1、1课下层级训练(三十四) 合情推理与演绎推理A 级 基础强化训练1命题“对于任意角 ，cos 4 sin 4 cos 2 ”的证明：“cos4 sin 4 (cos 2 sin 2 )(cos2 sin 2 )cos 2 sin 2 cos 2 ”过程应用了( )A分析法 B综合法C综合法、分析法综合使用 D间接证明法B 结合推理及分析法和综合法的定义可知，B 正确2给出下列三个类比结论：( ab)n anbn与( a b)n类比，则有( a b)n an bn；log a(xy)log axlog ay 与 sin( )类比，则有 sin( )sin sin ；( a b)2 a22 ab
2、b2与( a b)2类比，则有( a b)2 a22 ab b2.其中正确结论的个数是( )A0 B1 C2 D3B ( a b)n an bn(n1， ab0)，故错误sin( )sin sin 不恒成立，如 30， 60，sin 901，sin 30sin 60 ，故错误由34向量的运算公式知正确3某人进行了如下的“三段论”：如果 f( x0)0，则 x x0是函数 f(x)的极值点，因为函数 f(x) x3在 x0 处的导数值 f(0)0，所以 x0 是函数 f(x) x3的极值点你认为以上推理的( )A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D结论正确A 若 f( x0)0，则 x x
3、0不一定是函数 f(x)的极值点，如 f(x) x3， f(0)0，但 x0 不是极值点，故大前提错误4对于数 25，规定第 1 次操作为 235 3133，第 2 次操作为 133 33 355，如此反复操作，则第 2 014 次操作后得到的数是( )A25 B250C55 D133D 由题意知，第 3 次操作为 535 3250，第 4 次操作为 235 30 3133，第 5 次操作为 133 33 355，. 因为每次操作后的得数呈周期排列，且周期为 3，又 2 01467131，故第 2 014 次操作后得到的数是 133.25若数列 an是等差数列，则数列 bn 也为等差数列类比这
4、(bna1 a2 ann )一性质可知，若正项数列 cn是等比数列，且 dn也是等比数列，则 dn的表达式应为( )A dn B dnc1 c2 cnn c1c2cnnC dn D dnncn1 cn2 cnn nc1c2cnD 若 an是等差数列，则a1 a2 an na1 d， bn a1 d n a1 ，即 bn为等差数列；n n 12 n 12 d2 d2若 cn是等比数列，则 c1c2cn c q12( n1) c q ， dnn1 n1n n 12 c1q ，即 dn为等比数列nc1c2cnn 126用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示，按照图中的规律，第 n 个“金鱼”需要火柴棒的根数
5、为_.6n2 由题意知，第 1 个图中有 8 根火柴棒，第 2 个图中有 86 根火柴棒，第 3 个图中有 826 根火柴棒，依此类推，第 n 个“金鱼”需要火柴棒的根数为86( n1)6 n2.7已知 x(0，)，观察下列各式：x 2， x 3， x 4，类比得1x 4x2 x2 x2 4x2 27x3 x3 x3 x3 27x3x n1( nN *)，则 a_.axnnn 第一个式子是 n1 的情况，此时 a1 11；第二个式子是 n2 的情况，此时a2 24；第三个式子是 n3 的情况，此时 a3 327，归纳可知 a nn.8甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A， B， C 三个城市时
6、，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市由此可判断乙去过的城市为_.A 由甲、乙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市，乙去过 A 城市或 B 城市，结合丙的回答可得乙去过 A 城市9在锐角三角形 ABC 中，求证：sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C3证明 ABC 为锐角三角形， A B ， A B， 2 2 ysin x 在 上是增函数，(0， 2)sin Asin cos B，( 2 B)同理可得 sin Bcos C，sin Ccos A，sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C1
7、0 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.(1)若 a， b， c 成等差数列，证明：sin Asin C2sin( A C)；(2)若 a， b， c 成等比数列，求 cosB 的最小值(1)证明 a， b， c 成等差数列， a c2 b.由正弦定理得 sinAsin C2sin Bsin Bsin( A C)sin( A C)，sin Asin C2sin( A C)(2)解 a， b， c 成等比数列， b2 ac.由余弦定理得cosB ，a2 c2 b22ac a2 c2 ac2ac 2ac ac2ac 12当且仅当 a c 时等号成立cos B 的最小值为
8、 .12B 级 能力提升训练11(2018宁夏银川期末)将正整数排列如下：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16则图中数 2 016 出现在( )A第 44 行第 81 列 B第 45 行第 81 列C第 44 行第 80 列 D第 45 行第 80 列D 由题意可知第 n 行有 2n1 个数，则前 n 行的数的个数为 135(2 n1) n2，因为 4421 936,4522 025，且 1 9362 016 2 025，所以 2 016 在第 45 行，又第 45 行有 245189 个数，2 0161 93680，故 2 016 在第 45 行第 80 列
