1、1数列A、等差数列知识点及例题一、数列由 与 的关系求naSna由 求 时，要分 n=1 和 n2 两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为 。1()2nnaS例根据下列条件，确定数列 的通项公式。na分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用 与 的关系求解。naS解答：（1）（2） 累乘可得，故（3）2二、等差数列及其前 n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义， ，第二种是利用等差中项，即 。1()2nadn常 数 12(2)nna2、解选择题、填空
2、题时，亦可用通项或前 n 项和直接判断。（1）通项法：若数列 的通项公式为 n 的一次函数，即 =An+B,则 是等差数列；n nan（2）前 n 项和法：若数列 的前 n 项和 是 的形式（A，B 是常数），则 是等差数列。aS2nna注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例已知数列 的前 n 项和为 ，且满足anS11120(2),nnSaA（1）求证： 是等差数列；1nS（2）求 的表达式。a分析：（1） 与 的关系 结论；1120nnSSAn1S（2）由 的关系式 的关系式nnna解答：（1）等式两边同除以 得 - +2=0，即 - =2（n2）. 是
3、以 = =2 为首1nSAnS1nS1nS1a项，以 2 为公差的等差数列。（2）由（1）知 = +（n-1）d=2+(n-1)2=2n, = ,当 n2 时， =2 = 。又1nSn1na1n2()3 ，不适合上式，故 。12a1(1)22()nna【例】已知数列a n的各项均为正数，a 11.其前 n 项和 Sn满足 2Sn2pa a np(pR)，则a n的通项公式为_2na 11，2a 12pa a 1p，21即 22p1p，得 p1.于是 2Sn2a a n1.2n当 n2 时，有 2Sn1 2a a n1 1，两式相减，得 2an2a 2a a na n1 ，整理，得2n 1 2n
4、 2n 12(ana n1 )(ana n1 )0.12又a n0，a na n1 ，于是 an是等差数列，故 an1( n1) .12 12 n 12（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式 = +（n-1）d 及前 n 项和公式 ，共涉及五个量na1 11()()22nnaSd， ，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；annS2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们1a表示已知和未知是常用方法。注：因为 ，故数列 是等差数列。11()22nSddanS例已知数列 的首项 =3，通项 ，且 ， ， 成等差
5、数列。nx(,)nxpqNp为 常 数 1x45求：（1） 的值；,pq（2）数列 的前 n 项和 的公式。xnS分析：（1）由 =3 与 ， ， 成等差数列列出方程组即可求出 ；（2）通过 利用条件分成两个可14x5 ,pqnx求和的数列分别求和。解答：（1）由 =3 得 1x23pq4又 ，得 451542,2,2xpqxpqx且 55328pq由联立得 。1（2）由（1）得 ，nx（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为 d，若 d0,则数列递增；若 d0,d0,且满足 ，前 n 项和 最大；10nanS（2）若 a10，且满足 ，前 n 项和 最小；10nan（3）除上
6、面方法外，还可将 的前 n 项和的最值问题看作 关于 n 的二次函数最值问题，利用二次函数S的图象或配方法求解，注意 。N例在等差数列 中， ，其前 n 项和为 。na16718936an（1）求 的最小值，并求出 取最小值时 n 的值；nSnS（2）求 。12T7分析：（1）可由已知条件，求出 a1,d,利用 求解，亦可用 利用二次函数求最值；10nnS（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，n1d，179671871736,2,3,aaa9 1()36,360n nadaA令 10,:2,n n得，当 n=20 或 21 时， 最小且最小值为
7、-630.206(3)60SnS（2）由（1）知前 20 项小于零，第 21 项等于 0，以后各项均为正数。 2(63)13.2nnSn当 时 ， T221 121 160.3().602nn SnT当 时 ，综 上 ，例已知数列 是等差数列。na（1）若 ,(),;mmna求（2）若 .nSS求解答：设首项为 ，公差为 ，1ad（1）由 ，,mn1mn ()()0. （2）由已知可得 解得12,()adnm21 .()nmna1() ()2mn nSadn【例】已知数列a n的各项均为正数，S n为其前 n 项和，对于任意的 nN *，满足关系式 2Sn3a n3.8(1)求数列a n的通项
8、公式；(2)设数列b n的通项公式是 bn ，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正整数 n，总有 TnSn，得1526，562log14.9，最小正整数 n15【其他考点题】1、设 an （ nN *）是等差数列， Sn是其前 n 项的和，且 ， ，则下列结论错误的是（C）56S78SA.d0 B.a70C.S9 S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值解析：由 S50，又 S6=S7， a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7， a7=0，由S7S8，得 a8S5，即 a6+a7+a8+a902（ a7+a8）0，由题设 a7=0， a80，显然 C 选项是错误的。2、 （C）limn2
9、n(A) 2 (B) 4 (C) (D)0213、已知 a、b、c 成等比数列，a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列，且 xy0，那么 的值为（B ） 。ycxa（A）1 （B）2 （C）3 （D）44、已知等差数列 n的前 项和为2(,),nSpqRnN（）求 q 的值；（）若 a1与 a5的等差中项为 18，b n满足 2lognab，求数列的b n前 n 项和。()解法一：当 n时， 1Spq,当 2时,22(1)()S q 2p.na是等差数列, pqp, 04 分解法二：当 1时, 12a,13当 2n时,221(1)()nnaSpqpnq2pm.当 3时, 1.232pq.又 ap,所以 3,得 0q.4 分()解：1532a, 318.又 36ap, 62p, 4p 86na8 分又 2lognnb得43n.1,(1)414326nn,即 nb是等比数列。所以数列 nb的前 项和(1)2(61)5nnT.
