1、1、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1 设事件 仅发生一个的概率为 0.3，且 ，则 至少有一个不发BA, 5.0)(BPAA,生的概率为_.答案：0.3解： 3.0)(即)(25.0)()(3.0 ABPBPABPA 所以 1.0)(.9)(2 设随机变量 服从泊松分布，且 ，则 _.X)2(4)1(XP)3(答案： 6e解答： eXPeXPXP 2)(,)1()0()1(由 知 e224即 2 解得 ，故16)3(e3 设随机变量 在区间 上服从均匀分布，则随机变量 在区间 内的概X)2,0( 2XY)4,0(率密度为 _.)yfY答案： 1,0,14()()()2.YXyfFyfy
2、 其 它解答：设 的分布函数为 的分布函数为 ，密度为 则,Y()XFx()Xfx2()()(YyPyPyFy因为 ，所以 ，即0,2XU0XY故 1,04,14()()()2.YXyfyFfy其 它另解 在 上函数 严格单调，反函数为0,2x()h所以 1,04,4()2.YX yfyfy其 它4 设随机变量 相互独立，且均服从参数为 的指数分布， ，则, 2)1(eXP_， =_.1),min(YXP答案： ，2-4e解答：，故 2()()Pein,1min(,)1YXYP.45 设总体 的概率密度为X.其 它,0,1,)1()xxf是来自 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为_.n,2
3、1答案： 1lniix解答：似然函数为 1 11(,;)()(),)nnni niLxxx 1llliiLn0iidx解似然方程得 的极大似然估计为.1lniix2、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1设 为三个事件，且 相互独立，则以下结论中不正确的是,ABC,AB（A）若 ，则 与 也独立.()1PC（B）若 ，则 与 也独立.（C）若 ，则 与 也独立.0（D）若 ，则 与 也独立. （ ）答案：（D）.解答：因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立，所以（A） ， （B） ，（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图 可见 A 与 C 不独立.2设随机变量 的分
4、布函数为 ，则 的值为(0,1)XN()x(|2)PX（A） . （B ） .1221（C） . （D ） . （ ）)答案：（A）解答： 所以(0,1)XN(|2)1(|2)1(2)PXPX应选（A）.123设随机变量 和 不相关，则下列结论中正确的是Y（A） 与 独立. （B） .X()DXY（C） . （D） . （ ）()DS A B C答案：（B）解答：由不相关的等价条件知， 0yxcov0xy），（()+2covDXY（ ， ）应选（B）.4设离散型随机变量 和 的联合概率分布为(,)1,(2)1,3(,)2,(,3)698XYP若 独立，则 的值为,（A） . （A ） . 21
5、912,9（C） （D） . （ ）,658答案：（A）解答： 若 独立则有,XY(2,)(2)PXYPXY11393， 2故应选（A ）.5设总体 的数学期望为 为来自 的样本，则下列结论中X12,nX X正确的是（A） 是 的无偏估计量 . （B ） 是 的极大似然估计量.1 1（C） 是 的相合（一致）估计量. （D ） 不是 的估计量. （ ）答案：（A）解答：，所以 是 的无偏估计，应选（A ） .1EX13、 （7 分）已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品
6、的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设 任取一产品，经检验认为是合格品A任取一产品确是合格品B则（1） ()(|)(|)PABP0.95.102.857（2） .()9(|)4、 （12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5. 设 为途中遇到红灯的次数，X求 的分布列、分布函数、数学期望和方差.1231698331298YX解： 的概率分布为X332()()0,123.5kkPXC即 0174682251的分布函数为X0,71258(),2,7,3,125.xFxxx63,EX.2185
7、D5、 （10 分）设二维随机变量 在区域 上服从均(,)Y(,)|0,1xyxy匀分布. 求（1 ） 关于 的边缘概率密度；（2） 的分布函数与概率XZXY密度.解： （1） 的概率密度为(,)Y2,(),0.xyDfxy其 它,01()(,)X xffd其 它（2）利用公式 ()(,)Zfzfxz其中 2,01(, xfx其 它 2,01,.xz其 它当 或 时0z1()Zfz时 0022zdxxz z=x1D0 1z xyx+y=1x+y=zD1故 的概率密度为Z2,01,()zf其 它 .的分布函数为Z20, ,0,()()2,11,.1,zzZZ zffydyz或利用分布函数法10,
8、()()21,.Z DzFzPzXYzdxyz20,1,.zz2,01,()Z zfF其 它 .6、 （10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 和纵坐标 相XY互独立，且均服从 分布 . 求（1）命中环形区域2(0,)N的概率；（2）命中点到目标中心距离 的(,)|1Dxy 2Z数学期望.解： （1） ,)(,)DPXYfxyd2 228 8014xy rDede；2288211()rr（2）2228() xyEZXYxedxy0 1 22 22880 01184r reded. 22 28 80rr r七、 （11 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm） ，今抽取容
