1、第3章 非稳态热传导,3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析法-集中参数法 3.3 典型一维问题非稳态导热的分析解 3.4 半无限大物体的非稳态导热 3.5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解,3.1 非稳态导热的基本概念,3.1.1 非稳态导热过程的类型及特点 3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律 3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响,返回,非稳态导热：物体内的各点温度随时间而变化的过程。 稳态导热：物体内各点温度随时间而温度不变的过程。 非稳态导热的分类： 按随时间推移，导热体温度的变化特性分为周期性变化和趋于恒定值两种情况。前者包括房屋的屋顶和墙壁
2、等内的温度变化情况，后者如投入恒温流体中的物体温度变化情况。本教材只研究第二种非稳态导热情况 非稳态导热也有一维和多维之分。对于非稳态导热问题，即使是一维问题，问题的求解也相当麻烦，多维更加复杂。 本部分的学习重点是更简单的所谓0维非稳态导热情况的求解,3.1.1 非稳态导热过程的类型及特点,一复合平壁，左侧为金属壁，右侧为保温层，层间接触良好，两种材料的导热系数、密度及比热容均为常数，初始温度为t0。在某一时刻，复合壁面左侧表面温度突然升高到t1，并保持不变，而右侧仍与温度为t0的空气接触。 试根据常识定性分析复合壁内温度分布随时间的变化特性。,看出非稳态导热过程的温度分布可分为两种类型（以
3、金属壁为例）： 在边界温度刚开始影响金属壁时的温度分布，如曲线P-B和P-C所示。这时，温度分布受导热体中初始温度的影响比较明显，称为非稳态导热的非正规状况阶段； 当过程进行一定时间后，导热体中温度分布主要受边界条件影响，如P-D，P-E，P-F，P-G等曲线所示，该阶段称为非稳态导热的正规状况阶段,复合壁内温度变化过程： 首先，金属壁中左侧部分温度很快升高，其余部分仍保持原来温度不变，如曲线P-B-L 随时间推移，受左侧高温影响的区域范围逐渐向右侧扩大，如P-C-L，P-D-I-L，P-E-J-L，P-F-K-L，P-G-L等曲线所示 当时间足够长时，复合壁中温度分布达到稳态时分布（P-H-
4、M曲线） ，并不再随时间变化。,周期性非稳态导热过程不存在正规状况阶段和非正规状况阶段的划分。 正规状况阶段导热体中温度分布随时间变化的关系要比非正规状况阶段简单的多，也是工程上非稳态导热经常应用的阶段，在后面会有简单介绍。 另外，对于非稳态导热情况，左右两侧壁面的导热量并不相等。两者之差为金属壁中用来升温所储藏的能量。当到达稳态后，两侧壁面的导热量相同。,返回,3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律,导热微分方程和单值性条件（初始条件和边界条件）构成了非稳态导热问题的数学描述 数学上可以证明，如果某一个函数 t (x,y,z,) 满足导热微分方程及一定的初始和边界条件，则此函数就是这一特定导
5、热问题的唯一解。或者说，不可能同时存在两个都满足同一导热微分方程及单值性条件的不同解。,返回,3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响,设有一块厚为2的金属平板，平板材料的导热系数为，初始温度为t0，突然将它置于温度为t的流体中进行冷却，表面传热系数为h。下面分析平板内部导热热阻和表面的对流传热热阻相对关系不同时，平板中温度场变化的特点,定义Bi特征数（表征某一物理过程特征的无量纲数，也称准则数）：, 称为特征长度，对于不同情况有不同的规定，如厚度、半径等。,物理意义：Bi数反映了内部导热热阻与表面对流热阻之比。,(1) Bi时，内部导热热阻起决定作用，外部表面对流热阻可忽略，
