1、- 1 -第一节 空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积考纲传真 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式1简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面
2、的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形2旋转体的形成几何体 旋转图形 旋转轴圆柱 矩形 任一边所在的直线圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线球 半圆 直径所在的直线3.三视图与直观图三视图 画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中 x轴、 y轴的夹角为 45(或 135)， z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于 x 轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半.4.圆柱、圆锥、
3、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧 2 rl S 圆锥侧 rl S 圆台侧 ( r1 r2)l5.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积名称 表面积 体积- 2 -几何体柱体(棱柱和圆柱) S 表面积 S 侧 2 S 底 V Sh锥体(棱锥和圆锥) S 表面积 S 侧 S 底 V Sh13台体(棱台和圆台) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V (S上 S 下 )h13 S上 S下球 S4 R2 V R343常用结论1按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S 直观图 S 原图形 ， S 原图形 2 S 直观图24 22多面体
4、的内切球与外接球常用的结论(1)设正方体的棱长为 a，则它的内切球半径 r ，外接球半径 R a.a2 32(2)设长方体的长、宽、高分别为 a， b， c，则它的外接球半径 R .a2 b2 c22(3)设正四面体的棱长为 a，则它的高为 a，内切球半径 r a，外接球半径 R a.63 612 64基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( )(3)菱形的直观图仍是菱形( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同( )答案 (1)
5、 (2) (3) (4)2某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A圆柱 B圆锥C四面体 D三棱柱A 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形3(教材改编)如图所示，长方体 ABCDA B C D中被截去一部分，其中 EH A D，则剩下的几何体是( )A棱台B四棱柱C五棱柱D简单组合体C 由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱4(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半- 3 -径为( )A1 cm B2 cmC3 cm D. cm32B S 表 r2 rl r2 r2r3 r
6、212， r24， r2(cm)5一个六棱锥的体积为 2 ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的3侧面积为_12 设正六棱锥的高为 h，棱锥的斜高为 h.由题意，得 6 2 h2 ，13 12 3 3 h1，斜高 h 2，12 3 2 S 侧 6 2212.12空间几何体的三视图和直观图1(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A B C DA 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看
7、不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选 A.2已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么 ABC 的平面直观图 A B C的面积为( )A. a2 B. a2 C. a2 D. a234 38 68 616D 法一：如图所示的实际图形和直观图，由可知， A B AB a， O C OC a，12 34在图中作 C D A B于 D，- 4 -则 C D O C a，22 68所以 S A B C A B C D a a a2.12 12 68 616法二： S ABC aasin 60 a2，12 34又 S 直观图 S 原图 a2 a2.故选 D.24 24 34 6163某几何体的三视图如图所
8、示，网格纸的小方格是边长为 1 的正方形，则该几何体中最长棱的棱长是( )A. B. C. D35 6 7A 由三视图可知该几何体为一个三棱锥 DABC，如图，将其置于长方体中，该长方体的底面是边长为 1 的正方形，高为 2.所以 AB1， AC ， BC ， CD ， DA2， BD ，2 3 2 5因此最长棱为 BD，棱长是 .5空间几何体的表面积与体积考法 1 根据几何体的三视图计算表面积、体积【例 1】 (1)(2018合肥一模)如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A518 B618C86 D106(2)(2017全国卷)如图
9、，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视- 5 -图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A90 B63C42 D36(1)C (2)B (1)由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为 2 41 22 1 223 21386.12 12 12(2)法一(分割法)：由题意知，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为 3，高为4 的圆柱，其体积 V13 2436.上半部分是一个底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半，其体积 V2 3 2627.12所以该组合体的体积 V V1 V2362763.法二(补形法)：
10、由题意知，该几何体是一圆柱被一平面截去一部分后所得的几何体，在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何体为一个圆柱，故圆柱的底面半径为 3，高为 10414，该圆柱的体积 V13 214126.故该几何体的体积为圆柱体积的一半，即 V V163.12法三(估值法)：由题意，知 V 圆柱 V 几何体 V 圆柱 又 V 圆柱 3 21090，所以1245 V 几何体 90.观察选项可知只有 63 符合考法 2 求空间几何体的表面积、体积【例 2】 (1)(2019南昌模拟)如图，直角梯形 ABCD 中，AD DC， AD BC， BC2 CD2 AD2，若将该直角梯形绕 BC
11、 边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_(2)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， E， F 分别为线段 AA1， B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_- 6 -(1)( 3) (2) (1)由图中数据可得： S 圆锥侧 2 ， S 圆柱侧216 12 2 2212， S 底面 1 2.所以几何体的表面积 S S 圆锥侧 S 圆柱侧 S 底面 2( 3).2 2(2)(等积法)三棱锥 D1EDF 的体积即为三棱锥 FDD1E 的体积因为 E， F 分别为 AA1， B1C 上的点，所以在正方体 ABCDA1B1C1D1中， EDD1的面积为定值 ，12F 到平面 A
12、A1D1D 的距离为定值 1，所以 VD1EDF VFDD1E 1 .13 12 16规律方法 1 以三视图为载体的表面积、体积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量，必须还原出直观图.2 若所给定的几何体的体积不能直接得出，则常用转化法、分割法、补形法等方法进行求解.(1)(2016全国卷)如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 ，则它的表面积是( )283A17 B18C20 D28(2)(2017浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A. 1 2B. 3 2C.
