1、-_微积分试题集一季一、计算下列极限：（每题 5 分，共 10 分）4若 时, 是等价无穷小,求常数 的值.0x21sinkxx与 k5. 设 在 处连续，求 的值.sin2si,0,()3,1sinxbxfa ,ab二、导数与微分：（每题 5 分，共 25 分）1. 设 求 sin,xy2.xdy2求由方程 所确定的曲线 在 处的切线方程. yxe()yx03利用微分近似计算,求 的近似值. 380244设 求 2210,sin,()l)xfx().fx-_5. 求曲线 的拐点.523()fxx三、计算下列各题：（每小题 8 分，共 16 分）1. 设某商品的价格 与需求量 的关系为 ,PQ
2、280P(1) 求 时的需求弹性,并说明其经济意义.4（2）求当价格 为何值时,总收益 最大？并求出此时的需求价格弹性 . RdE2. 设 为 的原函数,且 ,已知 求()Fxf ()()1Fxf2(),e()0,Fx().f四、证明题：（每小题 5 分，共 10 分）1. 当 时, 证明： .0x(1)lnarctnxx2. 设 )(xf连续且 ，试证明 是 的极小值点。()lim8xafax)(f-_二季一、填空题（每小题 4分，本题共 20分）函数 的定义域是 2)ln(1)xxf若函数 ,在 处连续，则 0,3si)(xkf k曲线 在点 处的切线方程是 xy)1,( sd)in(微分
3、方程 的阶数为 xyxysin453二、单项选择题（每小题 4分，本题共 20分）设 ，则 （ ）1)(2xf )(xfA B 2C D)2(x)1(x若函数 f (x)在点 x0 处可导，则( )是错误的 A函数 f (x)在点 x0 处有定义 B ，但Afx)(lim0 )(0xfC函数 f (x)在点 x0 处连续 D函数 f (x)在点 x0 处可微 函数 在区间 是（ ） 21y),(A单调增加 B单调减少C先增后减 D先减后增 （ ）xfd)(A. B. ccxf)(C. D. xf)(211下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）A. ； B. ； ydyxdC. ； D. xx
4、sin)(-_三、计算题（本题共 44分，每小题 11分）计算极限 4586lim24xx设 ，求 .xyx3sin2yd计算不定积分 xdcos计算定积分 xdln51e四、应用题（本题 16分）欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？-_微积分初步期末试题选（一）1填空题（1）函数 的定义域是 )2ln(1)xf（2）函数 的定义域是 24)l()xf（3）函数 ，则 72xf )(f（4）若函数 在 处连续，则 0,13sin)(xkf k（5）函数 ，则 xf2)1()(f（6）函数 的间断点是 32y（7） xx1sinlm（8）若 ，则 2i40
5、k2单项选择题、（1）设函数 ，则该函数是（ ） 2exyA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数（2）下列函数中为奇函数是（ ） A B C Dxsin2ex )1ln(2x2x（3）函数 的定义域为（ ） )5ln(4yA B C 且 D 且5xxx05x4（4）设 ，则 （ ）1)(2f )(fA B C D)2(x)1(2x-_（5）当 （ ）时，函数 在 处连续.k0,2)(xkexfxA0 B1 C D 3（6）当 （ ）时，函数 ，在 处连续.k0,1)(2xkxfA0 B1 C D （7）函数 的间断点是（ ）23)(2xfA B ,x3xC D无间断点13计算题（1
6、） 42lim2x（2） 329lim3xx（3） 4586lim24xx-_微积分初步期末试题选（二）1填空题（1）曲线 在 点的切斜率是 1)(xf)2,(（2）曲线 在 点的切线方程是 e0（3）已知 ，则 = xf3)()(f（4）已知 ，则 = ln（5）若 ，则 xfe)()0(f2.单项选择题（1）若 ，则 =（ ） fxcos)()(fA. 2 B. 1 C. -1 D. -2（2）设 ，则 （ ） ylgdyA B C Dxxln0ln10xd1x（3）设 是可微函数，则 （ ） )(fy)2(cosfA B d2cos 2inC Dxfin)( xfds)(c（4）若 ，其
7、中 是常数，则 （ ） 3saxA B C D2cox6inxsinxcos3计算题（1）设 ，求 （2）设 ，求 .xy12ey xy3cos4siny（3）设 ，求 . （4）设 ，求 .xy2e1y xxycoslny-_微积分初步期末试题选（三）1填空题（1）函数 的单调增加区间是 yx312()（2）函数 在区间 内单调增加，则 应满足 af ),0(a2单项选择题（1）函数 在区间 是（ ） 2)1(xy),(A单调增加 B单调减少C先增后减 D先减后增（2）满足方程 的点一定是函数 的（ ）.0)(xf )(xfyA极值点 B最值点 C驻点 D 间断点（3）下列结论中（ ）不正确
8、 A 在 处连续，则一定在 处可微.)(xf00xB 在 处不连续，则一定在 处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D函数的极值点一定发生在不可导点上.（4）下列函数在指定区间 上单调增加的是（ ） (,)A B C Dxsinxe2xx33应用题（1）欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（2）用钢板焊接一个容积为 4 的正方形的开口水箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问3m水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？微积分初步期末试题选（四）-_1填空题（1）若 的一个原函数为 ，则 .)(xf2lnx)(f（2）若
