1、 绝密 启用前 2015 第十三届 学 而思综合素质测 评 数学 五升六 考试时 间：90 分钟 考 试科 目： 数学 总 分：120 分 一、 填空题（每题 5 分，共 80 分） （1 ） 计算： 401 31 402 31 403 31 404 31 405 31= _. + + + + 【答案】65 【对应讲次】五年级 春季 第一讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 除法 运算 403 5 31 65 原式=（ ） = （ 2 ） 用 a 表示 a 的小数部分，例如： 1.99 0.99 = ； 记 ( ) 2 21 x fx x + = + ，例如： ( ) 22 4 2 221 5
2、 f + = = + ，求 1 = _. 2 f （答案写成小数 形式 ） 【答案】0.25 【对应讲次】五年级 春季 第一讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 定义 新运 算 15 2 1 5 15 22 0.25 1 2 24 2 4 21 2 = ， = ff + = = +（3 ） 实验室里有两只 钟 A 和 B ， 每只钟一圈都有 12 个格 （格线上依次标着 112 ） ， 而且都 只有一个指针，都是 每分 钟跳一次，A 钟指针每跳 一次跳 2 个格（例如从 4 跳到 6）。 B 钟 指针每跳一次跳 3 个格。 开始时两钟都指向 12 ，问至少再过_ 分钟，两 只钟又同时指 向 1
3、2. 【答案】12 【对应讲次】五年级 春季 第二讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 最小 公倍 数 A 钟跳 一圈 需要 122=6 分钟 ， B 钟跳 一圈 需要 123=4 分 钟， 则至 少再 过6, 4=12 分 钟 ，两 只钟 又同 时指向 12. 第 1 页 共 9 页 2015 第十三届学而思综合素质 测评数学五升六 （4 ）一个同学把他 的生日 的月份乘以 20 ，日期乘以 9，然后加起来和数 是 170 ，他是生日 是_. （填几月几日 ） 【答案】4 月 10 日 【对应讲次】五年级 秋季 第十二讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 不定 方程 设这个 同学 的生 日是
4、 x 月 y 日 ， 根据 题意 列方 程得 20 9 170 xy += ，显 然 y 是 10 的 倍数， 易得 10 y = ，方 程的 解为 4 10 x y = = ，所以 这个 同学 生日 是 4 月 10 日. （5 ） 若甲， 乙两人工作时 间的比为 2:3 ， 工作效率的 比为 9:5 ， 那么甲完成的 工 作量与乙完 成的工作量的最简正 整数 比为_. 【答案】6:5 【对应讲次】五年级 暑假 第八讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 工程 问题 ，比 工作 总量= 工作 效率 工作时 间， 甲完 成的 工作 量与乙 完成 的工 作量 的最 简正整 数 比为（29）：（ 3
5、5 ）=6:5. （6 ） 蟹堡王餐厅的汉 堡， 若 每个卖 15 元， 则可赚成本 的 50% ； 若每个卖 13 元， 则可赚_ 元. 【答案】3 【对应讲次】预初衔 接 【难度系数】 【分析 】 考点： 经济 问题 法一： 每个 汉堡 的 成本 价为 15(1+50 ) 10 元，每 个卖 13 元 ，可 以赚 3 元. 法二：50 = 1 2 ， 设一个 汉堡 成本 为 2 份 ，则 3 份 对应 15 元，1 份为 5 元， 成 本是 10 元， 每个 卖 13 元可 赚 3 元。 （7 ）如图所示的是 奇瑞 QQ 、奔驰 E 级、奥迪 TT 三辆不同类型的汽车 每百 千米耗油量的
6、统计图。如果每辆车 都有 30 升油， 那么这三辆车 共可行驶的路程总计 是_ 千米. 【答案】1150 【对应讲次】预初衔 接 【难度系数】 【分析 】 考点： 统计 初步 奇瑞 QQ ： 30 5 100 600 = （ 千米 ） ；奔驰 E 级： 30 12 100 250 = （千米） ；奥 迪 TT ： 30 10 100 300 = （千米） ，共 计 600 250 300 1150 += （千 米）. （8 ） 甲 、 乙两地相距 90 千米， 快、 慢两车都从甲 开往乙， 快车出 发时， 慢 车已开出 30 千 米； 当快车到达乙地时， 慢车距乙地还有 30 千米， 那么快车