9、量为 16 的2(,)XN样本，测得样本均值 ，样本方差 . （1）求 的置信度为 0.95 的置信10x206s区间；（2）检验假设 （显著性水平为 0.05）.2:.H（附注） 0.50.50.25(6).74,()73,()3,ttt22. . .94927.48解：（1） 的置信度为 下的置信区间为1/2/2(),(1)ssXtnXtn0.510,.4,16,.32s所以 的置信度为 0.95 的置信区间为（9.7868，10.2132）（2） 的拒绝域为 .20:.1H2(1)n，5.64.S0.54.96因为 ，所以接受 .22.49()0H概率论与数理统计期末考试试题（A）专业、
10、班级： 姓名： 学号： 一、单项选择题(每题 3 分 共 18 分)1D 2A 3B 4A 5A 6B题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩得 分一、单项选择题(每题 3 分 共 18 分)（1） .0)(,0)( ;0)(0)( ) ( ).,0(ABPAP(D)BC()AABPB则同 时 出 现 是 不 可 能 事 件与 或 互 不 相 容互 斥与 则 以 下 说 法 正 确 的 是适 合、若 事 件（2）设随机变量 X 其概率分布为 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4 则 （ ） 。5.1P(A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D) 21
11、（3）设事件 与 同时发生必导致事件 发生，则下列结论正确的是（ ）1A2 A（A） （B）)()1P 1)()(21AP（C） （D）2（4） ).54,0);46,0();3,0();5,0(72),12(),1(DNCBNAZYXZYX则令 相 互 独与且设 随 机 变 量 立 .（5）设 为正态总体 的一个简单随机样本，其中nX,2,1 ),(2N,2未知，则（ ）是一个统计量。(A) (B) 21nii 21)(niiX(C) (D) X（6）设样本 来自总体 未知。统计假设n,21 2),(NX为 则所用统计量为（ ）。：已 知 ）（： 0100 HH(A) (B) nXUnSXT
12、0(C) (D)22)1(S ii122)(二、填空题(每空 3 分 共 15 分)（1）如果 ，则 .)(,0(,)( APBPA)(B（2）设随机变量 的分布函数为X.0 ,)1(, ,)(xexF则 的密度函数 ， .f )2(XP（3） .,_ ,32, 1321 是 的 无 偏 估 计 量也时当 的 无 偏 估 计 量是 总 体 分 布 中 参 数设 a a（4） 设总体 和 相互独立 ,且都服从 ， 是来自总体 的XY)1,0(N92,X样本， 是来自总体 的样本，则统计量 921, Y2921YU服从 分布（要求给出自由度） 。二、填空题(每空 3 分 共 15 分)1. 2.
13、, 3. 4. )(BP0(xexf 23e1)9(t三、(6 分) 设 相互独立， ， ，求 .A, 7.)(AP8.0)(B)BAP解： 0.88= )(B= (因为 相互独立)2 分)(P,= 3 分7.0)(.则 .4 分 6.B)()()( BPAAPAP6 分28.07.0四、 （6 分）某宾馆大楼有 4 部电梯，通过调查，知道在某时刻 T，各电梯在运行的概率均为 0.7，求在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率。解：用 表示时刻 运行的电梯数， 则 .2 分XTX)7.0,4(b所求概率 4 分1PX=0.9919 .6 分 404)7.().C五、 （6 分）设随机变量 X 的
14、概率密度为 ，其 它,0(xexfx求随机变量 Y=2X+1 的概率密度。解：因为 是单调可导的，故可用公式法计算 .1 分12xy当 时， .2 分0XY由 ， 得 4 分xy21,xy从而 的密度函数为 5 分Y10)()(yfyfY= 6 分1021yey五、 （6 分）设随机变量 X 的概率密度为 ，其 它,0)(xexfx求随机变量 Y=2X+1 的概率密度。解：因为 是单调可导的，故可用公式法计算 .1 分12xy当 时， .2 分0XY由 ， 得 4 分xy21,xy从而 的密度函数为 5 分Y10)()(yfyfY= 6 分1021yey六、 （8 分） 已知随机变量 和 的概
15、率分布为XYX1010P42P2而且 .Y(1) 求随机变量 和 的联合分布;X(2)判断 与 是否相互独立?解：因为 ，所以10YP0YP(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出X-1 0 1014002140211.4 分(2) 因为 41200, YPXYXP所以 与 不相互独立8 分七、 （8 分）设二维随机变量 的联合密度函数为),(YX. ,0,0 ,12),()43(其 他yxeyxfy求：（1） ；（2）求 的边缘密度。),0(YXPX解：（1） 2 分10)43(,1dyedxx=204103yedx20413yx= .4 分31e8（2） 6 分dyxfxX)43(2)(
16、8 分0e八、 （6 分）一工厂生产的某种设备的寿命 （以年计）服从参数为 的指数分X41布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。解： 因为 得 .2 分)41(eX041)(xexf用 表示出售一台设备的净盈利Y3 分1310XY则 4141)0(edxYP4 分41402所以 )()20(14141eeEY（元） 6 分306.3九、 （8 分） 设随机变量 与 的数学期望分别为 和 2，方差分别为 1 和 4，X而相关系数为 ，求 。5.)(),2(YXDE解：已知 5.
