1、第 1 课 前言一元、多元函数微分学和积分学、矢量代数、空间解析几何、无穷级数和微分方程第一章 函数第一节 函数的概念一、区间、邻域第 2 课 第一节 函数的概念二 函数的概念三 函数的几个简单性质1 函数的有界性第 3 课 三、函数的几个简单性质1、函数的有界性2、函数的单调性3、函数的奇偶性4、函数的周期性四、复合函数、反函数1、复合函数第 4 课 复合函数例题2、反函数2.初等函数一、基本初等函数二、初等函数第 5 课三、双曲函数第二章、极限 13：501.数列的极限一、数列极限的定义第 6 课 (接上节) 数列极限的定义、例题二、收敛数列的两个性质1、定理一（唯一性）第 7 课 例题2
2、、定理二（有界性）2、函数的极限一、自变量 x 趋于一个定值 x0 的 f(x)的极限（只是谈及）第 8 课（接一讲：自变量 x 趋于一个定值 x0 的 f(x)的极限）分析，定义，几何意义，例题第 9 课 左极限和右极限的定义，极限存在的条件二、自变量 x 趋于无穷大的函数 f(x)的极限三、无穷小量和无穷大量1、无穷小量2、无穷大量第 10 课 第二章 极限第二节 函数的极限三、无穷小量与无穷大量注意 2 点例题2、无穷大3、无穷小与无穷大的关系四、海涅定理例题第 11 课 第三节 函数极限的性质和极限的运算 （本章重点）一、极限值与函数值的关系1、极限值的唯一性2、极限值与函数值的同号性
3、3、有界性第 12 课 二、极限与无穷小的关系 f(x)=A+a(x)三、无穷小的性质1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小2.有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小推论：常数与无穷小的乘积仍是无穷小有限个无穷小的乘积仍是无穷小3.无穷小与有界函数的商仍是无穷小第 13 课 四、极限的四则运算、limf(x)+limg(x)=A+B、limf(x)g(x)=AB、limf(x)g(x)=AB、f(x)(x),AB第 14 课 例题第四节 极限存在准则，两个重要极限 16:00一、准则 1 夹挤准则例 1第 15 课 例 2 重要极限之一二、准则 2 单调有界准则 25：30例 1 重要极限之二第 16
4、课 例题第五节 无穷小量的比较 39：00第 17 课第五节 无穷小量的比较例题等价无穷小代换定理注意：加减不可替换，乘除可替换第六节 连续函数 34：00一、函数连续性的定义第 18 课 一、函数连续性的定义左连续，右连续二、函数的间断点 24：30第 19 课 三、初等函数的连续性1、连续函数的和、积、商的连续性2、反函数与复合函数的连续性1) 反函数的连续性：单调且连续2）复合函数的极限第 20 课 2、反函数与复合函数的连续性3）复合函数的连续性3、初等函数的连续性 13:30初等函数在定义域内连续。第 21 课 四、连续函数在闭区间上的性质1、最大、最小值定理 06:062、有界性定
5、理3、零值点定理4、介值定理fenderdj 写道：问下 零值定理为什么要求是闭区间要 f(a),f(b)存在且异号，方便描述。若是开区间，就要说明 f(x)在 a 的右极限和 b 的左极限存在且异号。第 22 课 第 3 章、导数与微分第一节 导数概念一、两个实例二、导数定义第 23 课 三、导数的几何意义 11:48（求曲线上某点的切线方程和法线方程）四、函数的可导性与连续性关系 32:49第 24 课 证明可导与连续性关系的逆命题不成立五、几个基本初等函数的导数公式 14:451、常数2、幂函数3、正弦、余弦函数4、对数函数第 25 课 第二节 函数的微分法一、函数的和、差、积、商的求导
6、法则（只讲到和、差、积）第 26 课 续上（函数商的求导法则）推导出 tanx,cotx,secx,cscx 的导数公式二、反函数的导数 23:30推导出反三角函数的导数公式arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx,第 27 课 求指数函数的导数三、复合函数的导数 5:33复合函数的求导法则第 28 课 例题四、高阶导数(7)多做练习第 29 课 第三节、隐函数、参量函数的导数一、隐函数的导数隐函数的求导，包括幂指函数的求导第 30 课 取对数微分法 例 2二、参量函数的导数 05:10三、*极坐标系下曲线的切线的斜率(38)第 31 课 例 1：求心形线某一点处切线的斜
