1、1直线系方程及其应用所谓直线系方程,是指满足某种特征的直线方程的全体.在解决直线方程问题时,若能巧妙地运用直线系方程的有关结论,有时可以收到事半功倍之效果.以下总结常见的直线系及其巧用.一、直线系的类型1.共点直线系方程经过两直线 的交点的直线系方程为1122:0,:0lAxByClAxByC（ 为待定系数）.12()xy2.平行直线系方程与直线 平行的直线系方程为 （ 为参数）.3.垂直直线系方程与直线 垂直的直线系方程是 （ 为参数）.0AxBy0BxAy二、直线系解题的巧用1.共点的直线系方程的应用例 1.求经过两直线 和 的交点 ，且与直线 垂直的1:24lxy2:l P3:450lx
2、y直线 的方程l【解析】方法一：解方程组 得交点 ，因为 ，所以直线 的斜率 ，0xy(,2)34kl3k方程为 ，即 .423y6方法二：设所求直线 ： ，由方法一知： 代入方程，得 ，所以直线 的方l0xyc(0,2)P6cl程为 60x方法三：设所求直线 ： ，整理得 ，l(24)()xy(1)(2)40xy因为 ，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为3l1)1l即 (24)xyxy360例 2.求过点 ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程()M，【解析】设所求直线方程为 （其中 不全为零） ()(4)AxByAB，显然，当 或 时，所得直线方程不满足题意故 均不为零0当 时， ；当 时，
3、x34y0y3x根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则 ，34AB令 ，则 ，z43z整理，得 ， 解得 ，或 ，2370z43则 ，或 ，ABB2故所求直线方程为 ，或 10xy430xy例 1 中，解法一是常规解法，解法二用待定系数法，解法三应用了经过两直线交点的直线系方程，省去了求两直线交点的解方程组的运算例 2 中，利用过点 的直线系方程0()Pxy，（其中 不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直00()()AxByAB，线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性2. 平行直线系方程的应用与直线： （ 不同时为 0）平行的直线系方程为： （
4、）xyC、 0AxByC例 3.直线 平行于两平行直线 和 且分这两平行线间的距离为l341xy3450xy2：3，求 的方程.【解析】设 的方程为 （ ） ，由 且l 0c5c1102355cc或，解得 ，故所求直线方程为 .3510c2或 344250xyxy或对于已知两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算.3. 垂直直线系方程的应用与直线： （A,B 不同时为 0）垂直的直线系方程为： .AxByC BxAyC例 4.求过点 且与直线 垂直的直线方程.(2,4)2xy【解析】设 ： ，因为过点 ，所以 ，故直线方程为 .l0yc(,4)8c280xy对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.总结以上四个例题，值得我们注意的是直线 表示的是过点 的所00()()AxBy0()P，有直线（即直线系） ，应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象而平行直线系和垂直直线系则可以简化计算.
