1、1第六章 刚体的平面运动本章要点一、刚体平面运动的描述1 刚体的平面运动方程： ， ， .)(txA)(tyA)(t2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动） 。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。二、平面运动刚体上点的速度1 基点法：平面图形内任一点 的速度，等于基点 的速度与 点绕基点转动速度的矢量和，BAB即，ABv其中 的大小为 ，方向
2、垂直于 AB，指向与图形的转动方向相一致。Av2 投影法速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即ABBv3 瞬心法任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即，CMv其方向与 CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时， ，则称此时刚体作瞬时平移，0瞬时平移刚体的角加速度不为零。解题要领：1
3、建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单， 。2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。3 平面运动刚体上点的速度计算的 3 种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是2常用的方法。4 当用基点法时，要注意基点的速度矢和相对基点的速度矢组成速度平行四边形的两边，对角向才是这一点的速度矢。速度基点法能且只能解 2 个未知量，因此，在涉及的 3 个速度中至少有一个速度的大小和方向都是已知的，在画速度平行四边形时先画这个速度。5 应用速度投影法
4、时，要注意投影是有正负的，两点的速度必须协调，符合刚体的定义。6 在找速度瞬心时，作速度矢量时要注意各速度的协调，同一刚体上的两点速度方向可以确定速度瞬心的位置。三、平面运动刚体上点的加速度平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和，即，ntBAABaa进一步，当基点 A 和所求点 B 都作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度，上式写为，nttnt BAAB其中 ， ， ， ， 分别为 点的曲率半径。nBva2A22aatBA,特殊地，当刚体作瞬时平移时， ，有加速度投影定理0nBA.ABBa解题要领1 加速度基点法一般涉及
5、 6 个加速度矢量，其中 3 个法向加速度是与速度或角速度有关，这可以通过速度分析求得，而 的方向与 垂直为已知，剩下 5 个因素中只可以存在 2 个未tBAa,知量。2 一般选加速度的大小和方向都已知的一点为基点。3 加速度基点法最多涉及 6 个矢量，应通过列投影式解代数方程求解。投影式中等号一边是点加速度的投影，另一边是基点 的加速度和相对于基点加速度投影的代数和，千万不能BA写成“平衡方程”的形式。4 加速度投影定理只在刚体作瞬时平移时成立。5 可以证明刚体作平面运动时也存在加速度瞬心，即加速度为零的点，但这必须在角速度和角加速度皆已知的情况下才能确定，因此无助于解题，所以没有“加速度瞬
6、心法” 。3第七章 刚体的平面运动 习题解答6-1 椭圆规尺 AB 由曲柄 OC 带动，曲柄以角速度绕 O 轴匀速转动，如图所示。如，并取 C 为基点，求椭圆规尺 ABrABC的平面运动方程。解：AB 杆作平面运动，设 时， ，则 。0tt0选 AB 杆上的 点位基点，建立平移坐标系 ，在yx图示坐标系中， 杆在固定坐标系 的位置由坐ABO标 确定，所以 杆的平面运动方程为：),(Cyx，tr0cos，in.t6-2 杆 AB 的 A 端沿水平线以等速 v 运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周半径为 R，如图所示。如杆与水平线的夹角为 ，试以角 表示杆的角速度。解： 解法一：杆 AB 作平
