1、我的函数的基本性质教案1. .函数的单调性(1)设 那么2121,xbax上是增函数；()()0ffbaxfxff ,)(0)(21在上是减函数.1212xx,在(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果)(fy)(f)(xf，则 为减函数.0)(f注：如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内 ,和函数 也是xg )(xg减函数;如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(uf)(x是增函数.)(gfy2. 奇偶函数的图象特征函数奇偶性的判定奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果
2、一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数注：若函数 是偶函数，则 ；若函数 是偶)(xfy)()(axfxf)(axf函数，则 .(af注：对于函数 ( ), 恒成立 ,则函数 的对称轴Rba是函数 ;两个函数 与 的图象关于直线 对称.2bax)xfy)(xfy2bx注：若 ,则函数 的图象关于点 对称;若)()(aff)0,2(a,则函数 为周期为 的周期函数.)(xf(xfya23. 多项式函数 的奇偶性10()nnP多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.P多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.xx23.函数 的图象的对称性()yf(1)函
3、数 的图象关于直线 对称a()()fxfa.(2fa(2)函数 的图象关于直线 对称()yfx2bxfmfbx.)fbmf4. 两个函数图象的对称性(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.()yfx(yfx0xy(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.()yfmxa()yfbmx2abxm(3)函数 和 的图象关于直线 y=x 对称 .1xf25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图f fy)(象；若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的0),(yx 0,bax图象.5. 互为反函数的两个函数的关系.abfaf)()(127.若函数 存在反函数 ,则其反
4、函数为 ,并不是kxy )(1bxfky,而函数 是 的反函数.)(1fy )(1bkxf )(xf6. 几个常见的函数方程(1)正比例函数 , .()fxc()(),(1fyfyfc(2)指数函数 , .a0xa(3)对数函数 , .log,1)(4)幂函数 , .()f()(),fff(5)余弦函数 ,正弦函数 ， ，csxsing()()fxyfgxy. 0()1,limxf7. 几个函数方程的周期(约定 a0)（1） ，则 的周期 T=a；)()af)(xf（2） ，0x或 ，)(1(ff或 ,xaf)x或 ,则 的周期 T=2a；21()(,()012fafx)(xf(3) ，则 的
5、周期 T=3a；)1xff(4) 且 ，则()(2121f1212()(),0|)ffxxa的周期 T=4a；)xf(5) ()3(4)fxaxaf,则 的周期 T=5a；(ffx(6) ，则 的周期 T=6a.(8. 分数指数幂 (1) （ ，且 ）.1mna0,anN1(2) （ ，且 ）.1mna0,nN19. 根式的性质（1） .()n（2）当 为奇数时， ；na当 为偶数时， .,0|10. 有理指数幂的运算性质(1) .(0,)rsrsaQ(2) .()(3) .,rrbbr注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
6、33.指数式与对数式的互化式.logbaN(0,1)N34.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ).llmaa0m10N推论 ( ,且 , ,且 , , ).oglmnban1n011. 对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1) ;l()llogaaN(2) ;oga(3) .ll()naR注：设函数 ,记 .若 的定义域为)0(og)(2acbxxfm acb42)(xf,则 ，且 ;若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要R0f0单独检验.12. 对数换底不等式及其推论若 , , , ,则函数ab0x1alog()axyb(1)当 时,在 和 上 为增函数 .(,)
7、,)(2)(2)当 时,在 和 上 为减函数 .(l()axy推论:设 ， ， ，且 ，则1nm0pa1（1） .log()logpmn（2） .2loglogaamnn四典例解析题型一：判断函数的奇偶性例 1讨论下述函数的奇偶性：解：（1）函数定义域为 R，f(x)为偶函数；（另解）先化简： ，显然 为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。（2）须要分两段讨论：设设当 x=0 时 f(x)=0，也满足 f(x )=f(x)；由、知，对 xR 有 f(x) =f(x) ， f (x)为奇函数；（3） ，函数的定义域为 ，f(x)=log 21=0(x=1) ，即 f(x)的图象由两个点
8、 A（1，0）与 B（1，0）组成，这两点既关于 y 轴对称，又关于原点对称，f (x)既是奇函数，又是偶函数；（4）x 2a2, 要分 a 0 与 a 0 时，当 a 0 时，f(x)为奇函数；既不是奇函数，也不是偶函数.点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。例 2(2002 天津文.16)设函数 f（x）在（，+）内有定义，下列函数：y= | f（x）| ；y =xf（x 2）；y=f（x ）；y=f（x）f（x）。必为奇函数的有_（要求填写正确答案的序号）答案