7、追上慢车时 距乙 地_ 千米. 【答案】45 15 12 奥迪TT 奔驰E级 奇瑞QQ （升/百千米） 10 5 0第 2 页 共 9 页 2015 第十三届学而思综合素质 测评数学五升六 【对应讲次】五年级 秋季 第十一讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 比例 行程 相 同 时间 下， 快车开 90 千米 ， 慢车开 90 30 30=30 （千米 ） ， 3:1 慢 快 ： = ， SS 3:1 慢 快 ： = vv ， 一 开始 慢车 领先 30 千 米， 快车追 上慢 车时，快 车 开 30 (3 1) 3 45 = （千米 ） ，距 乙地 还有 90 45=45 （千米 ）. （9
8、 ） 如图， 在 正方形中画 一个最大的圆。 已 知正方 形的边长是 4 厘米， 那么 阴影部分的面 积是_ 平方厘米. （圆的面积公式：S = 2 r ， 取 3.14 ） 【答案】13.42 【对应讲次】预初衔 接 【难度系数】 【分析 】 考点： 圆与 扇形 ，面 积 如 图， 阴影 部分 面 积A 部 分（ 3 4 个半径 为 2 厘米 的圆 ） + B 部分 （一 个边 长为 2 厘米的 小正 方形 ） ， 22 3 3.14 2 2 13.42 4 += （平 方 厘米）. （10 ） 美食小队成员 喜爱 品尝美食，对 于“中国十大 名面条”前三名：武汉 热干 面、北京炸 酱面、山
9、西刀 削面，他 们 都至少吃过一 种，但没 有 人 全部 都 吃过 。已知吃 过 武汉热干面却 没有吃过北京炸酱面 的有 6 人，吃过北京炸酱面却 没有吃过山西刀削面 的有 3 人，吃过山 西刀削面却没有吃过 武汉 热干面的有 4 人，问这个 美食小队共_ 人. 【答案】13 【对应讲次】五年级 寒假 第六讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 容斥 原理 如图（ 三 元韦 恩图 ） ， 红色 部分代 表吃 过武 汉热 干面 却没有 吃过 北京 炸酱 面的 人， 黄色部 分代 表吃 过北 京炸 酱面却 没有 吃过 山西 刀削 面的人， 绿色 部分 代表 吃过 山西 刀削面 却没 有吃 过武 汉热
10、 干面的 人。 因为 没人 全部 吃过， 即中 间部 分人 数为 0，所 以总 人数为 634=13（ 人）. 4 3 6 山西刀削面 北京炸酱面 武汉热干面 0第 3 页 共 9 页 2015 第十三届学而思综合素质 测评数学五升六 （11 ） 如图，马从 点 A 按“马走日” 到 B ，至少走_ 步，如此步数有_ 种走法. 【答案】4 ，8 【对应讲次】五年级 寒假 第六讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 有序 枚举/ 乘法 原理 易知最 少需 要 4 步。 法一： （ 乘法 原理） 如图 ， 第一步 只能 从 A 走到 “ ” 处， 有两种 走法 ， 第 四步 只能 从“ ” 处到 B
11、 处， 有两 种走法 ， 第二 、三 步从 一个 “ ” 到一个“ ” 处， 有两 种走 法 。共 222=8 （种 ）. 法二： （有序 枚举 ） （12 ） 两个自然数 p 和 q ， 其 个位数均不为零 。 如果 p 和 q 的乘积是若干个10 连乘的积 （即 是10 ，100 ，1000 ，10000 ，）， 且 pq ，那么 p 与 q 差的个位数字有_ 种可能. 【答案】4 【对应讲次】五年级 春季 第二讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 尾数 整除 p 和 q 的 乘 积是 若干个 10 连 乘的积 25 xx pq = 又 p 和 q 的个 位数 均不 为零 ，且 pq 5,
