1、第4章 根轨迹法,自动控制原理课件系列,哈尔滨工业大学控制科学与工程系 王彤,根轨迹的概念,根轨迹法是求闭环极点的图解方法，已知开环零、极点，研究某一参数变化对闭环极点的影响趋势。,绘制根轨迹的条件,绘制根轨迹的基本规则,根轨迹的分支数,根轨迹的条数等于特征方程的阶次， 即等于闭环极点数，亦等于开环极点数。,根轨迹的连续性与对称性,根轨迹是连续的且对称于实轴。,由代数方程的性质可知：任一实系数方程的复根只能是成对的共轭复根。方程的系数连续变化，根也连续变化。,根轨迹的起点与终点,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点， 若 m n 则有n-m 条根轨迹终止于无穷远处。,根轨迹的渐近线,若m n
2、,当 k 时有 n-m 条根轨迹沿着 n-m 条渐近线趋于s平面无穷远处。,关于实轴对称， 两相邻渐近线间夹角相等,实轴上的根轨迹,满足相角条件的点都在根轨迹上。,复习一下向量相减,根据相角条件确定实轴上的根轨迹。,s1,s1-z1,s2,s2-z1,s2-p1,s2-p2,s2-p3,实轴上的根轨迹只能是其右侧开环实数零、极点总数为奇数的线段。共轭复数开环零、极点对确定实轴上的根轨迹无影响。,根轨迹的分离点与会合点,分离点 重实根变成共轭复根从实轴离开。,会合点 共轭复根进入实轴变成重实根。,会合点,实轴上会合点和分离点都是 特征方程式的实数重根。,分离点,这是必要条件而不是充要条件！,若会
3、合点或分离点处是二重实根，根轨迹进入或离开实轴时与实轴正交。,例4.2.1,根轨迹在实轴的分离点,-0.422,根轨迹与虚轴的交点,求例题4.2.1中根轨迹与虚轴的交点,根轨迹的出射角与入射角,出射角 根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正向方的夹角,入射角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正向方的夹角,根据相角条件确定出射角和入射角,j,例4.2.3,-2.12,不在实轴根轨迹上，舍去。,会合点 2.12,闭环极点的和与积,利用这些规则，可在已知某些简单系统部分闭环极点情况下求其它极点。,放大系数的求取,求例4-2-1所示系统临界开环放大倍数KVC 。,用MATLAB用于根轨迹分
4、析,绘制根轨迹可用函数 rlocus(num,den) num,den分别对应系统开环传递函数分子多项式和分母多项式系数构成的数组。,系数与系数之间用空格或逗号隔开。,其它输入方式,例4.2.1的根轨迹,在根轨迹上画出等阻尼比曲线, rlocus(1,1,3,2,0) grid,axis equal 命令使纵、横坐标比例尺相等,例4.2.6的根轨迹,零点的作用,条件稳定系统的根轨迹,rlocfind()函数,该函数执行后，可用光标（十字）单击根轨迹上一点，会在根轨迹上用红十字标出n个极点位置，命令窗口中出现n个极点坐标值和对应的k值。,g=tf(1,1,3,2,0); rlocus(g); k,p=rlocfind(g),用光标（十字）点根轨迹上一点,图上显示出用红十字标出的n个极点位置,命令窗口显示,Select a point in the graphics windowselected_point =-0.3223 + 0.6832ik =1.3169p =-2.3944 -0.3028 + 0.6770i-0.3028 - 0.6770i,开环传递函数相等的两个系统,根轨迹图相同,k=5时的阶跃响应, step(4,5,5,5,5); hold on; step(5,5,5,5);,