9、：；解析：y=（x）f （x） 2=xf（x 2）=y；y=f（x）f（x）= y。点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。题型二：奇偶性的应用例 3（2002 上海春，4）设 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，若当 x0 时，f（x）=log3（1+x），则 f（2）=_ _。答案：1；解：因为 x0 时，f （x）=log 3（1+x），又 f（x ）为奇函数，所以f（x）=f（x ），设 x0 ，所以 f（x）=f （x）= f（1x），所以 f（2）= log33=1。点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数
10、的取值。例 4已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足 f(2+x)= f(2x )，且 f(x)是偶函数，当x0， 2时，f(x )=2x1，求 x 4，0 时 f(x)的表达式。解：由条件可以看出，应将区间4，0 分成两段考虑：若 x2，0，x 0 ，2，f(x)为偶函数，当 x2，0时，f(x)= f(x)=2x1,若 x4，2 ，4+ x0 ，2 ，f(2+x)+ f (2 x)，f(x)= f(4x )，f(x)= f( x )= f4（x）= f(4+x )=2（x +4）1=2 x+7；综上，点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。题型三：判断证明函数的
11、单调性例 5（2001 天津，19）设 ， 是 上的偶函数。（1）求 的值；（2）证明 在 上为增函数。解：（1）依题意，对一切 ，有 ，即 。 对一切 成立，则 ， ， ， 。（2）(定义法)设 ，则，由 ，得 ， ， ，即 ， 在 上为增函数。（导数法） ， 在 上为增函数点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例 6已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，对 xR 有 f(x)0，且 f(5)=1，设 F(x)= f(x)+ ，讨论 F (x)的单调性，并证明你的结论。解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在 R 上任取 x1、x 2，设 x
12、110 时 f(x)1; 若 x1x15，则 f(x2)f(x1)1 , f(x 1)f(x2)1, 0, F(x 2) F (x1)；综上，F ( x)在（，5）为减函数，在（ 5，+ ）为增函数。点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。题型四：函数的单调区间例 7（2001 春季北京、安徽，12）设函数 f（x ） （ab0），求 f（x）的单调区间，并证明 f（x ）在其单调区间上的单调性。.解：在定义域内任取 x1x 2，f（x 1）f（x 2），ab0，ba0，x 1x 20，只有当 x1
13、x 2b 或bx 1x 2 时函数才单调当 x1x 2b 或bx 1x 2 时 f（x 1）f（x 2）0f（x）在（ b， ）上是单调减函数，在（，b）上是单调减函数点评：本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。例 8（1）求函数 的单调区间；（2）已知 若 试确定 的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为 ，分解基本函数为 、显然 在 上是单调递减的，而 在 上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：所以函数 在 上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为 R，分解基本函数为 和 。显然 在 上是单调递减的
14、， 上单调递增；而 在 上分别是单调递增和单调递减的。且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为 ；单调减区间为 。解法二： ，令 ，得 或 ，令 ， 或单调增区间为 ；单调减区间为 。点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。题型五：单调性的应用例 9已知偶函数 f(x)在(0，+) 上为增函数，且 f(2)=0，解不等式 flog 2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化为 flog 2(x2+5x+4)f(2)。 又f(x )为偶函数，且 f(x)在(0 ，+)上为增函数，f(x)在(,0)上为减函数且 f(2)=f (2)=0。不等式可
15、化为 log2(x2+5x+4)2 或 log2(x2+5x+4)2 由得 x2+5x+44，x5 或 x0 由得 0x 2+5x+4 得x 4 或1x 由得原不等式的解集为x|x5 或 x4 或1x 或 x0 。例 10已知奇函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)在0，+ 上是增函数，是否存在实数 m，使 f(cos23)+f(4m 2mc os)f(0)对所有 0, 都成立？若存在，求出符合条件的所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由。解：f(x) 是 R 上的奇函数，且在 0，+上是增函数，f(x)是 R 上的增函数，于是不等式可等价地转化为 f(cos23) f(2mcos4m)
16、，即 cos232 mcos4m,即 cos2mcos+2m 20。设 t=cos,则问题等价地转化为函数g(t)=t 2mt+2m2=(t )2 +2m2 在0，1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在 0，1上的最小值为正。当 0 m1 与 m0 42 1,即 m2 时，g(1)=m10 m1。m2综上，符合题目要求的 m 的值存在，其取值范围是 m42 。另法(仅限当 m 能够解出的情况)： cos2mcos +2m20 对于 0, 恒成立，等价于 m(2c os2)/(2c os) 对于 0, 恒成立当 0, 时，(2cos 2)/(2cos) 42 ，m42 。点评：上面两例子借助于函
