1、- 1 -课后限时集训(四十) 直线、平面垂直的判定与性质(建议用时：60 分钟)A 组 基础达标一、选择题1已知平面 与平面 相交，直线 m ，则( )A 内必存在直线与 m 平行，且存在直线与 m 垂直B 内不一定存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直C 内不一定存在直线与 m 平行，但必存在直线与 m 垂直D 内必存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直C 如图，在平面 内的直线若与 ， 的交线 a 平行，则有 m 与之垂直但却不一定在 内有与 m 平行的直线，只有当 时才存在故选 C.2设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面下列命题中正确的是( )A若
2、 ， m ， n ，则 m nB若 ， m ， n ，则 m nC若 m n， m ， n ，则 D若 m ， m n， n ，则 D 若 ， m ， n ，则 m 与 n 可能平行，故 A 错； 若 ， m ， n ，则m 与 n 可能平行，也可能异面， 故 B 错；若 m n， m ， n 则 与 可能相交，也可能平行，故 C 错；对于 D 项，由 m ， m n，得 n ，又知 n ，故 ，所以 D项正确3(2017全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则( )A A1E DC1 B A1E BDC A1E BC1 D A1E ACC 如图， A1E 在
3、平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC， BD 垂直，选项 B，D 错误； A1E 在平面 BCC1B1上的投影为 B1C，且 B1C BC1， A1E BC1，故选项 C 正确；(证明：由条件易知， BC1 B1C， BC1 CE，又 CE B1C C， BC1平面 CEA1B1.又 A1E平面 CEA1B1， A1E BC1) A1E 在平面 DCC1D1上的投影为 D1E，而 D1E 不与 DC1垂直，故选项 A 错误故选 C.4(2019长春质检)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 A1C1与平面 ABC1D1所成角的正弦值为( )A1 B.32C. D.22
4、12- 2 -D 如图所示：连接 A1D， AD1交于点 O，连接 OC1，在正方体中， AB平面 AD1， AB A1D.又 A1D AD1，且 AD1 AB A， A1D平面 AD1C1B，又 OC1平面 AD1C1B， A1D OC1，所以 A1C1O 即为所求角，在 Rt A1C1O 中，sin A1C1O ，12所以 A1C1与平面 ABC1D1所成角的正弦值为 ，故选 D.125.如图，在四面体 DABC 中，若 AB CB， AD CD， E 是 AC 的中点，则下列正确的是( )A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BDCC平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面
5、BDED平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDEC 因为 AB CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE AC，同理有 DE AC，于是 AC平面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内，所以平面 ABC平面 BDE.又由于 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面BDE，所以选 C.二、填空题6如图所示， BAC90， PC平面 ABC，则在 ABC， PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直的直线是_；与 AP 垂直的直线是_AB， BC， AC AB PC平面 ABC， PC 垂直于直线 AB， BC， AC. AB AC， AB PC， AC PC C， AB平面 PAC，
6、 AB AP，故与 AP 垂直的直线是 AB.7如图所示，在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)DM PC(或 BM PC) 连接 AC， BD，则 AC BD， PA底面ABCD， PA BD.又 PA AC A， BD平面 PAC， BD PC.当 DM PC(或 BM PC)时，即有 PC平面 MBD.- 3 -而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.8(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA， SB 所成角的余弦值为 ， SA 与圆
7、锥底78面所成角为 45.若 SAB 的面积为 5 ，则该圆锥的侧面积为_1540 如图所示，设 S 在底面的射影为 S，连接 AS， SS. SAB2的面积为 SASBsin ASB SA2 SA25 ， SA280， SA4 .12 12 1 cos2 ASB 1516 15 5 SA 与底面所成的角为 45， SAS45， AS SAcos 454 2 .522 10底面周长 l2 AS4 ，10圆锥的侧面积为 4 4 40 .12 5 10 2三、解答题9(2018江苏高考)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1 AB， AB1 B1C1.求证：(1) AB平面 A1B1C；
