1、14.2.1 实际问题中导数的意义基础达标1.做直线运动的物体，从时刻 t 到 t t 时，物体的位移为 s，那么 为lim t 0 s t( )A从时刻 t 到 t t 时，物体的平均速度B该物体在 t 时刻的瞬时速度C t 时刻时，该物体的速度D从时刻 t 到 t t 时，位移的平均变化率解析：选 B. 表示运动的物体在 t 时刻位移的导数，也即该时刻的瞬时速lim t 0 s t度2.自由落体的运动公式是 s gt2(g 为重力加速度)，则物体在下落 3 s 到 4 s 之间的12平均变化率是(取 g10 m/s 2)( )A30 B32C35 D40解析：选 C.v g35. s t
2、12g42 12g324 3 723.李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度 h 是关于时间 t 的函数 h(t)，则函数 h(t)的图像可能是( )解析：选 B.由于圆口杯的形状是“下细上粗” ，则开始阶段饮料的高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有 B 符合4.国际环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图，(其中 W1、 W2分别表示甲、乙的排污量)下列说法正确的是( )A甲企业治污效果好2B乙企业治污效果好C甲、乙两企业治污效果相同D无法判定解
3、析：选 A.由图可知甲企业治污快，效果好5.细杆 AB 的长为 20 cm， M 为细杆 AB 上的一点， AM 段的质量与 A 到 M 的距离的平方成正比，当 AM2 cm 时， AM 的质量为 8 g，那么当 AM x cm 时， M 处的细杆线密度 (x)为( )A2 x B3 xC4 x D5 x解析：选 C.当 AM x cm 时，设 AM 的质量为 f(x) kx2，因为 f(2)8，所以 k2，即 f(x)2 x2，故细杆线密度 (x) f( x)4 x，故选 C.6.人体血液中药物的质量浓度 c f(t)(单位：mg/mL)随时间 t(单位：min)变化，若f(2)0.3，则
4、f(2)表示_.答案：服药 2 min 时血液中药物的质量浓度以每分钟 0.3 mg/mL 的速度增加7.将 1 kg 铁从 0 加热到 t 需要的热量为 Q(单位：J)： Q(t)0.000 297t20.440 9 t.(1)当 t 从 10 变到 20 时函数值 Q 关于 t 的平均变化率是_，它的实际意义是_(2)Q(100)_，它的实际意义是_解析：(1)当 t 从 10 变到 20 时，函数值 Q 关于 t 的平均变化率为0.449 8，它表示在铁块的温度从 10 增加到 20 的过程中，平均Q（ 20） Q（ 10）20 10每增加 1 ，需要吸收热量约为 0.449 8 J.(
5、2)Q( t)0.000 594 t0.440 9，则 Q(100)0.500 3，它表示在铁块的温度为100 这一时刻每增加 1 ，需要吸收热量 0.500 3 J.答案：(1)0.449 8 它表示在铁块的温度从 10 增加到 20 的过程中，平均每增加1 ，需要吸收热量约为 0.449 8 J(2)0.500 3 它表示在铁块的温度为 100 这一时刻每增加 1 ，需要吸收热量0.500 3 J8.已知气球的体积 V(单位：L)与半径 r(单位：dm)，将半径 r 表示为体积 V 的函数，有 r(V) ，则当空气容量从 V1增加到 V2时，气球的平均膨胀率为_33V4解析： r(V1)
6、r(V2) 33V14 33V24 .平均膨胀率为： .r（ V1） r（ V2）V1 V2答案：9.水以 20 m3/min 的速度流入一圆锥形容器，设容器深 30 m，上底面直径为 12 m，试求当水深为 10 m 时，水面上升的速度解：设经过 t min 后水深为 H，则此时水面半径为 .H5由等体积知，20 t H.13 (H5)2 3 H(t)5 ， H( t) t .312t 53312 23水深 10 m 时水面上升的速度为 H(10) (m/min)1331510.路灯距地平面为 8 m，一个身高为 1.6 m 的人以 84 m/min 的速度在地面上行走，从路灯在地面上的射影
7、点 C 出发，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速度 v.解：如图所示，路灯距地面的距离为 DC8 m，人的身高为 EB1.6 m.设人从 C 处运动到 B 处的路程 CB 为 x m，时间为 t s， AB 为人影长度，设为 y m. BE CD， .ABAC BECD ， y x.yy x 1.68 14又84 m/min1.4 m/s， y x t(x1.4 t)14 720 y ，即人影长度的变化速度 v 为 m/s.720 720能力提升1. 如图所示，设有定圆 C 和定点 O，当 l 从 l0开始在平面上绕 O 匀速旋转(旋转角度不超过 90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是
8、时间 t 的函数，则函数的图像大致是( )解析：选 D.由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快选项 A 表示面积的增速是常数，与实际不符；选项 B 表示最后时段面积的增速较快，与实际不符；选项 C 表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，也与实际不符；选项 D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际2.将半径为 R 的球加热，若半径从 R1 到 R m(m1)时球的体积膨胀率为 ，则 m283的值为_解析： V m3 13 (m31)，43 43 434 . m2 m17. m2 或 m3(舍) V R 43（
9、m3 1）m 1 283答案：23.设生产某种产品的总成本函数 c(万元)与产量 q(万件)之间的函数关系为 c(q)1004 q0.2 q20.01 q3.求生产水平为 q10 万元时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看继续提高产量是否合算？解：当 q10 时，总成本 c(10)1004100.210 20.0110 3100402010130(万元)平均成本 1301013(元/件)，边际成本 c( q)40.4 q0.03 q2， c(10)40.4100.0310 24433(元/件)因此在生产水平为 10 万元时每增产一个产品，总成本增加 3 元，比当前的平均成本13 元低，从降
10、低成本角度看，应继续提高产量4学习曲线是 1936 年美国康乃尔大学 T.P.Wright 博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的已知某类学习任务的学习曲线为： f(t) 100%(f(t)为该学习任务已掌握的程度， t 为学习时间)，且34 a2 t这类学习任务中的某项任务满足 f(2)60%.(1)求 f(t)的表达式，计算 f(0)并说明 f(0)的含义；(2)已知 2xxln 2 对任意 x0 恒成立，现定义 为该类学习任务在 t 时刻的学习f（ t）t效率指数研究表明，当学习时间 t(1，2)时，学习效率最佳，则当学习效率最佳时，求学习效
11、率指数相应的取值范围解：(1) f(t) 100%(t 为学习时间)，且 f(2)34 a2 t60%， 100%60%，解得 a4.34 a2 2 f(t) 100% 100%(t0)，34 a2 t 34（ 1 2 t） f(0) 100%37.5%， f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程34（ 1 20）度为 37.5%.(2)令学习效率指数 y，则f（ t）ty (t0)现研究函数 g(t) t 的单调性，由于f（ t）t 34t（ 1 2 t） 34（ t t2t） t2tg( t) (t0)，又已知 2xxln 2 对任意 x0 恒成立，即 2t tln 20 对任2t tln 2 12t意 t0 恒成立，则 g( t)0 恒成立， g(t)在(0，)上为增函数，且 g(t)为正数 y 在(0，)上为减函数，而 y f（ t）t 34（ t t2t） |t 1 f（ 1）1 12， y| t 2 ，即当 t(1，2)时， y ( ， )，故所求学习效率指数的取值范围f（ 2）2 310 f（ t）t 310 12是( ， )310 12