17、数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。题型六：最值问题例 11（2002 全国理，21）设 a 为实数，函数 f（x ）=x 2+|xa|+1 ，xR 。（1）讨论 f（x ）的奇偶性；（2）求 f（x）的最小值。解：（1）当 a=0 时，函数 f（ x）= （x ） 2+|x|+1= f（x ），此时 f（x）为偶函数。当 a0 时，f（a）=a 2+1，f（ a）= a2+2|a|+1，f（a）f（a），f（a）f （a）。此时函数 f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。（2）当 xa 时，函数 f（x）=x 2x+a+1=（x ） 2+a+ 。若 a ，则函数 f（x）在（，a）上
18、单调递减，从而，函数 f（x）在（，a）上的最小值为 f（a）=a 2+1。若 a ，则函数 f（x ）在（，a 上的最小值为 f（ ）= +a，且 f（ ）f（a）。当 xa 时，函数 f（x）=x 2+xa+1=（x+ ） 2a+ 。若 a ，则函数 f（x）在a，+ 上的最小值为 f（ ）= a，且f（ ）f（a）。若 a ，则函数 f（x ）在a，+上单调递增，从而，函数 f（x）在a，+ 上的最小值为 f（a）=a 2+1。综上，当 a 时，函数 f（x）的最小值是 a。当 a 时，函数 f（x）的最小值是 a2+1。当 a 时，函数 f（x ）的最小值是 a+ 。点评：函数奇偶性的
19、讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为 xR ，f（0）=|a|+10，由此排除 f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当 a=0 时，f（x ）是偶函数，第 2 题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。例 12设 m 是实数，记 M=m|m1，f (x)=log3(x24mx+4m 2+m+ )。(1)证明：当 mM 时，f(x) 对所有实数都有意义；反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则 mM ；(2)当 mM 时，求函数 f(x)的最小值；(3)求证：对每个 mM,函数 f(x)的最小值都不小于 1。(1)证明：先将 f(x
20、)变形：f(x)=log 3(x2m )2+m+ ,当 mM 时，m1,(x m) 2+m+ 0 恒成立，故 f(x)的定义域为 R。反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则只须 x24mx+4m 2+m+ 0。令 0 ，即 16m24(4 m2+m+ )0，解得 m1，故 mM 。(2)解析：设 u=x24mx +4m2+m+ ，y=log 3u 是增函数，当 u 最小时，f(x )最小。而 u=(x2m) 2+m+ ，显然，当 x=m 时，u 取最小值为 m+ ，此时 f(2m)=log3(m+ )为最小值。(3)证明：当 mM 时，m+ =(m1)+ +13，当且仅当 m=2 时等
21、号成立。log 3(m+ )log33=1。点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理。题型七：周期问题例 13若 y=f(2x)的图像关于直线 和 对称，则 f(x)的一个周期为（ ）A B C D解：因为 y=f(2x)关于 对称，所以 f(a+2x)=f(a2x)。所以 f(2a2x)= fa+(a2x )=fa(a2x)=f(2x)。同理，f(b+2 x) =f(b2x)，所以 f(2b2x)= f(2x)，所以 f(2b2a+2x)=f2b(2 a2x)=f(2a2x)=f(2x)。所以 f(2x)的一个周期为 2b2a，故知 f(x)的一个
22、周期为 4(ba) 。选项为 D。点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称（ ab），则这个函数是周期函数，其周期为 2（ba）。例 14已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数是奇函数 又知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最小值 。证明： ；求 的解析式；求 在 上的解析式。解： 是以 为周期的周期函数， ，又 是奇函数， ， 。当 时，由题意可设 ，由 得 ， ， 。 是奇函数， ，又知 在 上是一次函数，可设 ，而 ， ，当 时， ，从而当 时， ，故 时
23、， 。当 时，有 ， 。当 时， ， 。点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。五思维总结1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x )= f(x)f(x) f(x)=0；2对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称 这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意
24、x，都有 f(x+a)=f(a-x)成立 函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；3若奇函数的定义域包含 0，则 f(0)=0，因此，“f (x)为奇函数”是“f(0)=0“ 的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。5若存在常数 T，使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立，则称 T 为函数 f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集。6单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很
25、大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。3.常用的求值域的方法（1）化归法；（2）图象法（数形结合）， （3）函数单调性法， （4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等 关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