7、率四、相关变化率(550)两个例子第四节、函数的微分(24)一、微分的概念第 32 课 二、可微与可导的关系（互为充要条件）微分的几何意义三、微分公式1、基本初等函数的微分公式2、函数的和、差、积、商的微分公式四、复合函数的微分公式微分形式不变性第 33 课 第四章、微分中值定理 导数的应用第一节、微分中值定理一、Rolle 定理( 罗尔定理) 6二、Lagrange 定理 (拉格朗日定理)分析第 34 课Lagrange 定理的证明利用它做证明题。第 35 课 三、Cauchy 定理 (柯西定理)四、Taylor 定理( 泰勒定理)(2330“)其证明(未证完)第 36 课 Taylor 定
8、理继续证明f(x)的 n 阶 Maclaurin 公式麦克劳林公式Peano 型余项第 37 课 第二节、罗必塔法则一、0/0 型不定式法则 I推论 I第 38 课 二、8/8 型(7)法则 II(不证，超出范围)推论 II三、其它类型未定式(2430“)0.8 型、8-8 型、00 型,18 型,80 型解决方法：化为 0/0 或 8/8 型第 39 课 第三节、函数的增减性与极值1、函数单调增、减的必要条件2、函数单调增、减的充分条件第 40 课 例 2、3二、函数的极值、及求法(21)一、函数单调增、减的必要充分条件2、函数单调增、减的充分条件二、函数的极值及求法1、极值的必要条件第 4
9、1 课 极值存在的充分条件第一充分条件第二充分条件(37)第 42 课 例 3第四节、函数的最大、小值(11)例（未完）第 43 课 例（续）利用函数的最值可以证明不等式例 3第五节、函数的凹凸性、拐点函数的凹凸性的定义函数的凹凸性的判别第 44 课判定拐点的方法第六节、函数图形的描绘 （42）第 45 课一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘(34)第 46 课例子：作图(续)第七节、曲率(1430“)一、弧的微分光滑曲线有向光滑曲线弧长的度量一、弧微分第 47 课二、曲率及其计算公式(3)直线的曲率为 0圆的曲率为 1/R第 48 课例 1例 2第五章、不定积分(21)第一节、不定积分概念 2
10、5一、原函数与不定积分第 49 课 二、不定积分的几何意义(9)三、不定积分性质四、不定积分的基本公式基本积分表第 50 课几个例子第二节、换元积分法(20)一、第一换元法第 51 课 第一换元积分法的几个例子第 52 课 二、第二换元法(0)第 53 课第二换元法的例子（5）第三节、分部积分法(42)第 54 课 分部积分法的证明分部积分法的几个例子第 55 课 第四节、几类函数的积分法一、有理函数的积分第 56 课 部分分式(和) 的积分第 57 课 二、三角函数有理式的积分举例三、两种无理函数的积分第一类第 58 课 第二类第六章、定积分(16)第一节、定积分概念一、实例1、曲边梯形的面
11、积分割作积求和取极限第 59 课估计是二、定积分的定义上册 59 讲 asf 音频：http:/ 60 课 三、定积分的几何意义例 1、利用定积分的几何意义来求定积分值例 2、应用定积分的定义来求定积分值第二节、定积分性质、定积分中值定理一、定积分性质(24)1、2、3、第 61 课 定积分性质456二、定积分中值定理（38）1、定积分第一中值定理第 62 课 1、定积分第一中值定理2、定积分第二中值定理第三节、定积分与原函数的关系(35)一、变上限的定积分第 63 课 (继)二、牛顿莱布尼兹公式(Newton-Leibniz)第 64 课举例第四节、定积分计算法(32)一、定积分的换元积分法
12、第 65 课证明(定积分的换元积分法)举例第 66 课 例二、定积分的分部积分法(13)第 67 课第六节、广义积分、T-函数（咖玛函数）(0)一、无穷限的广义积分(440“)二、无界函数的广义积分(41)第 68 课 三、T函数( 咖玛函数 )(2120“)第 69 课 第七节、定积分在几何上的应用(6)一、定积分元素法二、平面图形面积(29)1、直角坐标情形第 70 课 例子2、极坐标的情况(15)三、求立体的体积(34)1、平行截面面积为已知的立体的体积第 71 课 例子2、旋转体的体积(12)第 72 课 四、平面曲线的弧长1、直角坐标的情形2、极坐标的情形(25)第 73 课 五、旋
