误 认 为 双 曲 线 的

21、中 心 在 原 点 ， 而 题 中 并 没 有 告 诉中 心 在 原 点 这 个 条 件 。 由 于 判 断 错 误 ， 而 造 成 解 法 错 误 。 随 意 增 加 、 遗 漏 题 设 条 件 ，都 会 产 生 错 误 解 法 。正 解 1 设 为 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， 因 为 双 曲 线 的 右 准 线 为 ，),(yxP 4x右 焦 点 ， 离 心 率 ， 由 双 曲 线 的 定 义 知 整 理)0,(F2e .2|4|)10(2xy得 .148162yx正 解 2 依 题 意 ， 设 双 曲 线 的 中 心 为 ,)0(m则 解 得 ,所 以 .2104acma.284

22、ca ,481622acb故 所 求 双 曲 线 方 程 为 .14816)(2yx42、 求 与 轴 相 切 于 右 侧 ， 并 与 也 相 切y 06:2xC的 圆 的 圆 心的 轨 迹 方 程 。错 误 解 法 如 图 3 2 1 所 示 ， 已 知 C 的 方 程 为.9)3(2yx设 点 为 所 求 轨 迹 上 任 意 一 点 ， 并 且 P 与)0(,xP 轴y相 切 于 M 点 ，与 C 相 切 于 N 点 。 根 据 已 知 条 件 得， 即 ， 化 简 得3|3xy)(2 ).0(12xy错 误 分 析 本 题 只 考 虑 了 所 求 轨 迹 的 纯 粹 性 （ 即 所 求

23、的 轨 迹 上 的 点 都 满 足 条件 ） ， 而 没 有 考 虑 所 求 轨 迹 的 完 备 性 （ 即 满 足 条 件 的 点 都 在 所 求 的 轨 迹 上 ） 。事 实 上 ， 符 合 题 目 条 件 的 点 的 坐 标 并 不 都 满 足 所 求 的 方 程 。 从 动 圆 与 已 知 圆 内 切 ，可 以 发 现 以 轴 正 半 轴 上 任 一 点 为 圆 心 ， 此 点 到 原 点 的 距 离 为 半 径 （ 不 等 于x PC(3,0)y xO 图3 21 M N3） 的 圆 也 符 合 条 件 ， 所 以 也 是 所 求 的 方 程 。 即 动 圆 圆 心 的)30(xy且

24、轨 迹 方 程 是 y2 = 12x(x0)和 。 因 此 ， 在 求 轨 迹 时 ， 一 定 要且完 整 的 、 细 致 地 、 周 密 地 分 析 问 题 ， 这 样 ， 才 能 保 证 所 求 轨 迹 的 纯 粹 性 和 完 备 性 。43、 （ 如 图 3 2 2） ， 具 有 公 共 轴 的 两 个 直 角 坐 标 平 面 和 所 成 的 二 面 角y等 于 .已 知 内 的 曲 线 的 方 程 是 ， 求 曲 线轴 y60C )0(2pxy在 内 的 射 影 的 曲 线 方 程 。C错 误 解 法 依 题 意 ， 可 知 曲 线 是 抛 物 线 ，在 内 的 焦 点 坐 标 是 .

25、0),2(pF因 为 二 面 角 等 于 ，轴 y6且 所 以轴 ，轴轴 ，轴 xx .xo设 焦 点 在 内 的 射 影 是 ， 那 么 ， 位 于 轴 上 ，F),(yFFx从 而 ,90,60,0Oy所 以 所 以 点 是 所 求 射 影 的 焦 点 。 依 题 意 ，.421cospO )0,4(p射 影 是 一 条 抛 物 线 ， 开 口 向 右 ， 顶 点 在 原 点 。 所 以 曲 线 在 内 的 射 影 的 曲 线C方 程 是 .2pxy错 误 分 析 上 述 解 答 错 误 的 主 要 原 因 是 ， 凭 直 观 误 认 为 F 是 射 影 (曲 线 )的 焦 点 ， 其 次

26、 ， 没 有 证 明 默 认 C/在 内 的 射 影 (曲 线 )是 一 条 抛 物 线 。正 确 解 法 在 内 ， 设 点 是 曲 线 上 任 意 一 点),(yxM（ 如 图 3 2 3） 过 点 作 ， 垂 足 为 ，N过 作 轴 ， 垂 足 为 连 接 ，NyH.H则 轴 。 所 以 是 二 面 角M的 平 面 角 ， 依 题 意 ， .不yM60在 21cos, xHNRt 中yOxxF图3 2 2yOxxF图3 2 3MNH又 知 轴 （ 或 与 重 合 ） ，xHM/O轴 （ 或 与 重 合 ） ， 设 ，N),(yxN则 .221yxyx因 为 点 在 曲 线 上 ， 所 以

27、),(M)0(2p).2(xpy即 所 求 射 影 的 方 程 为 .4xy44、 设 椭 圆 的 中 心 是 坐 标 原 点 ， 长 轴 在 轴 上 ， 离 心 率 ， 已 知 点23e到 这 个 椭 圆 上 的 最 远 距 离 是 ， 求 这 个 椭 圆 的 方 程 。)23,0(P7错 误 解 法 依 题 意 可 设 椭 圆 方 程 为 )0(12bayx则 ，431222abace所 以 ， 即 42b.设椭圆上的点 到点 的距离为 ，),(yxPd则 223d.34)21(3922byya所以当 时， 有最大值，从而 也有最大值。dd所以 ，由此解得：22)7(34b .4,12ab

28、于是所求椭圆的方程为 .142yx错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当 时， 有最大值，这步推理是错误的，没有考虑2y2d到的取值范围。事实上，由于点 在椭圆上，所以有 ，因此在求y ),(yxby的最大值时，应分类讨论。即：2d若 ，则当 时， （从而 ）有最大值。1bby2d于是 从而解得,)3()722矛 盾 。与 21,37b所以必有 ，此时当 时， （从而 ）有最大值，1b1y2d所以 ，解得22)7(34.4,2ab于是所求椭圆的方程为 .142yx数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等） ，做到思考缜密、推理严密。