6、故twt，实际成为第一类边界条件问题 (2) Bi0时，内部导热热阻可忽略，内部温度趋于一致，随时间进展温度同时变化。温度随时间变化关系主要受对流过程影响 (3) Bi数为有限大小时，内外热阻共同起作用，两者都不能忽略,本章将要介绍Bi数趋于0的所谓0维非稳态导热问题、典型一维非稳态导热问题、半无限大物体的非稳态导热问题的分析解法及简单形状物体多维非稳态导热的乘积解法。 其中学习重点是0维非稳态导热问题的分析解法-集中参数法。 对于一维非稳态导热问题及半无限大物体的非稳态导热问题，仅要求掌握其数学模型及结果的应用即可，对求解过程不作要求。 对简单形状物体多维非稳态导热的乘积解法，仅作了解即可。
7、,返回,3.2 零维问题的分析法-集中参数法,当Bi0时，导热热阻极小，任何时刻物体内部温度都趋于一致。这时t=f(x,y,z, ) 中的空间坐标可认为不再起作用，温度场变为t=f()，导热变成零维问题。 处理0维非稳态导热问题时，由于内部温度均匀，可以认为固体的质量和热容量均集中到一点上，因此整个固体的所有参数可由固体中某一点的温度来代表，这种处理问题的简化方法称为集中参数法（也称集总参数法）。 把实际导热问题可以近似看作0维问题处理的具体的Bi数要求后面会给出。工程上一些非稳态导热问题可以看作0维非稳态导热问题而采用集中参数法来处理，如测量流体温度的热电偶、水银温度计的等水银泡等。,1.问
8、题描述 一任意形状固体，初始温度为t0，突然置于温度为t的流体中。已知物体的体积V、表面积A、导热系数、密度及比热容c且均为常数，物体表面与流体间的表面传热系数h也已知且为常数。 假设该物体的非稳态导热满足看作0维非稳态导热的条件，要求确定导热体温度随时间变化的规律,该问题物理特点：0维、非稳态、常物性、无内热源、第三类边界条件导热问题,3.2.1 集中参数法温度场的分析解,2.数学模型,由于零维问题无边界条件，把边界的传热作为源项来处理,可用两种方法建立该问题的控制方程，一是采用折合源项，根据导热微分方程简化得到，二是根据热力学第一定律重新建立导热体温度的控制方程得到。这里采用第一种方法,代
9、入方程,3.求解,温度随时间变化规律：,分离变量法求解：,导热体表面某一时刻单位时间传热量计算：,导热体表面在0-时刻总传热量计算：,当为无穷大时，导热体与周围流体总传热量为：,4.Fo特征数,定义：特征尺寸,温度随时间变化规律,Fo特征数物理意义：与过程进行时间成正比，可以看为表征非稳态导热过程进行深度的无量纲时间。 Fo数越大，边界热扰动就越深入传播到物体内部，物体温度受边界热扰动影响区域就越大。,Fo特征数,故有：,一般认为当时间为4倍时间常数后，导热体的过余温度接近0，可以认为导热体已经与周围流体达成了热平衡。时间常数大，则热平衡时间越长，因此时间常数是反映非稳态导热时导热体温度变化快
10、慢的一个重要参数。 注意：时间常数不是导热体本身的一个固有属性，它和导热体与所处环境的换热条件有关。因此，时间常数对热电偶测温的反应速度有重要影响，但不是热电偶本身能够决定的指标,3.2.2 时间常数,3.2.3 集中参数法的适用范围及应用举例,半径为R的球体，取,半径为R的圆柱，取,厚度为2的平板，取,则当,时，物体中最大与最小温度之差小于5%,此时，可以认为导热为0维导热问题，能够应用集中参数法进行求解,如果采用V/A作为特征长度，则,平板BiV = Bi M=1 圆柱 BiV = Bi/2 M=1/2 球 BiV = Bi/3 M=1/3,几点说明： 前述有关结果对于t0t的情况也适用。
