1、1高考大题标准练（一）满分 60 分,实战模拟,60 分钟拿到高考主观题高分!1.如图,在锐角ABC 中,D 为边 BC 的中点,且 AC= ,AD= ,O 为ABC 外接圆的圆心,3且 cos BOC=- .(1)求 sinBAC 的值.(2)求ABC 的面积.【解析】(1)由题设知,BOC=2BAC,所以 cosBOC=cos 2BAC=1-2sin 2BAC=- ,13所以 sin2BAC= ,sinBAC= .23 63(2)延长 AD 至 E,使 AE=2AD,连接 BE,CE,则四边形 ABEC 为平行四边形,所以 CE=AB,在ACE 中,AE=2AD= ,AC= ,ACE=-B
2、AC,cosACE=-cosBAC=- ,所以由余弦定理得,AE2=AC2+CE2-2ACCEcosACE,2即( )2=( )2+CE2-2 CE ,11解得 CE=2,所以 AB=CE=2,所以 SABC = ABACsinBAC= 2 = .12 122.在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD,CD=2AB.(1)设 AC 与 BD 相交于点 M, =m (m0),且 MN平面 PCD,求实数 m 的值.(2)若 AB=AD=DP,BAD=60,PB= AD,且 PDAD,求二面角 B-PC-D 的正弦值.【解析】(1)因为 ABCD,所以 = = ,即 = .12 13因为 MN平面 P
3、CD,MN平面 PAC,平面 PAC平面 PCD=PC,所以 MNPC.所以 = = ,即 m= .13 13(2)因为 AB=AD,BAD=60,可知ABD 为等边三角形,所以 BD=AD=PD,又 BP= AD,故 BP2=PD2+DB2,所以 PDDB.由已知 PDAD,ADBD=D,所以 PD平面 ABCD.如图,以 D 为坐标原点, , 的方向为 x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系,设 AB=1,则 AB=AD=DP=1,CD=2,3所以 B ,P(0,1,0),C(-1,0, )(12,0, 32)则 = , =(-1,-1, ),设平面 PBC 的一个法向量 m=(x1,y1,
4、z1),则有即1-21+31=0,1+1- 31=0.设 x1=1,则 y1=2,z1= ,所以 m=(1,2, ),设平面 PCD 的一个法向量为 n=(x2,y2,z2),由已知可得 即令 z2=1,则 x2= ,所以 n=( ,0,1).所以 cos= = .|设二面角 B-PC-D 的平面角为 ,则 sin = .1043.近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对2017 年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到频率分布直方图如图 1.4(1)记“在 2017 年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在(8,16”
5、为事件 A,试估计 A 的概率.(2)根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图 2,其中 x(单位:年)表示二手车的使用时间,y(单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图看出,可采用 y=ea+bx作为二手车平均交易价格 y 关于其使用时间 x 的回归方程,相关数据如表(表中 Yi=ln yi, =Yi): xiyi10=1 xiYi10=110=125.5 8.7 1.9 301.4 79.75 385根据回归方程类型及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;该汽车交易市场对使用 8 年以内(含 8 年)的二手车收取交易价格 4%的佣金,对使用时间8 年以上(不含 8 年)
6、的二手车收取交易价格 10%的佣金.在图 1 对使用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以 2017 年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.附注:对于一组数据(u 1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = , = - ;参考数据:e 2.9519.1,e 1.755.75,e 0.551.73,e -0.650.52,e -1.850.16.【解析】(1)由频率分布直方图得,该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在(8,12的频率为 0.074=0.28,在(12,16的频率
7、为 0.034=0.12,5所以 P(A)=0.28+0.12=0.40.(2)由 y=ea+bx得 ln y=a+bx,即 Y 关于 x 的线性回归方程为 =a+bx.因为 = = =-0.3,10=1-1010=12-102= - =1.9-(-0.3)5.5=3.55,所以 Y 关于 x 的线性回归方程为 =3.55-0.3x,即 y 关于 x 的回归方程为 =e3.55-0.3x 根据中的回归方程 =e3.55-0.3x和图 1,对成交的二手车可预测:使用时间在(0,4的平均交易价格为 e3.55-0.32=e2.9519.1,对应的频率为 0.2;使用时间在(4,8的平均交易价格为