13、转体的侧面积第八节、定积分在物理上的应用(30)一、变力做功第 74 课 例子电荷做功抽水做功弹簧弹性力做功(19)二、引力(35)例第 75 课 续例三、液体的侧力(2920)推出公式第 76 课例子四、函数值的平均值(22)算术平均值例子(3733“)=定积分全部结束=第 77 课 第七章、空间解析几何 矢量代数1.空间直角坐标系一、空间点的直角坐标第 78 课 二、空间中两点间的距离例 1例 22.矢量代数(24)一、矢量概念二、矢量运算1.矢量加法第 79 课2.矢量减法(10)3.矢量与数的乘法第 80 课 三、矢量的坐标表达法1.矢量在轴上的投影(6)投影定理（32）第 81 课
14、2.矢量的坐标表达式第 82 课 3.矢量的模和方向余弦(9)四、二阶及三阶行列式基本知识(30)1.二阶行列式2.三阶行列式第 83 课 五、数量积，矢量积(19)1.两矢量的数量积第 84 课 2.两个矢量的矢量积(15)第 85 课 例 1例 2(35)例 3第 86 课 3.平面及其方程一、曲面方程的概念例 1例 2例 3二、平面的点法式方程(26)例 1例 2第 87 课 例 3三、平面的一般式方程四、平面的截距式方程(4420“)第 88 课五、两平面夹角(230“)例 1六、平面外一点到平面的距离4.空间直线及其方程一、空间曲线及其方程第 89 课二、直线的对称式和参量式方程例
15、1三、直线的一般式方程例 2四、直线的相互关系五、直线与平面的夹角第 90 课 例 3例 4习题：7-4 1,3,4,5,6,7,8,11,135.曲面与方程一、柱面(36)例 1第 91 课 二、旋转曲面例 1例 2习题：7-5 1,3,4,6,8第 92 课 6.二次曲面一、椭球面二、抛曲面第 93 课 三、双曲面(12)1.单叶双曲面2.双叶双曲面例 1习题：7-6 1,2,3第 94 课7.空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程例 1例 2二、空间曲线的参量方程例 3第 95 课 三、空间曲线在坐标面上的投影曲线例 1例 2例 3=高数上册完= 第 96 课 第 8 章、多元函数微积分
16、1.多元函数概念一、平面点集的基本知识1.邻域2.区域3.聚点第 97 课 4.n 维空间(5)二、多元函数的概念例 1例 2第 98 课 二元函数的几何意义例 1例 2习题：8-1 1,2,4,7,8(1)(4)(6)三、二元函数的极限第 99 课 例 1二元函数极限的四则运算(15)例 2例 3四、二元函数的连续性第 100 课 在有界闭区域上连续的多元函数性质1.最大、最小值存在性定理2.介值定理2.偏导数一、偏导数概念(25)第 101 课例 1例 2例 3例 4二元函数偏导数的几何意义二、高阶偏导数(42)第 102 课 例 5例 6习题：8-2 1(1)(4)(5)(8)(9),2
17、(4)(5)(7),9,11,12,13,153.全微分一、全微分概念(28)第 103 课 例全微分定义定理 1 可微的必要条件（38） 可微-偏导存在 习题：8-3 1(1)(5)(7)(9)(10)第 104 课 二、可微的充要条件例 1定理 2 可微的充分条件(26)证明第 105 课 （续证）例 1总结4.多元复合函数微分法一、多元复合函数微分法(21)定理证明第 106 课 复合函数结构示意图例 1例 2例 3例 4例 5第 107 课 一、多元复合函数微分法（续）二、全微分形式不变性(415“)三、多元复合函数的高阶偏导数（本节核心、重点内容）例 1例 2(40)习题：8-4 1
18、7,18,19,20,22,23第 108 课 例 3 5.隐函数的微分法(21)隐函数：（定义）一、一个方程所确定的隐函数隐函数存在定理 1例 1第 109 课 一、一个方程所确定的隐函数（续）例 2隐函数存在定理 2 (1540“)例 1(30)例 2(40)第 110 课二、方程组所确定的隐函数隐函数存在定理 3例 1(22)例 2(3430“)习题：8-4 17,18,19,20,22,238-5 1,2,3,6,7,8,9,10,14,15,18,20,21第 111 课 6.方向导数，梯度一、方向导数定理证例 1第 112 课 二、梯度梯度定义例 1例 2(32)7.偏导数在几何上
19、的应用一、空间曲线的切线和法平面(43)第 113 课 （续前节）例 1例 2(2230“)习题：8-6 2,3,4,5,7,98-7 2,3,4,6,8二、曲面的切平面和法线(35)证明第 114 课 结论定义切平面曲面的法线法线的方程例 1例 2第 115 课 例 3(1)证明：8.多元函数的极值和求法(15)一、二元函数的极值和求法二元函数极值定义1、极值存在的必要条件2、极值存在的充分条件(39)第 116 课 求二元函数极值的步骤例 1(8)二、求二元函数的最大值、最小值(19)例 2(26)习题：8-7 11,13,14,18,20,22,23第 117 课 8.多元函数的极值和求