7、面运动。选取 为基点，A由速度基点法，CAv作图示几何关系，图中 ，解得，siniAB 杆的角速度为 （逆时针）. co2RvCA解法二：在直角三角形ACO 中， ，对时间求导，得xsinx2cos其中， ，解得 AB 杆的角速度为in,Rvx，cos2（负号表示角速度转向与 角增大的方向相反，即逆时针）题 6-1 图题 6-2 图46-3 半径为 r 的齿轮由曲柄 OA 带动，沿半径为 R 的固定齿轮转动，如图所示。如曲柄OA 以等角加速度 绕 O 轴转动，当运动开始时，角速度 ，转角 。求动齿轮以0O中心 A 为基点的平面运动方程。解：动齿轮作平面运动。建立与曲柄 OA 固结的转动坐标系，
8、和在动齿轮的 A 点建立平移坐标系 ，如OyxA图所示，从图中可见，因动齿轮和固定齿轮间没有滑动，所以存在关系 rR小轮半径 相对平移坐标系 ，也即固定坐标系得AMyxA转角为, 而 ， )1(rA21t可得小轮平面运动方程为， .)2cos()(tRxA )2sin()(trRyA6-4 图示机构中，已知 m，10.Om， m， m；10.BD10.E3Frad/s。在图示位置时，曲柄 OA 与水平4OA线 OB 垂直；且 B、D 和 F 在同一铅直线上，又。求 EF 的角速度和点 F 的速度。E解：如图所示，对各构件进行速度分析.1） 杆作平面运动. 因 ，所以 杆ABAv/为瞬时平移，得
9、.smOvAAB/4.02） 杆作平面运动. 由 找得 杆的速度瞬心为 D 点，所以， 杆上的速度分布好CBCv, BC像与三角板 一起绕 作定轴转动一样，得DE，方向如图示./s40Bv3） 杆作平面运动. 由 找得 EF杆的速度瞬心为 EF，故有FEv, 题 6-4 图题 6-3 图5， （顺时针） ；rad/s3.1EFCv， （方向向上） 。m4620F6-5 图示四连杆机构中，连杆由一块三角板 ABD 构成。已知曲柄的角速度rad/s， mm， mm， mm。当 mm 铅直时，AB 平21AO15021O50ADAO1行于 ，且 、A、D 在同一直线上，角 。3求三角板 ABD 的角
10、速度和点 D 的速度。解： 杆和 杆作定轴转动，三角板 做平面12BAB运动， 由 找得三角板 的速度瞬心为Av,点，如图所示. 故ABDC，m/s2.01AOv三角板 ABD 的角速度：， （逆时针）.rad/7.vABDD 点的速度：.r/s254.0ABCv6-6 图示双曲柄连杆机构中，滑块 B 和 E 用杆 BE 连接，主动曲柄 OA 和从动曲柄 OD都绕 O 轴转动。OA 以匀角速度 rad/s 转动。已知 mm， mm，10 10OA120Dmm， mm， mm。求当曲柄 OA 垂直于滑块的导轨方向时，260AB12E32D曲柄 OD 和连杆 DE 的角速度。解：如图机构中，主动曲
11、柄 OA 作定轴转动，m/s2.1OvA杆作平面运动，在图示瞬时，由 知，BBAv,杆作瞬时平移，有./sABv作平移， . 有 找得 杆速度EBEEDv,瞬心为 D 点.在图示位置上可得，OO2由此可知 ， 杆角速度为30题 6-5 图题 6-6 图6，rad/s7.5310CEvDD 点的速度为，m/s8.26v曲柄 OD 的角速度为， （逆时针）.rad/s3.170OD6-7 使砂轮高速转动的装置如图所示。杆 绕 轴转动，转速为 r/min，21O1904n处用铰链连接一半径为 的动齿轮 2，杆 转动时，轮 2 在半径为 的固定内齿轮 3 上2 2r 3r滚动，并使半径 的轮 1 绕
12、轴转动。轮 1 上装有砂轮，随同轮 1 高速转动。求砂1/轮的转速。解：如图所示: 设轮 1 和杆 的角速度分别为 和 ，21O14杆 作定轴转动，故21O4)(rv轮 1 和轮 2 啮合点 M 的速度 ，注意2OMv，可得轮 1 的角速度3r， （顺时针）4121rv轮 1 的转速为， （顺时针）.min/0824n6-8 图示瓦特行星传动机构中，平衡杆 绕 轴转动，并借连杆 AB 带动曲柄 OB；AO1而曲柄 OB 活动地装在 O 轴上；在 O 轴上装有齿轮 1，齿轮 2 的轴安装在连杆 AB 的另一端。已知：mm， ，3021r7501A；又平衡杆的角速度m5ABrad/s。求当 和 时
13、，61O69曲柄 OB 和齿轮 1 的角速度。解：由图所示可知：点 C 是 AB 杆和轮 II 的速度瞬心，故， （逆时针）.1142OABv 题 6-7 图题 6-8 图7，1375OABBCv杆 OB 的角速度为， （逆时针）.rad/s.21rO两齿轮啮合点 M 的速度为 , 则轮 1 的角速度为ABCv， （逆时针）.rad/s61vI6-9 如图所示，轮 O 在水平面上匀速滚动而不滑动，轮缘上固连销钉连接滑块 B，此滑块在摇杆 的槽内滑动，并带动摇杆绕 轴转动。已知轮的半径 m，在图示位置时，A1 1 50.R是轮的切线，轮心的速度 m/s，摇杆与水平面的夹角为 。求摇杆的角速度和O