11、此时物体初始过余温度及任意时刻的过余温度为负值 公式中各物理量计算时均采用国际单位制 对于导热体的边界换热条件比较复杂的0维非稳态导热的其它情况，一般需要根据热力学第一定律来建立温度的控制方程。该方法也应当掌握。,例题3-2 一温度计的水银泡呈圆柱状，长20mm，内径为4mm，初始温度为t0，今将其插入到温度较高的储气罐中测量气体温度。设水银泡同气体间的对流表面传热系数h=11.63W/(m2.K)，水银泡一层薄玻璃的作用可忽略不计，试计算此条件下温度计的时间常数，并确定插入5min后温度计读数的过余温度为初始温度的百分之几、水银物性参数如下：,解:首先检验是否可用集总参数法。考虑到水银泡柱体
12、的上端面不直接受热，故,可以用集总参数法,即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%。也就是说，在这段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%,返回,时间常数为,3.3 典型一维问题非稳态导热的分析解,本节简要介绍大平板、圆柱与球三种形状固体在第三类边界条件时的一维非稳态导热温度场的分析解法，重点是问题的物理和数学描述及解的应用方法，求解过程不要求掌握。 一维假定对于平板来说指温度仅沿厚度方向变化；对圆柱和球温度则仅沿半径方向发生变化,3.3.1 三种几何形状物体温度场的分析解 3.3.2 非稳态导热正规状况分析解的简化 3.3.3 非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法 3
13、.3.4 分析解应用范围的推广及Fo数和Bi数对非稳态导热过程影响的讨论,返回,数学描述,3.3.1 三种几何形状物体温度场的分析解,物理描述（以大平板为例）直角坐标系下一维、非稳态、常物性、无内热源、两侧第三类边界条件导热问题。根据对称性，取平板一半进行研究,采用分离变量法进行求解，可得采用无穷级数形式表示的分析解结果,返回,3.3.2 非稳态导热正规状况分析解的简化,研究表明，当Fo数大于0.2以后，非稳态导热进入正规状况阶段，初始条件的影响基本消失。此时，一维非稳态导热问题无穷级数分析解中第二项及以后各项可以忽略不计，这时分析解的形式可以得到很大简化。,圆柱：,平板：,球体：,返回,知道
14、了导热体温度分布，导热体在从开始到某一时刻与流体的换热量也容易求出。,3.3.3 非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法,即使在正规状况阶段，分析解的结果比较简单时，其计算过程由于涉及Bessel函数的计算，也不太方便。 工程上为了方便，曾经广泛采用Heisler等人提出的诺模图(nomogram)法。下面以无限大平板的一维非稳态导热为例简要介绍该方法： 首先，根据公式3-25给出m /0随Fo及Bi数变化的曲线（此时x/=0），如图3-7所示； 随后，再根据公式3-28确定 /m之值随Bi数变化的曲线，如图3-8所示。 平板中任意一点的值便为：,公式3-25：,公式3-28：,返回,3.3.4
15、 分析解应用范围的推广及Fo数和Bi数对非稳态导热过程影响的讨论,分析解的应用范围： 前面有关分析解结果对于物体被加热和被冷却情况均适用。 除平板两侧均为第三类边界条件外，以下两种情况也均适用：（1）平板一侧绝热，另一侧为第三类边界条件；（2）平板两侧面均为第一类边界条件且维持在相同的温度。,Fo数对一维非稳态导热过程的影响： 物体中各点过余温度随增加而减小。由于Fo数与正比，所以物体中各点的过余温度亦随Fo数的增加而减小。,Bi数对一维非稳态导热过程的影响： Bi数越大，表面换热强度越高；当Bi数趋于无穷大时，表面对流传热条件相当于第一类边界条件。 Bi数越小，内部导热热阻也相对越小，内部温
