1、第27卷第1期 中南林业科技大学学报(自然科学版) 2007年2月 Journal of Central South University of Forestry&Technology(Natural Science) V0127 No1 Feb2007 文章编号：1OOO一2502(2007)01一O152一O3 卷积公式的应用注记 罗建华 (中南林业科技大学理学院，湖南长沙，410004) 摘 要： 介绍了连续型和离散型随机变量的卷积公式，研究其在几个重要分布的“可加性”的证明中的应用，最后举例说明了连续 型随机变量卷积公式的一个应用 关键词：数学；概率论；正态分布IPoisson分布卷积
2、 中图分类号；O2116 文献标志码：A The Notes of Convol ution Formula and Its Applications LU0 Jianhua (School of Sciences，CentrM South University of Forestry and Technology，Changsha 410004，Hunan，China) Abstract：This paper presents a study of the convolution formula of continuous random variable and discrete rando
3、m variableIt further discusses its application to the proof of the additive property for a few important distributionsAn example of the application is given for the illustration of the formula Key words：mathematics；probabi!ity；normal distribution；Poisson distribution convolution 离散型随机变量的二项分布、Poisson
4、分布以及连续型随机变量的正态分布、r一分布(其在推导数理统计中 有重要应用的 一分布、一分布、F一分布时起着关键性的作用)是概率统计中重要而基础的内容，准确而熟练地 掌握好它们的性质是学习好概率论与数理统计课程的前提条件有关二项分布、Poisson分布、正态分布及r一 分布的“可加性”的证明，一般的教材中未见系统而完整地证明(见文献I-14-I)下面介绍卷积公式，然后讨论 它们在“可加性”的证明中的应用，最后举例说明它的一个应用 1 卷积公式 在求两个相互独立的随机变量(连续型或离散型)和的分布时，我们得出了卷积公式n一 设连续型随机变量 、 相互独立，它们的密度函数分别为 (z)、 (y)，
5、则 +7的密度函数 + ( )为： + (名)= * = 竺o。 (z) (z-x)dx=f_o。 (z) (z-x)dx (1) 设离散型随机变量 、 相互独立，它们的概率函数(分布列)分别为P( = )=nt，k=0，1，2，；P(,-k)= b ， =0，1，2，则 + 的概率函数为： P( + = )=以 一= 以 一t， =0，1，2， =0 t=0 2主要结果 (2) 定理1 设随机变量 ( ， )， ( 。， )，且 与 相互独立则 + (n +n。， i+ i) 1 ：! 1(x2-a2)2 证明这里 - 一 去 2， z 。 去 。 - 根据卷积公式(1)，我们有 收稿日期：
6、20060914 作者简介：罗建华(1965-)，男，湖南铷阳人讲师，硕士研究方向：随机过程及应用 维普资讯 http:/ 第1期 罗建华：卷积公式的应用注记 153 + )一 * ：一J竺oo ) x)dx= 去 ooe dx 一 J竺ooexp一 ：1獗 uz2(x-a1)。+ (z-alaz-x+口 )。jdz 一 J竺ooexp一 ( 12+ z)(x-a1)。一2 (x-a1)(z-a1-az)+ (z-al-az)2dz 一 exp一 2 2 一 (z-al-az)卜 1 aI a2) 一 l_=e 2 + ) 2兀 ；+ ； 所以 + (口 +口。， )，证毕 一般地，依归纳法可
7、证，若邑(口 ，ai)，i=1，2， ，且各相互独立，则Efi,Na ，、 )专 由此可见 个相互独立的具有正态分布的随机变量之和的分布类型不变这一性质，称之为“可加性”或 “再生性” 定理2设随机变量 r(口 ， )， r(口 ， )，且 与 相互独立则 + F(al+a2+l， ) 证明 这里 (zt)一 z；lel ，z (0，。)； ：(z。)一 z e一2 ，zz(o，。) 根据卷积公式(1)，我们有 + ( )一J竺oo (z)( 一x)dx 1 一 l 口2 r(a1+1) (口2+1) 1 J z。 ( 一z)口2e一专 + 一 dz 一 两 干 。 1 一 雨 再而。 一号J
