1、- 1 -初中数学培优阶梯训练第二章 轴对称1观察下列中国传统工艺品的花纹，其中的轴对称图形是（ A ）.A B C D2如图 1，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则得到的图形是（ C ）3一只小狗在平面镜前欣赏自己的全身像（如图 2） ，此时，它所看到的全身像是（ A ） 叠24如图 3，已知在 RtABC 中，C90，A 30，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得；查PAB 是等腰三角形，则符合条件的 P 点有（ 6 ） 叠3BCAp6p5 p42p31ABC- 2 -叠4KHGABC叠5NMAB CDNMA CB叠6MDBACNNM MBCAD5如图 4，若 ABAC，BGBH，
2、AKKG，则BAC 的度数是 36 。6如图 5，M 是ABC 的边 BC 的中点，AN 平分BAC，BNAN 于点 N，且AB10，BC15，MN3，则ABC 的周长等于 41 。7如图 6，已知正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM2，N 是 AC 上的一动点，则DNMN 的最小值是 10 。8在图 7 的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为 1。 叠7s4 s3s21（1） “小猪”所占的面积为多少？ 32.513741S（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线 DE 对称的图案（只画图，不写作法） ；- 3 -（3）以 G 为原点，GE 所
3、在直线为 x 轴，GB 所在直线为 y 轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点 A 的坐标是（_4_，_1_） 。9如图 8，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABCDAD1，B60，直线 MN 是梯形 ABCD 的对称轴，P 为 MN 上一点，那么 PCPD 的最小值为 。3 叠8 MCBNAD PNMcBAD鮾 图 910请在图 9 中的一组图形符号中找出它们所蕴含的规律，然后在横线上填上恰当的图形。11如图 10，DE 是ABC 的 AB 边的垂直平分线，分别交 AB、BC 于D、E，AE 平分BAC。若B30，求C 90 。12如图 11，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A
4、 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交AD 于 E，交 BC 于 F，边 AB 折叠后与 BC 交于点 G。（1）如果 M 为 CD 边的中点，求证：DE：DM：EM3：4：5。（2）如果 M 为 CD 边上的任意一点，设 AB2a，问：CMG的周长是否与点 M 的位置有关？若有关，请把CMG 的周长用含 CM 的长 的代数式表示；若无关，请说明理由。x证明：（1）由题意知：DM AB ，DEEMAB ，DE 2DM 2EM 2 2由得：EMABDE 将、代入得：DE 2（ AB） 2（ABDE） 2 1整理得：DE AB83代入得：EM AB5则 DE：DM：EM AB： AB： AB3：4
5、：5。218（2）13小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球比赛。（1）小强把白球放在如图 12 所示的位置，想通过击打白球撞击黑球，使黑球撞击 AC 边后反弹进 F 洞。想一想，小强这样击打，黑球能进 F鮾 图 12鮾 图 10 CADBE鮾图 1GFEABGFEABDCCDMM- 4 -洞吗？请用画图的方法验证你的判断，并说明理由。（2）小勇想通过击打白球撞击黑球，使黑球至多撞台球桌边一次后进 A 洞，请你猜测小勇有几种方案？并分别在下面的台球桌上画出示意图，解释你的理由。 （图 13 给出相应的图形，供画图和设计用）鮾图 1314如图 14，ABC 是边长蒌 1 的等边三角形，BDC
6、是顶角为 120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB 于 M，交 AC 于 N，连接 MN，形成一个三角形，求证：AMN 的周长等于 2。15已知 、 均为正数，且 ，求 的最小值。ab2a1422baW16以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（ ）17如图 15 是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔。如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射） ，那么该球最后将落入的球袋是 。- 5 -鮾 图 15 3号2号1号4号18如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是
7、轴对称图形而不是中心通称图形的是（ ）19将一张正方形的纸片两次对折，然后剪下一个角，如图 16 所示，则这个角展开后图形是（ ） 鮾图 16鮾 D鮾 C鮾 B鮾 A20如图 17 是跳棋棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子。我们约定跳棋游戏规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步。已知点 A 为已方一枚棋子，欲将棋子 A 跳进对方区域（阴影部分的格点） ，则跳行的最少步数为（ ）A. 2 步 B. 3 步 C. 4 步 D. 5 步鮾图 17A 108904536鮾图 18鮾 鮾 鮾 鮾 AAA A21如图 18，在下列三角形中，若 ABAC，则能被