17、0,4,1,2XYYE则 .4 分62)()( X.5 分,cov(DXD.6 分)(42Y=12 8 分X十、 （7 分） 设供电站供应某地区 1 000 户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从0，20上的均匀分布，利用中心极限定理求这 1 000 户居民每日用电量超过 10 100 度的概率。 （所求概率用标准正态分布函数 的值表示）.)(x解：用 表示第 户居民的用电量，则iXi 20,UXi2 分102iE31)(iD则 1000 户居民的用电量为 ，由独立同分布中心极限定理01iiX3 分10PXP= 4 分3103101XP.6 分)310(= 7 分
18、)(十一、 （7 分） 设 是取自总体 的一组样本值， 的密度函数为nx,21 XX, ,01,)1()其 他 xf其中 未知，求 的最大似然估计。0解: 最大似然函数为.2 分iniinin xxfxL)1()(),(11 = .3 分,nn则 ),l()1l(),(ln11 nn xxL 4 分10令 5 分),l(1l nxd于是 的最大似然估计：。 .7 分),l(1nx十二、 （5 分） 某商店每天每百元投资的利润率 服从正态分布，均值)1,(NX为 ，长期以来方差 稳定为 1，现随机抽取的 100 天的利润，样本均2值为 ，试求 的置信水平为 95%的置信区间。 （ x ,9.1)
19、0(5.t）975.0)6.1(解： 因为 已知，且 1 分)1,0(NnX故 2 分2UnP依题意 5,1,0,96.1,05.2 x则 的置信水平为 95%的置信区间为4 分,22nUxx即为 4.801,5.199 5 分概率论与数理统计课程期末考试试题（ B）专业、班级： 姓名： 学号： 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩得 分一、单项选择题(每题 3 分 共 15 分)（1） .0)(,0)( ;0)(0)( ) ( ).,0(ABPAP(D)BC()AABPB则同 时 出 现 是 不 可 能 事 件与 或 互 不 相 容互 斥与 则 以 下 说 法
20、正 确 的 是适 合、若 事 件（2） kb(2)(b且 0 ; .;,XX（3）连续随机变量 X 的概率密度为 其 它,0221,)(xxf则随机变量 X 落在区间 (0.4, 1.2) 内的概率为( ).(A) 0.64 ; (B) 0.6; (C) 0.5; (D) 0.42.（4） ).54,0);46,0();3,0();5,0(72),12(),1(DNCBNAZYXZYX则令 相 互 独与且设 随 机 变 量 立 .（5） 设 ),(21是 参 数 的 置 信 度 为 1的 区 间 估 计 ,则 以 下结 论 正 确 的 是 ( ).(A)参 数 落 在 区 间 ),(21之 内
21、 的 概 率 为 1;B参 数 落 在 区 间 之 外 的 概 率 为 ;(C)区 间 ),(21包 含 参 数 的 概 率 为 1;D对 不 同 的 样 本 观 测 值 ,区 间 ),(21的 长 度 相 同 .,二、填空题(每空 2 分 共 12 分)（1） ._,_, ),(, ),).(1,0(, 292191 9参 数 为分 布服 从 则 统 计 量一 个 样 本 是 从 总 体中 抽 取 的 一 个 样 本是 从 总 体 且 都 服 从 正 态 分 布相 互 独 立与设 总 体 YXUYYX XNY 中 抽 取 的（2） .,_ ,32, 1321 是 的 无 偏 估 计 量也时当
22、 的 无 偏 估 计 量是 总 体 分 布 中 参 数设 a a（3） 设 总 体 )1,(NX是 未 知 参 数 ,21,X是 样 本 ,则21132X及 212都 是 的 无 偏 估 计 ,但 _有 效 .（4） 设 样 本 ),(21nX 抽 自 总 体 2,).,(N均 未 知 .要 对 作 假 设 检 验 统 计 假 设 为 :0H0已 知 ),:0H则 要 用 检 验 统 计 量 为 _,给 定 显 著 水 平 则 检 验 的 拒 绝 区 间 为 .三、(7 分) 已知 ，条件概率 .6.0)(,5.0)(BPA )(.8,0)(ABPABP试 求四、(9 分) .设随机变量 的分