12、 2 xx pq = = p 的个 位数 字只 能为 5 ， q 的个位 数字 可能 为 2,4,8,6 ， p 与 q 差的个 位数 字可 能 为 3,1,7,9 ，共 4 种 可能. B A A B B A B A B A B A A B A B A B A B第 4 页 共 9 页 2015 第十三届学而思综合素质 测评数学五升六 （13 ） 如图， 梯形 ABCD 中， 、 EF 分别为 、 AB BC 中点， 已知 ADE 的面积为 5 ， DFC 的面积为 12 ，则 DEF 的面积是_. 【答案】11 【对应讲次】五年级 寒假 第五讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 等积 变形
13、 如 图 ，联结 AF 、BD E 、F 分别为 AB 、BC 中点 S BFD =S CFD =12，S BED =S AED =5 S 四边形 EBFD =51217 又 S BEF = 1 2 S ABF = 1 2 S BFD =6 S DEF = 176 11. （14 ） 密码学是一门很神 秘、 很有趣的学问 。 在密 码学中， 直接可以看 到的 信息称为明码， 加密后的信息称为 密码。 对于很多专业的密 码，我 们只要找到明码与 密码的 对应关系 秘钥，就可以 破译它们 。 为了保证新一 届学而思 杯 （ 上海地区称 为 综 合 测评） 的保密工作 顺利进行， 学而思的 数学 老
14、师们制作了一种秘 钥的 编制程序。 他们先设 计了 一个“ 字母 明码对照表” ： 字母 A B C D E F G H I J K L M 明码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 明码 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 （例如） 秘钥为“ 密码比明 码的 2 倍多 1”，则 将“ 学” 、“ 而”、“ 思” 、“ 杯” 四字进行加密转换 后算出下表： 汉字 学 而 思 杯 拼音 X U E E R S I 明码 23 20 4 4 17 18 8 秘钥 2 倍多 1
15、密码 47 41 09 09 35 37 17 注：如表中的 X ，明码为 23 ，根据秘钥“2 倍多 1” ，密码为 232 1 47 ；E ，明码为 4 ， 密码为 42 1 9 ，保留两位为 09 ，其他字母同理 可计算出相应的密码 。 所以“ 学” 经加密转换后的 结果为“474109” 、“ 而” 经加密转换后的结果为“0935” 、“ 思” 经加密转换后的结果 为“3717” 。则“ 杯” 经加密转换后 的结果为“_”. 【答案】030917 12 5 F E D C B A 12 5 F E D C B A第 5 页 共 9 页 2015 第十三届学而思综合素质 测评数学五升六
16、【对应讲次】五年级 春季 第三讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 智巧 趣题 汉字 杯 拼音 B E I 明码 1 4 8 秘钥 2 倍多 1 密码 03 09 17 杯，拼 音：BEI 。B，明 码为 1，根 据秘 钥“2 倍多 1” ，密码 为 12 13 ，保留 两 位为 03 ；E，明 码 为 4，密 码 为 4219， 保 留两位 为 09 ；I，明 码 为 8，根 据 秘 钥“2 倍多 1”，密 码为 82117 。“ 杯” 经加 密转换 后的结 果为“030917”. （15 ） 某部落有好人 和坏 人这两类人 ，且 好人永远 说真话 ， 坏人 永远说假话 ，每人都知道 其他人
17、分别是 什么类型 。 在今天的一次 聚会上， 每 人 都要说出其 他 人 分别 是 什么类型，全 部人 总共说了 60 次“ 坏人” 。 在昨天一次相同的聚会 上， 有一 人缺席， 使得所 有人 总共说了 48 次“ 坏人” 。则参加今天 聚会的 坏人 有_ 名. 【答案】5 或 6 【对应讲次】四年级 寒假 第七讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 逻辑 推理 设在 参加 今天 聚会 的人 中，坏 人 有 m 人， 好人 有 n 人， 则每个 坏人 会说 n 次“ 坏人” ， 共 mn 次， 每个 好人 会说 m 次“坏人”，共 mn 次， 今天 共说 2 60, mn = 30 则mn =