13、 132D. 332(3)如图所示，已知多面体 ABCDEFG 中， AB， AC， AD 两两互相垂直，平面ABC平面 DEFG，平面 BEF平面 ADGC， AB AD DG2， AC EF1，则该多面体的体积为_(1)A (2)A (3)4 (1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的 ，得到的几何体如图14设球的半径为 R，则 R3 R3 ，解得 R2.因此它的表面积为43 18 43 2834 R2 R217.故选 A.78 34(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的
14、组合体，2- 7 -该几何体的体积V 1 23 3 1.13 12 13 12 2 2 2故选 A.(3)法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点 C 作 CH DG 于 H，连接 EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEHABC 和一个斜三棱柱 BEFCHG.由题意，知 V 三棱柱 DEHABC S DEHAD 22， V 三棱柱(1221)BEFCHG S BEFDE 22.故所求几何体的体积为 V 多面体 ABCDEFG224.(1221)法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为 2 的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一
15、半又正方体的体积 V 正方体 ABHIDEKG2 38，故所求几何体的体积为 V 多面体ABCDEFG 84.12与球有关的切、接问题【例 3】 (2016全国卷)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若 AB BC， AB6， BC8， AA13，则 V 的最大值是( )A4 B.92C6 D.323B 由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切设球的半径为 R， ABC的内切圆半径为 2， R2.又 2R3， R ，6 8 102 32 Vmax 3 .故选 B.43 (32) 92母题探究 (1)若本例中的条件变为“直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶
16、点都在球 O 的球面上” ，若 AB3， AC4， AB AC， AA112，求球 O 的表面积(2)若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球 O 的球面上” ，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，求该球的体积解 (1)将直三棱柱补形为长方体 ABECA1B1E1C1(图略)，则球 O 是长方体 ABECA1B1E1C1的外接球，所以体对角线 BC1的长为球 O 的直径因此 2R 13，32 42 122故 S 球 4 R2169.- 8 -(2)如图，设球心为 O，半径为 r，则在 Rt AFO 中，(4 r)2( )2 r2，解得 r ，294则球 O 的体积 V 球 r3 3 .43 4
17、3 (94) 24316规律方法 与球有关的切、接问题的求解方法1 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点” “接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2 若球面上四点 P， A， B， C 中 PA， PB， PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体.利用 2R a2 b2 c2求 R.确定球心位置，把半径放在直角三角形中求解.3 一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱.(1)已知直三棱柱 ABCA1B1C1的各顶点都在以 O 为球心的球面上，且 BAC
18、， AA1 BC2，则球 O 的体积为( )34A4 B83C12 D20(2)(2019福建十校联考)已知三棱锥 PABC 的三条侧棱两两互相垂直，且AB ， BC ， AC2，则此三棱锥的外接球的体积为( )5 7A. B. 83 823C. D. 163 323(1)A (2)B (1)在底面 ABC 中，由正弦定理得底面 ABC 所在的截面圆的半径为 r ，则直三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的半径为 R BC2sin BAC 22sin 34 2 r2 (AA12)2 ，则直三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的体积为 R34 .故选 A. 2 2 12 343 3(2) AB ，
19、BC ， AC2， PA1， PC ， PB2.以5 7 3PA， PB， PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图所示，则长方体的外接球同时也是三棱锥 PABC 的外接球长方体的对角线长为 2 ，1 3 4 2- 9 -球的直径为 2 ，半径 R ，2 2因此，三棱锥 PABC 外接球的体积是 R3 ( )3 .故选 B.43 43 2 8231(2018全国卷)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )A2 B217 5C3 D2
20、B 由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为 2，底面周长为 16.画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接 MN，则 MS2， SN4，则从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 2 .故选 B.MS2 SN2 22 42 5图 图2.(2018全国卷)设 A， B， C， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( )3A12 B183 3C24 D543 3B 设等边三角形 ABC 的边长为 x，则 x2sin 609 ，得 x6.设 ABC 的外接圆半径为12 3r，则 2r ，解得 r2 ，所以球心
21、到 ABC 所在平面的距离6sin 60 3d 2，则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1 d46，所以三棱锥 DABC 体积42 23 2的最大值 Vmax S ABC6 9 618 .13 13 3 33(2017全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A B.34- 10 -C. D. 2 4B 设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，且 R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r， R 及圆柱的高的一半构成直角三角形 r .12 (12)2 32圆柱的体积为 V r2h 1 .34 34故选 B.4(2016全
22、国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A1836 B54185 5C90 D81B 由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633 )25418 .故选 B.5 55(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620，则 r( )A1 B2 C4 D8B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积S 4
23、 r2 r24 r2 r2r(54) r2.又12- 11 -S1620，(54) r21620， r24， r2，故选 B.6(2017全国卷)如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D， E， F 为圆 O 上的点， DBC， ECA，FAB 分别是以 BC， CA， AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC， CA， AB 为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D， E， F 重合，得到三棱锥当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为_4 如图，连接 OD，交 BC 于点 G，15由题意，知 OD
24、 BC， OG BC.36设 OG x，则 BC2 x， DG5 x，3三棱锥的高 h DG2 OG2 ，25 10x x2 x2 25 10xS ABC 2 x3x3 x2，则三棱锥的体积12 3 3V S ABCh x213 3 25 10x .3 25x4 10x5令 f(x)25 x410 x5， x ，则 f( x)100 x350 x4.(0，52)令 f( x)0 得 x2.当 x(0,2)时， f( x)0， f(x)单调递增，当 x 时， f( x)(2，52)0， f(x)单调递减，故当 x2 时， f(x)取得最大值 80，则 V 4 .3 80 15三棱锥体积的最大值为 4 cm3.15- 9 -