8、(2)平面 ABB1A1平面 A1BC.证明 (1)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， AB A1B1.因为 AB平面 A1B1C， A1B1平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C.(2)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形又因为 AA1 AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，因此 AB1 A1B.又因为 AB1 B1C1， BC B1C1，所以 AB1 BC.又因为 A1B BC B， A1B平面 A1BC， BC平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC.因为 AB1平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC.10.(201
9、9辽宁五校联考)如图所示，等腰梯形 ABCD 的底角 A 等于 60，直角梯形 ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD， EDA90，且 ED AD2 AB2 AF.(1)证明：平面 ABE平面 EBD；(2)若三棱锥 ABDE 的外接球的体积为 ，求三棱锥 ABEF 的823体积- 4 -解 (1)证明：平面 ADEF平面 ABCD，平面 ADEF平面 ABCD AD， ED AD， ED平面 ADEF， ED平面 ABCD， AB平面 ABCD， AB ED，设 AD2 a，则 AB a，又 BAD60， AB BD.又 BD ED D， BD平面 EBD， ED平面 EBD， AB平面
10、EBD，又 AB平面 ABE，平面 ABE平面 EBD.(2)由(1)得 AD DE， AB BE，三棱锥 ABDE 的外接球的球心为线段 AE 的中点 3 ，解得 AE2 ，则 AD ED2， AB AF1，43 (AE2) 823 2 VABEF VBAEF 12 .13 12 32 36B 组 能力提升1.如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90， BC1 AC，则点 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在( )A直线 AB 上B直线 BC 上C直线 AC 上D ABC 的内部A 连接 AC1(图略)，因为 AC AB， AC BC1， AB BC1 B，所以 AC平面 AB
11、C1，又 AC平面ABC，所以平面 ABC1平面 ABC，所以点 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上，故选 A.2.如图，四棱锥 PABCD 中， PAB 与 PBC 是正三角形，平面PAB平面 PBC， AC BD，则下列结论不一定成立的是( )A PB ACB PD平面 ABCDC AC PDD平面 PBD平面 ABCDB 如图，对于选项 A，取 PB 的中点 O，连接 AO， CO.在四棱锥 PABCD 中， PAB 与 PBC 是正三角形，平面PAB平面 PBC， AO PB， CO PB， AO CO O. PB平面 AOC， AC平面 AOC， PB AC
12、，故选项 A 正确；对于选项 B，设 AC 与 BD 交于点 M，易知 M 为 AC 的中点，若 PD平面 ABCD，则 PD BD，由已知条件知点 D 满足 AC BD 且位于 BM 的延长线上，点 D 的位置不确定， PD 与 BD 不一定垂直， PD平面 ABCD 不一定成立，故选项 B 不正确；- 5 -对于选项 C， AC PB， AC BD， PB BD B， AC平面 PBD， PD平面 PBD， AC PD，故选项 C 正确；对于选项 D， AC平面 PBD， AC平面 ABCD，平面 PBD平面 ABCD，故选项 D 正确故选 B.3如图所示，在正方形 ABCD 中， AC
13、为对角线， E， F 分别是 BC， CD 的中点， G 是 EF 的中点现在沿 AE， AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 H.下列说法错误的是_(将符合题意的序号填到横线上) AG EFH 所在平面； AH EFH 所在平面； HF AEF 所在平面； HG AEF 所在平面 根据折叠前 AB BE， AD DF 可得折叠后 AH HE， AH HF，可得 AH平面 EFH，即正确；过点 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，不正确； AG EF， AH EF， EF平面 HAG，平面 HAG平面 AEF，过 H 作直线垂直于平面 A
14、EF，该直线一定在平面 HAG 内，不正确； HG 不垂直 AG， HG平面 AEF 不正确，不正确，综上，说法错误的是.4.如图，在底面是菱形的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， ABC60，AA1 AC2， A1B A1D2 ，点 E 在 A1D 上2(1)证明： AA1平面 ABCD；(2)当 为何值时， A1B平面 EAC，并求出此时直线 A1B 与平面 EACA1EED之间的距离解 (1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形， ABC60，所以 AB AD AC2，在 AA1B 中，由 AA AB2 A1B2，知 AA1 AB，21同理 AA1 AD，又 AB AD A，所以 AA1
15、平面 ABCD.(2)当 1 时， A1B平面 EAC.证明如下：A1EED如图，连接 BD 交 AC 于点 O，当 1，即点 E 为 A1D 的中点时，连A1EED接 OE，则 OE A1B，又 A1B平面 EAC，所以 A1B平面 EAC.直线 A1B 与平面 EAC 之间的距离等于点 A1到平面 EAC 的距离，因为 E 为 A1D 的中点，所以点A1到平面 EAC 的距离等于点 D 到平面 EAC 的距离， VDEAC VEACD，设 AD 的中点为 F，连接- 6 -EF，则 EF AA1，且 EF1，所以 EF平面 ACD，又 ACD 为边长为 2 的等边三角形，所以可求得 S ACD ，所以 VEACD 1 .313 3 33又 AE ， AC2， CE 2，所以 S EAC ，所以 S EACd (d 表示点 D 到2 EF2 CF272 13 33平面 EAC 的距离)，解得 d ，所以直线 A1B 与平面 EAC 之间的距离为 .2217 2217