20、法(续)例三、条件极值(2230“)-Lagrange 系数法解决条件极值的方法，有两种：第 118 课 解决条件极值的方法（续）例 1(20)习题：8-8 1(2)(4),2,4,5,9,10,15,16,18第 9 章、重积分(37)1、二重积分的概念、性质一、实例1、曲顶柱体体积第 119 课 1.二重积分的概念、性质（续）2、平面薄板质量二、二重积分定义(29)第 120 课 三、二重积分性质(340“)1、2、3、4、5、估值定理（介值定理）(14)6、中值定理2.二重积分的计算(22) - 化为两次单积分的计算一、在直角坐标系下第 121 课 （续）计算二重积分步骤例 1例 2第
21、122 课 （续）例 3例 4例 5(36)习题：9-1 2(1)(4),3(2)(3)9-2 1(3)(4)(5),2(2)(3),3(1)(3)(4)(6)(8)(9),4(3)(4)第 123 课二、在极坐标下1、二重积分由直角坐标变换为极坐标的变换公式2、极坐标下的累次积分(34)第 124 课 例 1(4)例 2例 3(2518“)例 4(40)习题：9-2 5(1)(2)(4),6(2)(3),7(1)(2)(3)(5)(7)第 125 课 例 5(220“)3.三重积分(2030“)一、三重积分定义二、三重积分性质(3830“)1、2、3、第 126 课 4、 (430“)5、6
22、、例 14.三重积分的计算(21)一、直角坐标系下(23)第 127 课例 1例 2例 3 (36)习题 9-4 1（1）(2)(4) 2(1)(2)(3)(4)第 128 课 二、在柱面坐标系下例 1 (2711“)例 2第 129 课 续例 2三、球面坐标系下例 1 42习题：9-4 3(1)(2)(3)(5)第 130 课 在球面坐标系下，三重积分化为三次积分例 1 4例 2 20习题： 9-4 4(1)(2)(3)(5) 5(3)(5)第 131 课 第五节 重积分的应用一、重积分在几何上的应用1、封闭曲面所围立体的体积例 1例 22、曲面的面积(3431“)第 132 课 例 1 0
23、414例 2 1308二、重积分在物理上的应用(29)1、物体的质量2、物体的重心(35)习题 9-5 1(1)(2)(3) 2(1)(2)(5)第 133 课 （2010.8.7）1 平面薄板的重心2 空间立体的重心例 1 2826第 134 课 续例 1例 2 3203 物体的转动惯量 25第 135 课 例 1例 2 17习题 9-5 6,7,8,10,12,14第十章 曲线积分与曲面积分(27)例 1第一节 第一类曲线积分第 136 课一、第一类曲线积分的概念和性质二、第一类曲线积分的计算(13)1、设空间曲线 L 由参量方程给出证明第 137 课例 1例 2 830例 3 1850习
24、题 10-1 2,3,5,7,10,11,15第二节 第二类曲线积分 2450一、矢量场的概念矢量场、曲线方向的规定二、第二类曲线积分概念、性质（4330“）例第 138 课 概念 1956性质 1，2 ，3第 139 课 三、第二类曲线积分的计算 930第 140 课例 1例 2 1130例 3 2824第 141 课 四、两类曲线积分的关系两类曲线积分可以互相转化第三节 格林（Green）公式(19)一、格林公式证明(36)第 142 课 证明 续例 1(37)第 143 课例 2例 3(21)二、平面曲线积分与路径无关的条件(44)第 144 课证明第 145 课证明 续注意 (20)例
25、 1 (28)第 146 课例 2例 3(30)第四节 第一类曲面积分(41)一、第一类曲面积分的概念、性质第 147 课 性质 1、2 、3二、第一类曲面积分计算（本节重点问题）(20)例 1 (38)第 148 课例 2第五节 第二类曲面积分(21)（和曲面的方向有关）一、有向曲面的概念第 149 课 二、第二类曲面积分的定义两类曲面积分的关系(38)第 150 课三、第二类曲面积分计算法例 1 (28)第 151 课例 2第六节 高斯公式 曲面积分与曲面积分无关的条件(33)一、高斯公式第 152 课 证明例 1 (20)例 2 (29)第 153 课 二、曲面积分与路径无关的条件 （不