18、 。 昨天有 一人 缺席 ，分 两类 情况讨 论： 若 缺席 者是 坏人 ，则 2( 1) 48, ( 1) 24 mn mn = = ， 根据 30 ( 1) 24 mn mn = = ，解得 5 6 m n = = 若 缺席 者是 好人 ，则 2 ( 1) 48, ( 1) 24 mn mn = = ， 根据 30 ( 1) 24 mn mn = = ，解得 6 5 m n = = 综上， 参加 今天 聚会 的坏人 有 5 或 6 名. （16 ）如图，除法算式 的 商是一个纯循环小数 ， 且 被除数和除数互质， 则被 除数是_. 【答案】14 【对应讲次】五年级 暑假 第六讲 【难度系数
19、】 【分析 】 考点： 数字 谜， 循环 小数 化分数 第 6 页 共 9 页 2015 第十三届学而思综合素质 测评数学五升六 设商为 3 3 0. 3 999 3 37 999 两位数被除 数 ， = 两 位数 除数 AB AB = = ，999 的两 位数 约 数仅有 27 和 37，则 3 AB 是 27 的倍 数或 37 的 倍 数（ 且至少 10 倍） 。 若 3 AB 是 27 的倍 数： 27 的 10 倍开 始的 三位 数依次 是 270,297,324,351,378,405,432,459,486,513,540,567, 594,621,648,675,702,729,
20、756,783,810,837,864,891,918,945,972,999 符 合 十位 数字为 7 的有 270,378,675 和 972 这 4 个， 270 10 378 14 675 25 972 36 999 37 999 37 999 37 999 37 ， ， ， = = = =037=0 ，不 符；837=296 ，符合 ；537=185 ，不 符；237=74 ， 不符. 若 3 AB 是 37 的倍 数： 37 的 10 倍开 始的 三位 数依次 是 370,407,444,481,518,555,592,629,666,703,740,777, 814,851,88
21、8,925,962,999 符 合 十位 数字为 7 的有 370,777 这 2 个， 037=0 ，不 符； 777 7 0.7 999 9 = = ， 不符 综上， 被除 数只能是 14.二、 解答题（每题 10 分，共 40 分） （17 ）若 n 位数（ n 2 ）的各数位中至多含有两个 不同 的数码，则称为“ 好运 n 位数”。 1. 求 “ 好运两位数” （如 55 、10 ）共有几个？ 2. 求 “ 好运三位数” （如 555 、110 和 313 ）共有几个 ？ 【答案】90 ，252 【对应讲次】五年级 寒假 第六讲 【难度系数】 , 【分析 】 考点： 计数 原理 ，排
22、列组 合 1. 只要 是两 位数 ， 至 多含有 两 个不 同的 数码， 所以 所有 两 位数 均为“ 好 运两 位数” ， 共 90 个. 2. 法一 ： （排 除法 ）三 位数 共 900 个， 其中 只有 三个 数 码均 不同 的三 位数 不是“ 好 运三位 数” ，共 9 9 8 648 = （个） ，所 以“好运 三位 数” 共 900 648 252 = （个） ； 法二： （正 面分 类）“ 好运 三位数”至多 含有 两个 不同数 码 ： （1）仅 含有 一个 数码 ，从 111 到 999 ，共 9 个； （2）含 有两 个数 码 含 0 和 另一 个数 字， 选数 字共 9
23、种， 不妨 设选了 0 和 1 ： （A ） 含有 2 个 0 ，1 个 1 ，仅 100 这 1 个； （B ） 含有 1 个 0，2 个 1 ，有 110,101 这 2 个； 共 9 (1 2) 27 += （ 个） 不含 0， 选数 字共 2 9 36 = C 种， 采 用排除 法， 每一 位都 有 2 种选法 ， 根据 乘法 原理， 共 3 28 = （个） ， 但要 减去 仅 用一个 数字 的两 个数， 可以 组成826 = （个） 共 36 6 216 = （个 ） 综上，“好运 三位 数” 共 9 27 216 252 += （个）. 第 7 页 共 9 页 2015 第十三届