8、e3.55-0.36=e1.755.75,对应的频率为 0.36;使用时间在(8,12的平均交易价格为 e3.55-0.310=e0.551.73,对应的频率为 0.28;使用时间在(12,16的平均交易价格为 e3.55-0.314=e-0.650.52,对应的频率为 0.12;使用时间在(16,20的平均交易价格为 e3.55-0.318=e-1.850.16,对应的频率为 0.04.所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.219.1+0.365.75)4%+(0.281.73+0.120.52+0.040.16)10%=0.290 920.29 万元.4.如图,椭圆 E
9、: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,MF2x 轴,直线 MF1交 y 轴于2222H 点,OH= ,Q 为椭圆 E 上的动点,F 1F2Q 的面积的最大值为 1.(1)求椭圆 E 的方程.(2)过点 S(4,0)作两条直线与椭圆 E 分别交于 A,B,C,D,且使 ADx 轴,如图,问四边形 ABCD的两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.6【解析】(1)设 F2(c,0),由题意可得 + =1,2222即 yM= .2因为 OH 是F 1F2M 的中位线,且 OH= ,所以|MF 2|= ,即 = ,整理得 a2=2b4. 2又由题知,当 Q
10、 在椭圆 E 的上顶点或下顶点时,F 1F2Q 的面积最大,所以 2cb=1,整理得 bc=1,即 b2(a2-b2)=1, 12联立可得 2b6-b4=1,变形得(b 2-1)(2b4+b2+1)=0,解得 b2=1,进而 a2=2.所以椭圆 E 的方程为 +y2=1.22(2)设 A(x1,y1),C(x2,y2),则由对称性可知 D(x1,-y1),B(x2,-y2).设直线 AC 与 x 轴交于点(t,0),直线 AC 的方程为 x=my+t(m0),联立 消去 x,得(m 2+2)y2+2mty+t2-2=0,所以 y1+y2= ,y1y2= ,2-22+2由 A,B,S 三点共线得
11、 kAS=kBS,即 =- ,将 x1=my1+t,x2=my2+t 代入整理得y1(my2+t-4)+y2(my1+t-4)=0,即 2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,7从而 =0,化简得 2m(4t-2)=0,解得 t= ,于是直线 AC 的方程2(2-2)-2(-4)2+2 12为 x=my+ ,故直线 AC 过定点 .同理可得 BD 过定点 ,12 (12,0) (12,0)所以直线 AC 与 BD 的交点是定点,定点坐标为 .(12,0)5.已知函数 f(x)=ln x- ,g(x)=ax+b.(1) 若函数 h(x)=f(x)-g(x)在(0,+)上单调递增,求实数 a
12、的取值范围.(2) 若直线 y=ax+b 是函数 f(x)=ln x- 图象的切线,求 a+b 的最小值.【解析】(1)h(x)=f(x)-g(x)=ln x- -ax-b,则 h(x)= + -a,12因为 h(x)=f(x)-g(x)在(0,+)上单调递增,所以对x0,都有 h(x)= + -a0, 12即对x0,都有 a + ,12因为 + 0,12所以 a0,故实数 a 的取值范围是(-,0. (2)设切点 ,则切线方程为 y- = (x-x0),(10+120)8即 y= x- x0+ ,(10+120) (10+120) (0-10)亦即 y= x+ ,(10+120) ( 0-2
13、0-1)令 =t0,10由题意得 a= + =t+t2,10120b=ln x0- -1=-ln t-2t-1,20令 a+b=(t)=-ln t+t 2-t-1,则 (t)=- +2t-1= , 当 t(0,1)时,(t)0,(t)在(1,+)上单调递增,所以 a+b=(t)(1)=-1,故 a+b 的最小值为-1. 6.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 =3cos .(1)求圆 C 的参数方程.(2)设 P 为圆 C 上一动点,A(5,0),若点 P 到直线 sin - = 的距离为 ,求3 3ACP 的大小.【解析】(1)
14、因为 =3cos ,所以 2=3cos ,所以 x2+y2=3x,即 +y2= ,949所以圆 C 的参数方程为 ( 为参数).(2)由(1)可设 P ,0,2),(32+32,32)sin = 的直角坐标方程为 x-y+2 =0,(-3) 3 3则 P 到直线 sin = 的距离为(-3)| 3(32+32)-32+23|2= = ,|734 -32(-3)|所以 sin =0,(-3)因为 0,2),所以 = 或 ,343故ACP= 或ACP= .3 237.已知函数 f(x)=|3x-1|+|3x+k|,g(x)=x+4.(1)当 k=-3 时,求不等式 f(x)4 的解集.(2)设 k-1,且当 x 时,都有 f(x)g(x),求 k 的取值范围.-3,13)【解析】(1)当 k=-3 时,f(x)=10故不等式 f(x)4 可化为 或 或 解得1,6-44 131,24 x0 或 x .43所以所求解集为 .(2)当 x 时,由 k-1 有 3x-1-1,故-1k .94所以 k 的取值范围是 .
