1、不定积分习题一、主要内容1、原函数定义: 如果在区间 内，可导函数 的导函数为 ，即 ，都有I)(xF)(xfI或 ，那么函数 就称为 或)(xfF dfdF)(xf在区间 内原函数.dI原函数存在定理：如果函数 在区间 内连续，那么在区间 内存在可导函数 ，)(fII)(使 ，都有 .Ix)(xfF即：连续函数一定有原函数2、不定积分定义：在区间 内，函数 的带有任意常数项的原函数称为 在区间 内的不I)(xf )(xfI定积分，记为 dCFxf)()(函数 的原函数的图形称为 的积分曲线.)(xf(1) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.(2) 不定积分的性质3、基本积分表4、直接积分法
2、由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.5、第一类换元法定理 1 设 具有原函数， 可导，则有换元公式)(uf)(xudx)(xudf6、第二类换元法定理 2 设 是单调的、可导的函数，并且 ，又设 具)(t0)(t)(tf有原函数，则有换元公式 )()()( xtdtfdxf 其中 是 的反函数.)(x)(t常用代换: .,)(.1Rbat.sin,)(22taxxf三三 .,)(.32htaf三三.1.4tx7、分部积分法分部积分公式dvudxvu8.选择 u 的有效方法:LIATE 选择法L-对数函数；I-反三角函数；A-代数函数；T-三角函数；E-指数函数；哪个在前哪个选
3、作 u.9、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义：两个多项式的商表示的函数称之. mmnnbxxbaaxQP110)(其中 、 都是非负整数； 及 都是实数，并且n,0 ,10， .0a0四种类型分式的不定积分;ln.1CaxAd ;)(1)(.21nn;arctnl2.3 42422 CqxqNpMdxpx pp dxqNddxpx nMpnn )()()(.4 2222此两积分都可积,后者有递推公式（2） 三角函数有理式的积分定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为 )cos,(inxR令 ，2tauuarctn， ，21sinx21osxdux21dR)c
4、,(i uR22,（3） 简单无理函数的积分讨论类型： ，),(nbax),(necxba解决方法：作代换去掉根号;nbaxt三 ;necxbat三二、典型例题例 1 dxa62三33362 )(1dxa三 Caxx 33333 ln61例 2 dxx23481三解： 2312484udu三 Cu )1ln(4)l(4)21( xCu21lnln4424例 3 dxsico1三解： Cx)sinl(in)(三例 4 xdarcs12txi三Ctcosincos Cxx21arcsin例 5 xtgi1解：方法 1 usn三 dud)1()(22三 CxCusinl1ln方法 2：本例也可以直接
5、采用凑微分的方法 xdxdxsin)i1si()si1(inco三 Cxsi1lex23sico6三xdexdexexde xcossincosincos 2sinsi2sin 三 xxxx sc)1( insisisinsinsi Cexcosisin例 7 .1)i(dxex三解： x2cos)in(三 dxexex)2tancos21(ta)(txxdde)t(x .tCx例 8 .12三解： ,tx三dtt)1()122三 dt2221)(1tt Ctt21arcsin.arcsinCxx例 9 .1632ed三解： ,6tex三,lnt,dtxtt6123三 dtt)1(62221)1(6tDCtBAtt 三 )1()(2t解得： .3,3,6dtt)1(2三 Ctttt arcn3)ln(3)l(n6 .t)1l(2)1l(3636 eeex xxx例 10 .cosindx三解： x2csi三 dxx2tancos2dxtanttan.tC例 11 .,1md三解： ,ax)(f,1,)(xf三,)()三三xf).(xF三.1,21,)(312xCF三三)()2(lim)(li 1121xx,21C三 )(lim)(li 2131xx,223C三,1三 .1,23三三 .1,21,1,max2 xCxxd三