26、考）定理：证明（略）第七节 斯托克斯公式、空间曲线积分与路径无关的条件一、斯托克斯公式(9)证明（略）例 1 (21)二、空间曲线积分与路径无关的条件(40)（不考）第 154 课第 11 章 级数第一节 常数项级数一、级数基本概念级数、级数的部分和、级数收敛例 1、讨论几何级数的敛散性 (21)例 2、(32)例 3、(3539“)二、级数的基本性质(40)性质 1、推论第 155 课 性质 2、性质 3、性质 4、性质 5(一个必要条件，可用来证发散)第 156 课 三、正项级数敛散性判别法正项级数：定义、收敛的充要条件1、比较判别法 (11)例 1 讨论 P 级数的敛散性例 2 根号里有
27、平方第 157 课 例 3 例 4定理：比较判别法的极限形式例 1例 2例 3第 158 课 2、比值判别法例 1、例 2、例 3 很不错，是比值与比较两个判别法的综合第 159 课 3、根值判别法例 1 (14)例 2 (17)4、积分判别法(20)例 1 例 2小结 (38)四、任意项级数敛散性的判别法 (42)1、交错级数第 160 课萊布尼茲定理例 1 (21)2、绝对收敛，条件收敛第 161 课例 13、绝对收敛级数的两个性质 (23)第二节 幂级数 (31)函数项级数基本概念函数项级数收敛域，发散域第 162 课 一、幂级数及其收敛域阿贝尔定理 收敛域第 163 课收敛半径的求法定
28、理例 1 (22)例 2 (30)例 3 (32)例 4 (35) 缺项则用比值判别法第 164 课 例题 5二、幂级数的性质 (10)四则运算性质分析运算性质例 1 (34)例 2 (42)第 165 课 第三节 函数的幂级数展开一、泰勒级数 泰勒展开式（幂级数展开式）定理 1 n 阶导数存在是展开为幂级数的必要条件定理 2 余项极限为 0 是幂级数展开的充要条件 (31)第 166 课 二、函数展开为幂级数1、直接展开法例 1 (10)例 2 (23)2、间接展开法 (35)（1 ）逐项求导法例 1 （2 ）逐项积分法 (40)例 2第 167 课（3 ）变量代换法 (6)例 3例 4（4
29、 ）四则运算法例 5 (17)（5 ）求和函数法例 6 (29)第 168 课 例 6 续三、求幂级数的和函数 (1034“)记住几个重要的基本和函数例 1 (17)例 2例 3求数项级数的和例 4第 169 课 四、欧拉公式五、幂级数在近似计算上的应用第 170 课 第五节 付里叶级数 (35)一、三角函数系的正交性 (41)第 171 课二、傅立叶级数 (16)Dirichlet 定理 (39) - 收敛条件例 1 (43)第 172 课 例 1 续例 2 (28)第 173 课 三、正弦级数、余弦级数1、奇、偶函数的傅立叶级数证明例 1 (22)例 2 (28)2、把函数展开成正弦级数或
30、余弦级数 (41)第 174 课例 1 (630“)四、以 2l 为周期的周期函数的傅立叶级数 (13)第 175 课 第 12 章 微分方程第一节 微分方程基本概念例 1 (6)例 2 (10)第 176 课 第二节 一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程 (38)第 177 课可化为齐次的方程 (20)三、一阶线性方程 (33)第 178 课 例 1例 2四、伯努利方程 (14)五、全微分方程 (27)第 179 课 1、用曲线积分法2、用不定积分法例 1 (19)六、一阶微分方程应用举例 (29)例 1 （冷却问题）例 2 （44 ）第 180 课 例 2 续（1 ）瞬态法（2
31、 ）微量法第 181 课 第三节 可降阶的高阶方程一、yn=f(x)型的方程二、y“=f(x,y)型的方程三、y“=f(y,y)型的方程第 182 课 第四节 线性微分方程解的结构一、线性齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构定理 (37)第 183 课 定理 3第五节 常系数线性微分方程 (12)一、常系数线性齐次方程 (16)第 184 课 例题 1、2 、3 （三种情况一样一个） 、4 （多重）二、常系数线性非齐次方程 (35)第 185 课求解两种情况例 1 (34)第 186 课 例 2、3、4第二种情况 (含有 sin cos 的情形) (30)例 1 (36)第 187 课