24、学而思综合素质 测评数学五升六 （18 ）有一个足够深的水 槽，底面是长为 20 厘米，宽为 16 厘米的长方形 ，原本在水槽里 盛有 10 厘米深的水和 10 厘米深的油 （油在水 的上 方） ， 如果在水槽中放 入一 个长、 宽、 高 分别为 8 厘米、8 厘米、20 厘米的铁块 。 （8 厘米8 厘米的面与水槽底 面接触 ） 问： 1. 放入铁块之后，水 层的层高是多少厘米 ？ 2. 放入铁块之后，油层的 层高是 多少厘米？ 【答案】12.5 ，11.5 【对应讲次】五年级 暑假 第十四讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 立体 图形 1.铁 块放 入后 ， 水层 底面 积呈“ 回” 字
25、形， 底 面积 为 20 16 8 8 256 = （平 方厘米 ） ， 水层的 体积 不变 ， 为 20 16 10 3200 = （立方 厘米） ， 水层 后来 的高 为 3200 256 12.5 = （厘米 ） 。 2.法 一： 20 厘米 高的 铁块有 12.5 厘米 在水 层， 另 7.5 厘米 在油 层， 导致 油层 被 占用 体积 8 8 7.5 480 = （ 立方厘米 ） ，高会上升 480 20 16 1.5 ( )= （ 厘米） ，则油层 的 高是 10+1.5=11.5 （ 厘米 ）. 法二： 放入 铁块 后， 总体 积 增加到 20 16 (10 10) 8 8 2
26、0 7680 = + + （立 方厘 米） ， 总高为 7680 (20 16) 24 = （厘 米） ，油 层高 24 12.5=11.5 （厘 米）. （19 ）对于 非零 自然数 n ，规定 12 ！ nn = 。则乘积 3! 4! 5! 6! 的所 有因 数中，是 完全平方数的共有 几 个？ 【答案】36 【对应讲次】五年级 春季 第二讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 分解 质因 数， 完全 平方数 11 5 2 3! 4! 5! 6! =321 4321 54321 654321 = 322232522322352232 =2 3 5 （ ） （ ） （ ） （ ） 作为其 因数
27、， 则质 因 数 2 、3、5 的指 数须 分别 小于或等于 11 、5 、2； 作为完 全平 方数 ，则 质因 数 2、3、5 的指 数须 为 偶数 ： 2 的指 数有 0,2,4,6,8,10 这 6 种可 能， 3 的指 数有 0,2,4 这 3 种可能 ， 5 的指 数有 0,2 这 2 种 可能。 所以因数 中是 完全 平方 数的 个数 共有 6 3 2=36 （ 个）. 水 油第 8 页 共 9 页 2015 第十三届学而思综合素质 测评数学五升六 （20 ）豌豆射手每 4 秒钟发出一发炮弹，炮弹 速度 为 12 米/ 秒，僵尸的速度 为 4 米/ 秒。 1. 若僵 尸准备攻 击，
28、迎着豌豆 射手走， 从第一发 炮弹击 中僵尸起 ， 每隔几 秒僵尸 就会 被炮弹击中一次？ 2. 若僵 尸准备逃 走，背向豌豆 射手走， 从第一发 炮弹击 中僵尸起 ，每隔几 秒僵尸 就会 被炮弹击中一次？ 3. 当僵 尸出现在 豌豆射手的射 程之内时 ，射手就 会发炮 攻击。已 知 八发炮 弹可以 消灭 一个僵尸，那么射程 大于 多少米，就可以保证 豌豆 射手不受攻击 ？ （ 注意 ：僵尸只有 当接触到豌豆射手时 才能 攻击） 【答案】3 ，6 ，112 【对应讲次】五年级 暑假 第十一讲 【难度系数】 【分析 】 考点： 行程 问题 （发 车间 隔） 每 4 秒钟 发出 一发 炮弹 ，炮
29、弹 速度为 12 米/秒 ，则相 邻 两发 炮弹 的间 距为 48 米。 1. 炮弹 和僵 尸做 相遇 运动， 路 程和 48 米， 速度 和为 12 416（ 米/ 秒） ，所 以相 遇时间 为 4816=3 （ 秒） ； 2. 炮弹 和僵 尸做 追及 运动， 路 程差 48 米， 速度 差为 124 8 （ 米/ 秒） ， 所 以追及 时 间为 488 6 （秒） ； 3. 考虑 极端 情况 ， 从 僵尸进 入 射程 开始 到僵 尸碰 到豌 豆， 豌豆 刚好 发出 8 发炮 弹， 其所用 时间 为 4 （81 ） 28 （ 秒） ， 即僵 尸走 了 28 秒， 因此 此时 射程 为 284 112（ 米） ， 所以 射程 应该大 于 112 米. 第 9 页 共 9 页 2015 第十三届学而思综合素质 测评数学五升六