9、12我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，4以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣 ”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值 x，这可以通过方程2 2 2 x 确定 x2，则 1 ( )2 x11 11 A B 5 12 5 12C D1 52 1 52C 设 1 x，即 1 x，即 x2 x10，解得 x (x 舍)，11 11 1x 1 52 1 52故 1 .11 11 1 5213(2016全国卷)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙
10、的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_.1 和 3 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”可知，丙为“1 和 2”或“1 和 3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，所以乙只可能为“2 和 3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，所以甲只能为“1 和 3”14(2019浙江绍兴月考)已知 cos ， 3 12cos cos ， 5 25 14cos cos cos ， 7 27 37 18(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是_；(2)若数列 an中， a
11、1cos ， a2cos cos ， a3cos cos cos 3 5 25 7 27，前 n 项和 Sn ，则 n_.37 1 0231 024(1)cos cos cos (nN *) (2)10 (1)从题中所给的几2n 1 22n 1 n2n 1 12n个等式可知，第 n 个等式的左边应有 n 个余弦相乘，且分母均为 2n1，分子分别为5，2， n，右边应为 ，故可以猜想出结论为 cos cos cos 12n 2n 1 22n 1 (nN *)n2n 1 12n(2)由(1)可知 an ，故 Sn 1 ，解得 n10.12n121 (12)n1 12 12n 2n 12n 1 02
12、31 02415在 Rt ABC 中， AB AC， AD BC 于 D，求证： ，那么在四面体1AD2 1AB2 1AC2A BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由解 如图，由射影定理得AD2 BDDC， AB2 BDBC，AC2 DCBC，故 .1AB2 1AC2 1BDBC 1DCBC DC BDBDDCBC 1BDDC 1AD2在四面体 ABCD 中， AB， AC， AD 两两垂直， AH底面 BCD，垂足为 H.则 .1AH2 1AB2 1AC2 1AD2证明：连接 BH 并延长交 CD 于 E，连接 AE. AB， AC， AD 两两垂直， AB平面 ACD，又
13、 AE平面 ACD， AB AE，在 Rt ABE 中， 1AH2 1AB2 1AE2又易证 CD AE，故在 Rt ACD 中， 1AE2 1AC2 1AD2把式代入式，得 .1AH2 1AB2 1AC2 1AD2616某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin 213cos 217sin 13cos 17；sin 215cos 215sin 15cos 15；sin 218cos 212sin 18cos 12；sin 2(18)cos 248sin(18)cos 48；sin 2(25)cos 255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个
14、，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解 (1)选择式，计算如下：sin 215cos 2 15sin15cos 151 sin 12301 .14 34(2)三角恒等式为 sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) . 证明如下：34法一：sin 2 cos 2(30 )sin cos(30 )sin 2 (cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin 2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin2 34 32 14 32 12 sin2 cos2 .34 34 34法二：sin 2 cos 2(30 )sin cos(30 ) sin (cos 30cos sin 30sin ) 1 cos 22 1 cos 60 2 2 cos 2 (cos 60cos 2 sin 60sin 2 )12 12 12 12 sin cos sin232 12 cos 2 cos 2 sin 2 sin 212 12 12 14 34 34 (1cos 2 )1 cos 2 cos 2 .14 14 14 14 347