8、一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）A. B. C. D. 22小芳要画一个有两边长分别为 5cm 和 6cm 的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是 。23如图 19，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离 MA 为 米，此时梯子的倾斜角为 75，如果梯子底端不动，顶端靠在a对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离 NB 为 米，梯子的倾斜角为 45，b这间房子的宽 AB 是 米。24如图 21，正方形 ABCD 的边长为 6cm，M、N 分别为 AD、BC 边的中点，7545鮾 图 19MNBAC- 6 -将点 C 折至 MN 上，落在点 P 处，折痕 BQ 交 MN
9、于点 E，则 BE 的长等于 cm.鮾图 21EPQNMBCAD鮾 图 23 D CBA 鮾 图 24 FDD CBA25如图 23，在ABC 中，BAC120，ADBC 于 D，且 ABBDDC，那么C 的度数是 。26如图 24，在矩形 ABCD 中，AB8，BC4，将矩形沿 AC 折叠，则重叠部分AFC 的面积为 。27如图 25，在菱形 ABCD 中，AB2，BAD60，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PEPB 的最小值是 。鮾图 25EDCBA P鮾图 2628正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用三种不同的分割方法，将图 26 中的
10、三个正三角形分别分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数） 。29如图 27，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AC、BD 是对角线，将ABD 沿 AB 向下翻折到ABE 的位置，试判定四边形 AEBC 的形状，并证明你的结论。鮾图 27EBADC- 7 -30如图 28，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形” 。如图（1）中四边形 ABCD 就是一个“格点多边形” 。鮾图 28ADBC（1） 求图（1）中四边形 ABCD 的面积；（2） 在图（2）方格纸中画一个格点三角形 EFG，使EFG 的面积等于四边形 ABCD
11、的面积且为轴对称图形。31如图，已知在ABC 中，ABBC2，ABC120，BC 轴，点 B 的坐标是（3，1） 。x（1）画出ABC 关于 轴对称的AB C；y（2）求以点 A、B、B、A为顶点的四边形的面积。32下列图形中，是轴对称图形的是（ ）鮾图 29- 8 -xA 33中央电视台“开心辞典”栏目有这么一道题：小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个时钟如下图所示，其中时间最接近四点钟的是（ ） 鮾 D鮾 C鮾 B鮾 A 34下面有 4 个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是（ ）鮾D鮾C鮾B鮾A35在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，不是轴对称图形的是（ ）
12、鮾 图 30晴（A）冰雹（B）雷阵雨（C）大雪（D）36小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图 30 所示，实际时间是 。37已知点 P1（a，3）和 P2（4，b）关于 轴对称，则 的值为 。y205ba38如图 31，在方格纸中，有一平行四边形 ABCD，则它关于 轴对称图形的顶点坐标是（2，1） ，x（4，1） ， （6，3）和 。鮾 图 31鮾图 32- 9 -39一串数字，在镜子中的像是 是 ，这串数字是 。40如图 32，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是 。41如图 33，凸四边形 ABCD ，如果点 P 满足APD APB =。且B P C CPD ，则称点 P
13、为四边形 ABCD 的一个半等角点 ( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点 P，且满足 。( 2 ）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点 P，保留画图痕迹（不需写出画法） . ( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点 P1 、P 2（如图（ 2 ) ) ，证明线段 P1 P2 上任一点也是它的半等角点 。鮾 图 2342下列图案中是轴对称图形的是（ ）鮾D鮾C鮾B鮾A43在直角坐标系中，ABC 的三个顶点的位置如图所示。 （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的ABC（其中 A、B、C分别是 A、B、C 的对应点，不写作法） ；（2）直接写出A、B、C三点的
14、坐标：A（ ） 、B（ ） 、C（ ） 。- 10 -鮾图 35NMCBDA P44如图 35，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是边 AB、BC 的中点，则 PMPN 的最小值是 。45如图 36，在 43 的网格上，由个数相同的白色方块和黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：不得与原图案相同；黑、白方块的个数要相同） 。（1）是轴对称图形，又是中心对称图形（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形（3）是中心对称图形，但不是轴对称图形图 36 （1） （2） （3）46如图 37 是夹文
