1、 Copyright reserved by 胡 涛 1如果要飞地高 ， 就该把地平线忘掉 ！“猫吃耗子”故事精析 一生动故事引入，激起孩子的兴趣。 同学们，大家好！上课之前我给大家讲一个“猫吃耗子”的故事：从前有只猫，抓了 50 只老鼠，有一天它想把这群老鼠吃掉，它把老鼠们排成一排，从 1 到 50 编了个号，从 1 号开始，吃 1 只，隔 1 只，一直从排头吃到排尾，第二天又从第一天剩余的耗子队伍的排头，吃 1 只，隔 1 只。这样一轮轮吃下去。里面有一只耗子在咱们学而思学过奥数呢，特别聪明，它站在一个固定的位置上没有被吃掉，请问：聪明的小朋友们，你们知道这只聪明的耗子站在哪个位置上没有被
2、吃掉么？ 我们不妨来做一个简单的罗列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 。46 47 48 49 50 第一次留下的耗子序号（ 的倍数） ： 2 4 6 8 。46 48 50； 1246第二次留下的耗子序号（ 的倍数） ： 4 8 12 16 。 40 44 48 ； 22第三次留下的耗子序号（ 的倍数） ： 8 16 24 32 40 48 32第四次留下的耗子序号（ 的倍数） ： 16 32 48 42第四次留下的耗子序号（ 的倍数） ： 32 52所以最后留下的是站在 32 号位置上的耗子。 我们总结下：按照上述的这种规律，最后 留下的那只耗子的位置是最接近耗子只
3、数的 2的乘方数。这样我们就么没有必要一个一个划数了，再举个例子： 如果有 2000 只耗子排成一排，仍然是从 1 号开始，吃掉 1 号，保留 2 号。 。这样吃下去，最后保留的是第 1024 号耗子。（因为最接近 2000 的 2 的乘方数是 ）大家是不是都学会了呢？ 102102=（附： 122=224=328=421= 5232= 6264= ） 7212= 8 62 48225=9251=102102=二深入讲解： 这只耗子凭借自己的聪明才智逃过了一劫。然而耗子尽管很聪明但是很倒霉，第二次，它又被抓住了，这一次猫王仍然抓到了 50 只耗子。猫王就想：小样儿，上次我把老鼠排成一排没有能把
4、你吃掉，今天我换种吃法，一定得把你给干掉。于是它这次改变了吃耗子的策略： 它把 50 只耗子围成一圈，从 1 号开始，保留 1 号，吃掉 2 号，保留 3 号，吃掉 4 号。 这么一轮轮吃下去，猫王就想，我到学而思基础班去学了奥数，学到了很多制胜之道，我Copyright reserved by 胡 涛 2如果要飞地高 ， 就该把地平线忘掉 ！就不相信这次我收不了你。可是这只小老鼠也没有闲着，聪明的它也到学而思的精英班进修了一把，然后这只耗子呢又站在一个固定的位置上没有被吃掉，同学们，你们知道这一次这只聪明的耗子站在哪个位置上没有被吃掉么？ 这样吃下去，最后一只没有被吃掉的是谁呢？第二轮开始吃
5、的是1号5049484746654321我们不妨从最简单的情况开始讨论，当耗子只数为 2 ， 4 ，8 。时 当耗子只数为 2 时，保留 1 号，吃掉 2 号，最后保留的是 1 号。 211当耗子只数为 4 时，保留 1 号，吃掉 2 号，保留 3 号，吃掉 4 号，又变成了 2 只的 情况： 1314321当耗子只数为 8 只时，可以变成 4 只的情况，继而变成 2只的情况。 我们可以总结出规律： 在圆周上吃耗子，当耗子只数是 2 ， 4 ，8 。 。也就是 时，如果是从 1 号开始，保留 1 号吃掉 2 号，隔一只吃一只时，最后保留的始终是 1 号位置的耗子，但是现在给出的耗子只数不是 ，
6、那么我们可以把它变成 时的特殊形式。首先找出最接近耗子只数 502n2n2nCopyright reserved by 胡 涛 3如果要飞地高 ， 就该把地平线忘掉 ！的 2 的乘方数 2 ，先把 32只耗子之外的吃掉，每吃一只耗子需要往前移动 2 个位置，那么吃掉 32 只耗子之外的最后一只时移动了532=5(50 2 ) 2 36 = （个）位置，那么下一个位置就应该是不会被吃掉的位置，即 36+1=37 号。 我们可以再举个例子，如果有 2000 只耗子，按照上述的吃法，先保留后吃，那么最后一只不会被吃掉的耗子应该是在 。 10(2000 2 ) 2 1 1953+=当然我们还应该考虑另
7、外一种特殊情况，如果是先吃后保留呢？我们通过图示可以发现，此时如果是先吃后保留是把位置往前移了一位，那结果就不需要加 1了。总结的规律： 先吃后保留，不需加 1 先保留后吃， 需加 1 大家现在会了么？同学们接着可以算算，如果有 1000 只耗子，从 1 号开始，先吃后保留，最后剩下哪只耗子没有被吃掉呢？ 结果呢，耗子再一次逃离了猫王的魔爪。 其实猫和耗子的故事还没有完，上文提到这只耗子尽管很聪明但是很倒霉，第三次它又被猫王抓住了！ ！这一次，猫王仍然是抓了 50 只耗子，它就想：上次把耗子们围成一个圆圈，隔一个吃一个，没有把那只精明的耗子给吃掉，肯定是因为吃的密度过小，于是它又改变了耗子的策
8、略： 隔一只吃两只，其他的条件不变。 但是这只聪明的耗子，还是站在一个固定的位置上没有被吃掉，同学们，你们知道是哪个位置上么？ 推导过程和隔一只吃一只是一样的，不过此时再不是 2 的乘方数，而是 3 的乘方数。 举个例子： 现在有 21 只耗子围成一圈， 保留 1 号， 吃掉 2， 3号， 保留 4 号，吃掉 5， 6号。 。 问：最后保留的那只耗子是哪个位置呢？ 我们通过推导发现：当耗子只数是 3 时，从1 号开始，保留1 号，吃掉2 ， 3 号。 。 n最后保留的始终是 1 号耗子。 所以先从 21 只耗子里面吃掉239= 只耗子，每吃掉 2 只耗子往前移动 3 个位置，所以最后一个被保留的耗子位置是2(21 3 ) 2 3 1 19 += 。 文尾给大家留到题目做为练习： 将12007 按照顺时针的方向围成一圈，从 1号开始，保留 1，划去 2，3，保留 4，划去5，6.。 。问：最后一个被保留的数是_?