14、20.Ov 6角加速度。解：轮 O 作匀速纯滚动， ，且 ，点 B 作合成运动。rvO0O选销钉 B 为动点，摇杆为动系。1） 速度分析： OvCv3a根据速度合成定理 作速度平行四边形，如图 (a)所示，求得rea, .Ovv20cosar Ov230sinae摇杆的角速度为 ， （逆时针）.rd/.1B2) 加速度分析：题 6-9 图 题 6-9 速度和加速度分析图8）选轮心 O 为基点，则销子 B 的加速度如图（b）所示，有（d）ntnOBBaa再选定销钉 B 为动点，摇杆为动系，如图（c） ，有 (e)crten由式（d）,(e)得 = + + + nBOanetearca大小： ？
15、2R12O1OBr12vO方向： 如图（b） ， （c）所示向 BO 轴上投影，ctenaBO解出 ，于是摇杆的角加速度为ea， （逆时针）.21terad/s046.1AO6-10 在图示机构中，已知：滑块 A 的速度mm/s， mm。求当 ，20Av40BCB时杆 CD 的速度。3解：选套筒上的销钉 C 为动点， AB 杆为动系，动系作平面运动.1）速度分析. 由 找得 AB 杆的速度瞬心 ，故BAv, ABCAB 杆的角速度为 ，而 C 点的牵rad/s1A连速度为，m/s20eABCv由速度合成定理 ，解得reavm/s15.0/s30cos2era vCD2）加速度分析. AB 杆作
16、平面运动，以 A 为基点，有= + + BaAtBanB 题 6-10 图题 6-10 速度分析图9大小： ？ 0 AB2AB方向: 向水平轴投影，列出，03cos0sinnt BABAa解得 ，2tAB于是求得 AB 杆的角加速度为， （顺时针）.rad/s3tAB再对套筒上的销钉 C 作加速度分析，仍以此销钉C 为动点， AB 杆为动系，加速度合成定理为，crea其中 ，这里 是 杆上与 重合的点，所以AA nctCe BC= + + + + actAcnarca大小: ？ 0 ？ BC2B rvAB方向: 向 轴投影，列出 ，ctea30cosa解出 .m/s67.03122ACAC即
17、， （向下）.m/s67.aCD6-11 直径为 d 的圆轮沿直线轨道滚动而不滑动，长为 l 的杆 AB 在 A 端与轮缘铰接，在B 端与沿倾角为 的滑道而运动的滑块铰接。已知轮心 O 点以速度 匀速运动。当0 0v时，杆 AB 处于水平。求此时滑块 B 的速度和加速度。3解：1）速度分析.圆轮作纯滚动，与地面接触点 位速度瞬心， 圆轮的角速度为0CdvO2从而有 题 6-10 加速度分析图10.OAvdv3cosAB 杆作平面运动， 找得 AB 杆的速度瞬心BA,，于是 AB 杆的角速度为ABC，vAB滑块 B 的速度为，方向如图示.OABAvCv32） 加速度分析. 圆轮作匀角速纯滚动，轮
18、心 O 的加速度为零，以此为基点，容易求得轮缘上 A 点的加速度为 ，指向轮心. dvaOA2AB 杆作平面运动，以 A 为基点，计算 B 点的加速度，有，ntBABa其中 ，向 轴投影，列出2nax，n30cos6csA解得：，方向如图示.21OBvlda6-12图示配汽机构中，曲柄 OA 长为 r，绕 O 轴以等角速度 转动， ，0rAB6。求机构在图示位置时，滑块 C 的速度和加速度。rC3解：1）速度分析.曲柄 OA 作定轴转动， .0rvAAB 杆作平面运动，由 找得 AB 杆的速度瞬心 ，由此B, AB得 AB 杆的角速度.30rvABB 点速度为.0rCvBABC 杆作平面运动，
19、由 找得 BC 杆的速度瞬Cv, 题 6-12 图题 6-11 图题 6-11 AB 杆的加速度分析图题 6-12 速度分析图11心 ，由此得 BC 杆的角速度BC.60vB滑块 C 的速度为，向下.023rvBC注意到，如果题目只要求 B 和 C 点的速度，而不需要求杆的角速度，则用速度投影法求解更方便简捷。2）加速度分析.对 AB 杆，选 A 为基点，则 B 点加速度为= + + anAtAanBA大小： ？ ？ 2Or2方向： 方向都已知，如图所示.向 AB 轴投影，得nn30sisiBAABaa解得 .21Or对 BC 杆，选 B 为基点，C 点加速度为= + + aBtCBanB大小