23、布函数为 ， X xBAxF ,arctn)(求:（1）常数 , ；（2） ；（3）随机变量 的密度函数。AB1(PX五、(6 分) 某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第 1 车间的次品率为0.15，第 2 车间的次品率为 0.12.两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，假设 1、2 车间生产的成品比例为 2：3，今有一客户从成品仓库中随机提台产品，求该产品合格的概率.六、(8 分) 已知甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求乙箱中次品件数的分布律及分布函数 .)(xF七、(7 分) 设随机变
24、量 的密度函数为X其 它,0)(xexfx求随机变量的函数 的密度函数 。xY)(yfY八、(6 分) 现有一批钢材，其中 80%的长度不小于 3 m，现从钢材中随机取出100 根，试用中心极限定理求小于 3 m 的钢材不超过 30 的概率。(计算结果用标准正态分布函数值表示)九、(10 分) 设二维随机变量 的联合密度函数为),(YX. ,0,0 ,12),()43(其 他yxeyxfy求：（1） ；（2）求 , 的边缘密度; （3）判断 与),0(YXPXYX是否相互独立Y十、(8 分) 设随机变量（ ）的联合密度函数为YX,其 他 ,0,112),(xyyxf求 , 进一步判别 与 是否
25、不相关。)(),(YEXY十一、(7 分) .设 是来自总体 的一个简单随机样本，总体 的密度函数nX,21 X为 , ,02),(其 他xxf求 的矩估计量。十二、 （5 分）总体 测得样本容量为 100 的样本均值 ，求 的)1,(NX 5_X数学期望 的置信度等于 0.95 的置信区间。 （ ,9.1)0(.t)975.06.1(一、单项选择题：（15 分）1、D2、D3、B4、A5、C二、填空题：（12 分）1、 ;9,t2、-13、 更4、 ， ;/XSn )1(,)1( 2/2/ nStXnSt 三、 （7 分）解： 分 分 74.085. 4)|()(ABPA四、 （9 分）解：
26、（1）由 2)(1BAF.1分02分得 ,2A.3分xxFarctn1)( 4分（2） 21)(FXP.6分（3） )()()( xxxf.9分五、 （6 分） 分车 间 生 产提 出 的 一 台 是 第 是 合 格 品从 仓 库 随 机 提 出 的 一 台解 ： 2.53)(,2)( )2,1(1APiiBi 211|08,(|)08.3()(|) 523.5.06BPBA 分则 分 .6分六、 （8 分）解：设用 表示乙箱中次品件数，则 的分布律为XX201)3(209)2(91103636 36236 CXPCXP .4分的分布函数 为xFxxxF3210120910)( .8分七、 （
27、7 分）解: 分分的 密 度 函 数 为则 分时 ，当 时 ，当 分的 分 布 函 数 为可 能 取 值 范 围 为 7.101 6.10)(ln)( 5)(ln)l(10) 3.)()(),12.ln yyeFyfYyFXPyy yePyYFYeyXXY XYX八、 （6 分）解: 103(,.2).2()()10816.33(30)()5162XmBEDXPX设 为 根 钢 材 小 于 的 钢 材 根 数则 分 ， 分由 中 心 极 限 定 理 ： 分.5986.分九、 （10 分）解：（1） = )20,1(YXPdyedxx20)43(1.2分= (83分（2）关于 的边缘分布：ydx
28、ffX),()(.4分= 03xe.6分同理关于 的边缘分布：Y= xdyfyf),()( 04ye.8分（3）因为)(),(yfxyfYX ),yx所以 与 相互独立。 XY.10分十、 （8 分）解：5412),()( 0 dxydxyfXEx.2分3yY 4分21),()( 210 xyxyfx.6分因为 ，所以 与 是相关的。 YEXXY.8分十一、 （7 分）解： 分的 矩 估 计 为 分令 分7.23 51)( 332|.2),(1020 niiniiXXExdxxf 十二、 （5 分）解： 分），（所 求 区 间 为 分，其 中 分（ 分的 置 信 区 间 为的 置 信 度 为， 所 以因 为 5.196.5804. 451025. 3), 1.95.1/ 2/2/ XnuuX共 8 页第 8 页