8、5z口l(z-x)dx 一号 口l+口2+1 即得 + r(口 + +1， )最后一等式，是由于公式 B( ， )一loxm-1(1一z)一 dz一 及 、 J z。 (Z-27) dz zz1 a2(1一吾 dx=$(x- ) 。l l(1一导 d(X )-(oy。 (1-y)*zdy)z+口2 证毕 一般地，依归纳法可证，若毫r(， )，i-1，2， ，且各 相互独立，则 r(互啦+ 一1， ) 由此可见：r一分布亦具有“可加性” 定理3设随机变量 6( ，户)， 6( z，户)，且 与 相互独立则 + 6( + z，户) 证明 这里P( 1一 )一c ，P qnl-9i=0，1，2， 1
9、；P(：z-j)一 ，户 g ，_0，1，2， 2；其中：q=l-p 根据卷积公式(2)，我们有 P( + 一是)= 户 q C k- g L 至 C k- 户hq 2 ；c： + ： q ， 愚一0，1，2， 1+ 2 这就是说， + 6( + 。，户)，证毕 一般地，依归纳法可证，若b(n ，户)， 一1，2， ，且各相互独立，则至6(至 ，户) 由此可见，二项分布亦具有“可加性” 定理4设随机变量 P( )， P( )，且 与 相互独立则 -+ P( -+ ) 证明 _tg P(k； 1)一P( 1一是)一 e ，P(k； )一P( 2一是)一是A21、一-a2，愚一0，1，2， 根据卷
10、积公式(2)，我们有 一主 e 主 i k ： e-+h)， 愚一o1 2 这就是说，+ P( + 。)，证毕 维普资讯 http:/ 154 中南林业科技大学学报(自然科学版) 第27卷 一般地，依归纳法可证，若P( )，i=0，1，2，l，且各相互独立，则毫P( 九) 由此可见，Poisson分布亦具有可加性” 例设 与 相互独立，且 在0，1内服从均匀分布，7在0，zl服从Simpson分布： fy y0，1 ( )一2一 yE1，2 【0 其他 求 + 的分布 解根据卷积公式(1)，我们有 + ( )一 R- ( )= ( ) (z-x)dx=gf,(z-x)dx=I-一l (y)dy
11、， 当 d0或(z-t)2、fflJz3时， +， )一0；当03 0z1 lz2 2z3 对于连续型随机变量来说，求其分布等同于求其分布密度函数；对于分段函数卷积的求法，先限制(取定) 一个函数，然后进行积分变换，最后利用函数的表达式分段讨论求出积分 3 小结 通过学习卷积公式应用于“可加性”的证明，必将有助于理解与记忆上述各分布的“可加性”当然，对于学 习了特征函数的读者来说，上述各分布的“可加性”均可利用特征函数的性质较简洁地加以证明，本文旨在系统 说明卷积公式在初等概率论中的一些应用，至于其在积分变换 钉、随机过程 。 等课程中的应用这里不再赘 述 参考文献： E1梁之舜，邓集贤概率论
12、及数理统计(第3版)M北京：高等教育出版社，2005，145147 2Kallenberg OFoundations of Modern Probability(2nd edition)MNew York；Springer，200215，30 3何书元概率论M北京：北京大学出版社，2006I13115 43盛骤，谢式千，潘承毅概率论与数理统计(第3版)M北京：高等教育出版社，2001，95 53李红，谢松法复变函数与积分变换(第2版)M北京：高等教育出版社，2003，201-205，225-227 63方世袒，罗建华双复合Poisson风险模型j纯粹数学与应用数学，2006，22(2)：271
13、-278 73 Cheng Shixue，Gerber H U，Shiu E S WDiscounted probabilities and ruin theory in the compound binomial modelEJInsurance：Mathem atics and Economics，2000，26：239250 8Embrechts P，Kluppelberg C，Mikosch TModelling Extremal Events for Insurance and FinanceMNew York：Springer，1997，2830 本文编校：邱德勇 维普资讯 http:/
