1、第三模块导数及其应用 第十四讲导数的概念及其运算,回归课本,1.导数的概念 (1)f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或y|x=x0, 即f(x0),(2)导函数 当x变化时,f(x)称为f(x)的导函数,则f(x)=y =,注意:导数是研究在x=x0处及其附近函数的改变量y与自变量的改变量x之比的极限,它是一个局部性的概念.则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则就没有导数.,2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,过
2、点P的切线方程为:y-y0=f(x0)(x-x0).,3.几种常用函数的导数 (1)c=0(c为常数); (2)(xn)=nxn-1(nN); (3)(sinx)=cosx; (4)(cosx)=-sinx; (5)(ex)=ex; (6)(ax)=axlna;,4.导数运算法则 (1)f(x)g(x)=f(x)g(x); (2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);,注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)等.,5.复合函数的导数 设函数u=(x)在点x处有导数u=(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有
3、导数y=f(u),则复合函数y=f(x)在点x处也有导数,且yx=yuux或写作fx(x)=f(u)(x).,考点陪练,1.在平均变化率的定义中,自变量的增量x满足() A.x0 B.x0时,是从右端趋近,x0时,是从左端趋近,这就是“附近”的意义. 答案:C 评析:本题运用平均变化率中的x的意义来解决问题.,2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在时间段2,2.1内相应的平均速度为( ) A.0.41 B.3 C.4 D.4.1,答案:D,3.设函数f(x)可导,则 等于( ) A.f(1) B.3f(1) C.f(1) D.f(3) 答案:A,4.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f
4、(x)的解析式可能为( ) A.f(x)=(x-1)3+3(x-1) B.f(x)=2(x-1) C.f(x)=2(x-1)2 D.f(x)=x-1 解析:先求f(x)的导函数,再代入验证.当f(x)=(x-1)3+3(x-1)时, f(x)=3(x-1)2+3且f(1)=3(1-1)2+3=3. 答案:A,5.(2010新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1B.y=-x+1 C.y=2x-2D.y=-2x+2 解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y=3x2-2,所以在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0)
5、,根据直线的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A. 答案:A,类型一 利用导数定义求导数 解题准备:根据导数的定义求函数的导数是求导数的基本方法,应熟练掌握,关键是变形,找出分子与分母的对应关系.,反思感悟利用定义法求导数,要先求出 然后分离出与x无关的量,再求解.,类型二 利用求导公式求导数 解题准备:1.运用可导函数求导法则和导数公式,求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的导数的基本步骤: (1)分析函数y=f(x)的结构和特征; (2)选择恰当的求导法则和导数公式求导; (3)整理得结果.,2.对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数的性质把真
6、数转化为有理式或整式求解更为方便.,解(1)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx; (2)y=(3xex)-(2x)+(e) =(3x)ex+3x(ex)-(2x) =3xln3ex+3xex-2xln2; =(ln3+1)(3e)x-2xln2;,反思感悟理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件.运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导法则,特别是商的求导法则.求导过程中符号判断不清,也是导致错误的原因,从本例可以看出:深刻理解和掌握导数的运算法则,再结合给定函数本身的特点,才能准确有效地进行求导运算,才能充分调动思维的积极性,在解决新问题
7、时才能举一反三,触类旁通,得心应手.,类型三 导数的几何意义及应用 解题准备:求曲线切线方程的步骤是: 求导数f(x); 求斜率k=f(x0); 写出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0).但是要注意,当函数f(x)在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切线,同时还必须明确P(x0,y0)为切点.,分析求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再通过点斜式得切线方程.,反思感悟利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件: (1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标. (2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和
8、曲线还有其他的公共点.,错源一 因忽视解题顺序而致错,剖析f(x)在点x0处的导数f(x0),实际上是导函数f(x)在x=x0处的函数值,即f(x0)=f(x)|x=x0.故求f(x)在x0处的导数f(x0),应先求f(x)的导函数f(x),再将x=x0代入f(x)求值,顺序不能颠倒.,错源二 忽视复合函数的求导 【典例2】已知函数f(x)=(x2+bx+c)e-x,其中b,cR且为常数,若b24(c-1),求证:方程f(x)=0有两个不等的实数根.,错解f(x)=(x2+bx+c)e-x+(x2+bx+c)(e-x) =(2x+b)e-x+(x2+bx+c)e-x =e-xx2+(b+2)x
9、+b+c. 由f(x)=0 即e-xx2+(b+2)x+b+c=0, 得x2+(b+2)x+b+c=0. =(b+2)2-4(b+c)=b2-4c+4. 由于b24(c-1),所以0. 故方程f(x)=0有两个不等的实数根.,剖析本错解“歪打正着”,虽然未注意到复合函数的求导,但结论居然也被“证”出来了,显然是一种巧合,也说明了这种错误的隐蔽性很好.,正解f(x)=(x2+bx+c)e-x+(x2+bx+c)(e-x) =(2x+b)e-x-(x2+bx+c)e-x =e-x-x2+(-b+2)x+b-c. 由f(x)=0,即 e-x-x2+(-b+2)x+b-c=0, 得x2+(b-2)x-
10、b+c=0. =(b-2)2-4(-b+c)=b2-4c+4. 由于b24(c-1),所以0. 故方程f(x)=0有两个不等的实数根.,技法一 活用导数定义 【典例1】设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-2006),则f(0)=_.,解析=1232006. 答案1232006,技法二 先化简再求导,优化解题过程 【典例2】求函数y=cotx的导数. 解题切入点对此题,由于课本没有给出y=cotx的直接求导公式,一些同学不知怎么办了.其实,将原式化为用sinx与cosx来表示的式子,然后再按照商的求导法则来求导即可求解.,方法与技巧一些常用求导的策略: (1)多项式相乘型的函数求导,往往把多项式展开后再利用公式求导. (2)以根式或分式形式出现的函数求导问题,先化成指数的形式再利用公式求导. (3)比较复杂的函数,往往需要先化简再求导. (4)对于某些没有给出求导公式的函数,可以先化为有求导公式的函数表示再求导.,