16、度也越均匀；当Bi数趋于0时，可以忽略内部导热热阻，认为固体内部是均匀的。,返回,3.4 半无限大物体的非稳态导热,半无限大物体是指从x=0的界面开始可以向正向以及上下方向上无限延伸，而在每一个与x坐标垂直的截面上温度均相等的物体。半无限大物体相当于是一个一侧方向厚度为无穷大的大平板。 尽管自然界实际上不存在真正的半无限大物体，但也有不少导热问题可近似看作半无限大物体的导热问题。如一块有限厚度的平板，当一侧表面突然被加热，在短时间内当边界条件的影响尚未深入到平板内部中去时，可以近似作为半无限大物体的导热问题处理。,3.4.1 三种边界条件下半无限大物体温度场的分析解 3.4.2 半无限大物体导
17、热量的计算式 3.4.3 半无限大物体分析解的讨论例题,返回,3.4.1 三种边界条件下半无限大物体温度场的分析解,有一半无限大物体，常物性且无内热源，初始温度均匀为t0。在某一时刻，x=0的侧面突然收到热扰动，试确定物体内温度分布随时间变化规律。 本节分析的热扰动可以包括三种情况：（1）表面温度突然变化到tw，并保持恒定不变；（2）表面受到恒定的热流加热；（3）表面与温度为t的流体进行对流传热。 下面主要介绍第一类边界条件时的分析解结果。,第一类边界条件下半无限大物体非稳态导热的数学描述,温度场的分析解为：,称为误差函数，其数值可在书末附录中给出,返回,3.4.2 半无限大物体导热量的计算式
18、,根据前面温度分布的求解结果，在第一类边界条件下，从初始时刻到某一指定时刻半无限大物体表面与外界的换热量为：,从公式中可以看出，半无限大物体在0-时间内的总导热量与,成正比。,称为吸热系数，其大小代表了物体向与其接触的高温物体吸热的能力,思考题：冬天为何手接触木制门和金属制的把手冷热感觉不同？,返回,3.4.3 半无限大物体分析解的讨论,误差函数随自变量的变化趋势如图所示，可知，自变量越大，误差函数值也越大。,这表明，当,时，可以认为该x处的温度仍然保持初始温度不变。,（1）从几何位置上说，在时刻，对于,区域，可以认为这些区域的温度,保持初始温度不变，即该区域尚未受到边界条件的影响,（2）从时
19、间上说，在x位置处，当,时，可以认为x处位置的温度,仍保持初始温度不变，即此时该位置尚未受到边界条件的影响,也叫惰性时间,返回,返回,3.5 简单几何形状物体多维非稳态导热的乘积解法,在多维非稳态导热问题中，几种简单几何形状物体的分析解，可以用几个相应的一维非稳态导热的分析解相乘得到，这种求解多维非稳态导热问题的方法称为乘积解法。 这几种简单几何形状的物体包括矩形截面的二维长柱体、短圆柱体以及立方体。如图所示。,假定三种物体的初始温度都是均匀的，记为t0，然后在某一时刻与温度为t的流体发生对流传热，表面传热系数为h。下面介绍如何采用乘积解法求导热体内温度分布,矩形截面的长柱体可以看作为两块不同
20、厚度的大平板相贯得到的，从而可根据两块大平板的分析解结果得到长柱体内的温度分布规律 对于长柱体内某点(x,y)，其温度与时间关系为：,短圆柱体可以看作为由一块大平板和一个长圆柱相贯得到的，从而可根据大平板和长圆柱的分析解结果得到短圆柱体内的温度分布规律 对于短圆柱体内某点(x,r)，其温度与时间关系为：,立方体在三个坐标方向温度均变化，可以看作为由三块厚度不同的大平板相贯得到的，从而可根据三块大平板的分析解结果得到立方体内的温度分布规律 对于立方体内某点(x,y,z)，其温度与时间关系为：,乘积解法只适用于下列情况：物体初始温度均匀；周围介质温度均匀；表面传热系数均匀；常物性；没有内热源。 对于第一类边界条件情形，可以看成是表面传热系数为无穷大时的一个特例，因此也是适用的。 上述三种多维非稳态导热过程从初始时刻到任意时刻的导热量也可以采用类似求解温度分布的乘积解法的模式得出，书中有介绍，了解一下即可。,返回,第三章 思考题及习题作业,思考题：2，6，8，9（不交） 习题：3-12，3-15，3-18，3-51,返回,