15、件用的铁（塑料）夹子在常态下的侧面示意图。 表示铁夹的两个面，ACB，点是轴， 于 已知 ，OD5mD， 已知文件夹是轴对24m10称图形，试利用图 14（2） ，求图 14（1）中两点的距离（ ）AB， 6747如图 38，ABC 是等边三角形，且 BMCN ，AM 与 BN 相交于点 P，则APN 。(2)O(1)图 14- 11 -鮾 图 39 PEDCAB鮾 图 40 DEGFAB C48如图 39，在等边ABC 中，BD2DC，DE BE，CE、AD 相交于点 P，则（ ）A. APAEEP B. AE APEP C. APEPAE D. EP AE AP49如图 40，已知 AGB
16、D，AFCE，BD、CE 分别是ABC 和ACB 的角平分线，若BF2， ED3，GC 4，则ABC 的周长为 。50已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心，A 1，B 1，C 1 分别是点 I 关于边 BC，CA，AB 的对称点，若B 在A 1B1C1 的外接圆上，则 ABC 度。51如图 41，有一块矩形纸片 ABCD，AB8，AD6。将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将AED 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，则CEF 的面积为 。鮾图 41鮾 鮾 FADEBCDEA BCA BCD52若等腰三角形的两个内角之和为 140，则项角的度数为 。5
17、3如图 42，点 A、B 的坐标分别为（1,1） 、 （3,2） ，P 为 轴上一点，且 P 到 A、B 的距离之和最x小，则 P 的坐标为 。 xy鮾 图 420AB鮾 图 43 FEDACB鮾图 4BOAPQR54函数 的最小值为 。4122xxf55已知等腰三角形的底边长为 10，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一- 12 -部分长 4，那么三角形的腰长为 。56 、 、 为ABC 的三边，且 ，则ABC 的形状为 abc 063623abca。57如图 43，在ABC 中，AB6，BC5，AC4，AD 是它一条内角平分线，AD 的垂直平分线 EF 与AD 相交于 E
18、，与 BC 的延长线相交于 F，那么 AF 。58如图 44，AOB45，其内部一点 P，OP10，在AOB 的两边上有点 Q、R（不同于 O 点） ，则PQR 周长的最小值为 。59如图 45 所示，在ABC 中，ABAC，ADAE，BAD60，则EDC 度。鮾图 45鮾 60 EDB CA鮾图 46BCBAAE D60如图 46，AA、BB 分别是EAB、DBC 的平分线，若 AABB AB，则BAC 的度数为 。61如图 47，在ABC 中，ACBC5，ACB80，O 为ABC 内一点，OAB 10，OBA30，求线段 AO 的长。62如图 48，在ABC 中，C90，CAD 30，AC
19、BC AD。求证：CDBD。鮾图 48DBCA63如图 49，在ABC 中，ACBC，ACB90，D 是 AC 上一点，AEBD 交 BD 的延长线于E，且 AE BD。求证：BD 是ABC 的角平分线。21- 13 -鮾图 49DEAC B64如图 50，在ABC 内，BAC60，ACB 40 ，P、Q 分别在 BC、CA 上，并且 AP、BQ分别为BAC、ABC 的角平分线，求证：BQ AQABBP。叠50PQCBA65公园内有两条河 OM、ON 在点 O 处汇合（如图 51） ，MON60。两河形成的半岛上有一处古迹 P。现计划在两条小河上各建一座小桥 Q 和 R，并在半岛上修三段小路分
20、别连接两座小桥 Q、R和古迹 P，若古迹 P 到两条小河的距离都是 米，则这三段小路长度之和的最小值为 米。350叠51NOMP 叠52 CDBA66如图 52，在ABC 中，已知B40，BAD 30，若 ABCD，则ACD 的大小为 。67一壁钟（有刻度，无数字）显示时间是十点半。如图 53，如果从一个垂直的反射镜面去看，时间将是 。叠53 叠54- 14 -68在游戏中，必须把计数的黑点（ ）从开始位置移动到目的地（所示） ，要求以最少的移动次数完成。每一次移动，都必须以图中 15 条线中的一条作为镜面把计数点移到镜子中现在所在位置的反射点去。把该点移到所指定的位置最少需要移动 次。69如
21、图 55，三种图形 X， Y，Z，一张 A4 的纸（297210）被折叠一次并平放在桌子上，可以得到的形状是（ ） ZYX 叠570从反射镜子中看，下面是 UKMT 的镜像为 。71按图 56 中左边的虚线折叠纸页（折叠可向里或向外） 。折叠后所得的折页形状如图中的右边所示。在一个有 6 个页码的折页中每页都印上不同的颜色，无论怎样折叠这张纸，外面总能看见两页。通过不同方式折叠纸页，可以得到 对不同的封面和封底。叠56叠叠57FUNBEATRIX72如图 57 所示，有一横幅贴在比阿特丽克斯的墙上，当比阿特丽克斯倒立着看横幅对面墙上镜子里的横幅时，横幅中有 个字母还可以按正常方式读出。73将一
22、 1616 的正方形纸片对折两次后成一小正方形。然后剪去其中一部分，剩下如图 58 所示的形状。问把纸片打开后，会有 方孔留在纸片上。折线 折线折线折线图 5874英文单词 MATHEMATICS 中有 个字母是没有对称轴的。75如图 59 所示，对称图形的周长是由 2 个半径为 4的半圆和 4 个半径为 2的半圆构成。以这个周长为界的封闭曲线面积为 。- 15 -鮾 图 59鮾 图 60鮾图 61鮾 图 6276如图 60，一个等边三角形被分成了若干全等的小等边三角形。请问：要涂黑小三角形构成有对称轴的图形，最少应涂黑 个小三角形。77如图 61 是一个 22 的正方形和一个 31 的长方形。正方形的一个顶点位于长方形的一条边上。长方形的边平行于正方形的对角线。则阴影部分的面积是 。78如图 62 中，一张三角形的纸被折叠一次后，形成一个五边形。如果一张长方形的纸折叠一次后，形成 边形，在 6、7、8、9、10 几个数字当中， 是不可能产生的 边形的最小 值（ 4） 。n nn79画一条直线穿过一个 44 的格栅（如棋盘） ，最多有 个 11 的方格能被线条分成两部分？80将一张纸折叠两次后，再剪去两个等边三角形。那么，将纸张打开后的样子是 。