20、： ？ ？ 231Or2C方向： 方向都已知，如图所示向 BC 轴投影，得 ，方向向2n1330cosOCBBCraa上.6-13 图示轻型杆式推钢机中，曲柄 OA 借连杆 AB 带动摇杆 绕 轴摆动，杆 EC 以铰链与滑块 C 相连，滑块 CBO1可沿杆 滑动。摇杆摆动时带动杆 EC 推动钢材。已知， ， ，在图示位置时， ， rad/s，rAr33/21bB3/4bB5.0OA题 6-12 加速度分析图题 6-13 图12m， m. 求滑块 C 的绝对速度和绝对加速度，滑块 C 相对于摇杆 的速度和加2.0r1b BO1速度。解： 1）速度分析该机构速度分析如图（a）.AB 杆作平面运动，
21、以 A 为基点， ，有OArvBBv解出 ，m/s15.03cosAB，7tanv于是，杆 的角速度为O1， （逆时针） ；rd/s2.01B杆 的角速度为A， （顺时针）.ra/s67.vAB选取滑块上的销钉 C 为动点，摇杆 为动系，则BO1.m/s34.01eOv由速度合成定理 ，reav解出滑块 C 相对于摇杆 的速度：1, /s2.03tnerv滑块 C 的绝对速度：， （向左）.m/s4.coseaE（2）加速度分析.该机构加速度分析如图（b） ，对 AB 杆，以 A 为基点，有+ = + + tBanAatBn大小： ？ ？ 21O2Or2BA方向： 方向都已知 ，如图（2）所示
22、向水平轴投影，列出，nnt 30sicoBABBaa(a)题 6-13 速度分析图(b)题 6-13 加速度分析图13解出 ，于是，杆 的角加速度为2m/s07.231nBABaa BO1， （逆时针）.21t rd/4.O仍取滑块上的销钉 C 为动点，摇杆 为动系，则由O1= + + +atenearca大小： ？ ？ 121r1v方向： 方向都已知，如图（b）所示向 轴和 轴投影CO1， ，ctea30cosa rnea30sia解出滑块 C 的绝对加速度和相对于摇杆的加速度为，2ctea m/158.s.aner s390i6-14 图示行星齿轮传动机构中，曲柄 OA 以角速度 绕 O
23、轴转动，使与齿轮 A 固结在0一起的杆 BD 运动，并借铰链 B 带动 BE 杆运动。如定齿轮的半径为 2r，动齿轮半径为 r，且，图示瞬时，OA 在铅直位置， BD 在水平位置，杆 BE 与水平线间成 角。求杆rAB5 BE 上的点 C 的速度和加速度。解：1）速度分析.动齿轮 A 在定齿轮 O 上作纯滚动，所以，动齿轮 A 上与定齿轮 O 接触的这点 就是动ABC齿轮的 A 的速度瞬心，于是有， ， （逆时针）.03rv03rvAB.6CAB选 BE 杆上的 B 点为动点，套筒 C 为动系，如图（a） 。由速度合成定理，reavv得，0ar 865.90cosr.e 2inv 题 6-14
24、 图 题 6-14 速度分析图题 6-14 加速度分析图14式中 . 从而杆 BE 的角速度为1245arctn， （顺时针）.0e68.BCv当选 BE 杆上的 为动点时，牵连速度为零，又因为杆相对于套筒是作平移，从而杆 BE上的 点的速度为.0r865.vC3） 加速度分析，如图（b） ，小齿轮作平面运动，选 A 为基点，则 B 点加速度为, tnBAABaa式中因 得 .另一方面，选杆上的 B 点为动点，套筒为动系，则有0t，crneB由此两式得 + = + + + ，AanBAteanerac大小： ？ ？ 203r25rBC2re2v方向： 如图（b）所示向 CB 轴投影，nern4
25、5coscsaaBAA解出 .20r73.1a再选杆上 为动点，套筒为动系，有 C= + + aeCrcCa大小: ？ 0 r2ve方向: 见图（ 2）C 处得杆上 点加速度为 . 20c2r14.6a6-15 曲柄 OA 以恒定的角速度 绕轴 O 转动，rd/s并借助连杆 AB 驱动半径为 r 的轮子在半径为 R 的圆弧槽中作无滑动的滚动。设 ，求图示瞬时1m2ABO点 B 和点 C 的速度和加速度。解：1） 速度分析 . 如图（a） ，点 P 为轮子速度瞬心，AB 杆作瞬时平移，有 , .轮 B 的角/s2RvAB 0A速度为题 6-15 图15, rad/s42rvB.m/s82.PC2