32、例 2、3小结 (34)第 188 课三、常系数线性微分方程应用举例 (21)第 189 课 四、欧拉方程 (1430“)蔡高厅高等数学教材配套课后习题题解(版本一高等数学题解天津大学数学系2005 年 4 月第一章 习 题 11x 22设 f (sin ) = cos x + 1 ，求 f (x) 及 f (cos )解得x 2 x x f (sin ) = cos x + 1 = 2(1 sin 2 ) . 2 2f ( x) = 2(1 x 2 ),x 1, 1 .（或 1 cos x ）x x x f (cos ) = 2(1 cos 2 ) = 2 sin 2 . 2 2 23若 f
33、 ( x) = 1 + x,x 2 ,当 - 0 使得对每一个 x (a, b)皆有f ( x) M ， M f ( x) M , 因此 M 和 M 分别是函数 f ( x) 在 (a, b) 内的下界和上界. 即对每一个 x (a, b) 皆有 “充分性” f ( x) 在 (a, b) 内有上界 M 1 和下界 m1 ， 设f ( x) M 1 ， f ( x) m1. 令 M = max M 1 , m1 则对每一个 x (a, b) 有 M m1 f ( x) M 1 M ,于是 f ( x ) M , 故 f ( x) 在 (a, b) 内有界.1 + x 2 , , 9求函数 y
34、= f ( x) = 0 1 x 2 , 解由于函数当 x 0, 当 x = 0, 当 x 0) 的 值 域 为 (1,+ ) ， 故 它 的 反 函 数 为y = x 1( x 1) ，又函数 y = 1 x 2( x 1, 当 x = 0, 当 x 1.10设函数 f ( x) 满足关系式 af (u ) + bf ( ) = 且 a b ，求 f (x).1 uc , (u 0) 其中 a, b, c 为常数， u解 由1 c af (u ) + bf ( ) = （1） u u 1 （1）式中将 u 换为 得到 u 1 af ( ) + bf (u ) = cu （2 ） u由(1)和
35、(2)解出f (u ) =c(a bu 2 ) c(a bx 2 ) , (u 0). 从而 f ( x) = 2 , ( x 0). (a 2 b 2 )u (a b 2 ) x 1 所确定的复合函数 f f ( x) 的定义域 1+ x11求由函数 f ( x) =解 由 f ( x) =1 ， ( x 1) ，有 1+ x1 = 1 + f ( x) 1 1 ) 1+ ( 1+ x = 1+ x , 2+ xf f ( x) =( x 1, 2)3习3证明下列等式成立 （ 1） sh 2 x = 2shx chx ；题12e 2 x e 2 x e x ex e x + ex =2 =
36、2shx chx . 2 2 2 x （2） shx + chx = e ； e x ex e x + ex 证明 shx + chx = + = ex . 2 2 x （3 ） chx shx = e ； e x + ex e x ex 证明 chx shx = = e x . 2 2 2 2 （4 ） ch x sh x = 1. ( e x + e x ) 2 (e x e x ) 2 证明 ch 2 x sh 2 x = = 1. 4 4 1 1 4对函数 f (x) , x l , l , 证明等式 f ( x) = f ( x) + f ( x) + f ( x) f ( x) 2
37、 2 1 1 成立. 指出 f ( x) + f ( x) 与 f ( x) f ( x) 的奇偶性. 2 2 1 1 证明 f ( x) + f ( x) + f ( x) f ( x) 2 2 1 1 1 1 = f ( x) + f ( x) + f ( x) f ( x) = f ( x) . 2 2 2 2证明 sh 2 x =令( x) = f ( x) + f ( x) ， ( x) = f ( x) f ( x) ，则 ( x) = f ( x) + f ( x) = f ( x) + f ( x) = ( x)1 2 1 21 21 2故1 f ( x) + f ( x) ， ( x l , l ) 为偶函数. 而 2 1 1 ( x) = f ( x) f ( x) = f ( x) f ( x) 2 2 1 = f ( x) f ( x) = ( x) 2 1 故 f ( x) f ( x) ， ( x l , l ) 为奇函数. 25设( x) = x 2 ， ( x) = 2 x ，求 ( x), ( x), ( x) 和 ( x)2解 ( x) = (2 x ) 2 = 2 2 x ； ( x) = 2 x ； ( x) = (2 2 ) 2 = x 4 ； ( x) = 2 2 .x46 设 f ( x) =