26、）加速度分析. AB 杆作平面运动，取 A 为基点，对 B 作加速度分析，如图（a） ，有+ = + + tBnaAtBnAa大小: ？ ？ rv22R02R方向: 如图（a ）所示分别向 AB 轴和 BP 轴投影，得, 0ntBA0tnBA故 B 点加速度为 ， . AB 杆的角加速度为m/s82rva/s8ntBa2t/sAB.轮 B 的角加速度为.2tm/s0aB轮作纯滚动，取 B 为基点，作 C 点的加速度分析，如图（b）所示，即= + + aBnBatCB大小： ？ nr20方向： 如图（b）所示故点 C 加速度 .22m/s31.CBCa6-16 图示机构中，曲柄 OA 以等角速度
27、 作定轴转动，0并带动连杆 ABD 及 DF 运动，E 处为一有固定支承德套筒，它可绕 E 点摆动。已知机构尺寸为 ，rOA，且在图示位置时， ，试求rBDA2D5此瞬时杆 DF 的角速度及角加速度。解：1）速度分析.题 6-15（a ）图题 6-16 图题 6-15（b）图16AD 杆作平面运动，由 找得 AD 杆的速度瞬心 ，于是有BAv, ADC， ，0rvA40CD，2rAD其中 .CA4DF 杆作平面运动，由 找得 DF 杆的速度瞬心EDv,，于是有DF， （顺时针方向）.053vDF其中 . rCF2若以 D 为动点，套筒 E 为动系，则由速度合成定理求得. 0r524rvD2）加
28、速度分析.AD 杆作平面运动，以 A 为基点，B 点加速度为= + + BatanBA大小： ？ ？ 20rAD2Dr方向： 如图（b）所示向铅锤轴列投影式：0sincot BABAaa解得, 20t165rBA， （逆时针）.20t3aD仍以 A 为基点，D 点加速度分析如图（b）所示，有 ，ntDAAaa式中有 3 个未知量，故再选 D 为动点，题 6-16 图(a) 题 6-16（b）图17套筒 E 为动系，有crnetaaD由上两式相等得+ + = + + + AtDAnDAteanrac大小： ？ ？ 20r22DFErvDF方向： 如图（b）所示上式向水平轴投影，ctent cos
29、siaaaDADA解出 , DF 杆的角加速度为20te563r， （逆时针）.2020te315.EDF6-17 图中滑块 A、B、C 以连杆 AB、AC 相铰接。滑块 B、 C 在水平槽中相对运动的速度恒为 。m/s.6求当 时滑块 B 的速度和加速度。50mx解：1）速度分析.滑块 A、 B、 C 都作直线运动，设 方向如CBAv,图所示，由题意可知存在关系， （a）svB. (b)0Ca又，杆 AB 和 AC 都作平面运动，由速度投影法得， （c）sincoAv. (d) B解得 ，或 ，代入（a）式，导出ttBC BCvcot， (e)svBcot当 时， ， ，于50mx38.67
30、105ar13.50sin13arci是. m/s29.cotsvB 题 6-17 图题 6-17 速度分析图18.m/s571.0BCvs,rad8Arad/s758.4AC将（e）式对时间求导，注意到 ， ，导出BACsaB2sin代入数据，得 .负号表示 的实际方向与图示方向相反。2m/37.5B Ba6-18 在周转传动装置中，半径为 R 的主动齿轮以角速度 和角加速度 作反时针00转向转动，如图所示。而长为 3R 的曲柄 OA以同样的角速度和角加速度绕 O 轴作顺时针转向转动。点 M 位于半径为 R 的从动齿轮上，在垂直于曲柄的直径的末端。求点 M 的速度和加速度。解：1）设 OA
31、为动系，以轮 O 为对象，则， ，轮 O 的相对角速度 满0a0erO足，rea即，r0O解得 ， （逆时针）.从而轮 A 的相对角速r2O度， （逆时针）.0rrA和相对角加速度为， （逆时针）.0rr2O轮 A 的绝对角速度为和绝对角加速度为， （逆时针）.0rea， （逆时针）.A2）轮 A 作平面运动，以 A 为基点.）速度分析：题 6-18 图题 6-18（a）图题 6-17（b）图19，03RvA0vMA根据速度合成法以 M 为动点，仍以 OA 为动系，则.021RvMA）加速度分析：由加速度合成法的 M 点的加速度 tntn MAAAMaaa大小： ？ AORR223方向： ？ 如图（b）所示02atMAnx0ty于是 M 点加速度的大小为 .2040222 11RaanAtMnAt