9、 ，则 csid（3）若 _oxc（4） 2e（5） xd)(sin（6）若 ，则 cFf)(xfd)32(（7）若 ，则 x)(1（8） ._)2cosin1（9） .e1d)l(dxx（10） = 022单项选择题（1）下列等式成立的是（ ） A B)(d)(xff )(d)(xffC Dx（2）以下等式成立的是（ ）A B )1d(ln)(cosdsinxxC D x3lx（3） （ ）fd)(A. B. cxcxf)(C. D. f)(211（4）下列定积分中积分值为 0 的是（ ） A B xxde1 xxd2e1-_C D xd)cos(3 xd)sin(2（5）设 是连续的奇函数
10、，则定积分 （ ） f axf-)A0 B C D 0-)(axf0d(0-)(2axf（6）下列无穷积分收敛的是（ ） A B 0dins1xC D1x02de3计算题（1） （2）xd)2(10 xd1sin2（3） (4)cxdxxe2e2 xxd)e4(22ln0(5) (6)xdln51e xde10(7)20dsinx微积分初步期末试题选（五）1填空题-_(1)已知曲线 在任意点 处切线的斜率为 ，且曲线过 ，则该曲线的方程是 .)(xfyx1)5,4(2)由定积分的几何意义知， = .xad02(3)微分方程 的特解为 . 1)(,y(4)微分方程 的通解为 .3(5)微分方程
11、的阶数为 xyxysin4)(7)(2.单项选择题(1)在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ） A y = x2 + 3 B y = x2 + 4 C D 1(2)下列微分方程中， （ ）是线性微分方程 A B yyxln2 xye2C De xylnsin(3)微分方程 的通解为（ ） 0yA B C Dxxyy0y(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）A. ； B. ； ydxdC. ； D. xxsin)(y三季一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题分，共计 10 分)1 _。10lim2x-_（A ） - （B ） + （C） 0 （D） 不
12、存在2当 时， 的极限为 _。x()xf（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D） 不存在 下列极限存在，则成立的是_。0()()lim)xfafax0()(lim(0)xftBtf02tttCf0)li(xfaD 设 f（x）有二阶连续导数，且 0()(),li1,()_xff ff 则 是 的 。（A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D） 不是极值点也不是拐点5若 则下列各式 成立。(),fg()0x()fxC()()()Cdfx()ddf二、 填空题（每小题 3 分，共 18 分）1. 设 ，那么曲线 在原点处的切0(2)()0(),lim1snxffxf在 处 可 导
13、， 且 ()yfx线方程是_。函数 在区间0，3上满足罗尔定理，则定理中的= 。()3fx3设 。1,()lnxfxd的 一 个 原 函 数 是 那 么4设 那么 2 阶导函数 (),xfe_在 点 取 得 极 值 。5设某商品的需求量是价格的函数 ，那么在的水平上，若价格52QP下降 1，需求量将 。6若 且 。,1),(xufy,)(ufdyx三、计算题（每小题 6 分，共 42 分）：1、 求 1ln()limxxe2、1()xx-_3、设 21,xaxcbx时 ， 无 穷 小 量 求 常 数 、 、 .4、 1(2)dxx5、 ln(2)xed6、 3cosinxd7、设函数 f(x)
14、具有二阶导数，且 f（0）=0, 又 ，求 。(0)()fxgx()gx四、应用题（8 分）1，假设某种商品的需求量 Q 是单价 P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数：C=2500+5Q。（1） 求边际收益函数和边际成本函数；（2） 求使销售利润最大的商品单价。-_五、 （12 分）作函数 的图形21()xy六、证明题（每题 5 分，共计 10 分） 1、 设函数 在 上连续，且 在 内是常数，证明 在 上的表达式为，)(xf,ab()fx,ab)(xf,abAB其 中 、 为 常 数 。2、设函数 在 上可导，且 证明 在 内仅有一个)(xf0,)(
15、)0,().fxkf)(xf0,)零点。四季一、填空题（每小题 4分，本题共 20分）-_函数 的定义域是 xf51)( xsinlm已知 ，则 = xf2)()(f若 ，则 cFdxfd)32微分方程 的阶数是 yxyxesin)(4二、单项选择题（每小题 4分，本题共 20分）设函数 ，则该函数是（ ） 2exyA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数函数 的间断点是（ ）3)(2xfA B C D无间断点,1x33,21x下列结论中（ ）正确 A 在 处连续，则一定在 处可微.)(f00xB函数的极值点一定发生在其驻点上. C 在 处不连续，则一定在 处不可导. )(xfD函数
16、的极值点一定发生在不可导点上.如果等式 ，则 （ ）cfxx11ed)( )(fA. B. C. D. x2 21x下列微分方程中， （ ）是线性微分方程 A B yycos2 xysinC Dxln lei三、计算题（本题共 44分，每小题 11分）计算极限 423lim2x-_设 ，求 .xy2eyd计算不定积分 xdsin计算定积分 xde210四、应用题（本题 16分）用钢板焊接一个容积为 4 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问3m水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？五季一、填空题（每小题 4分，本题共 20分）-_函数 的定义域是
17、241)(xf若 ，则 sinlm0kxk已知 ，则 = fl)()(xf若 sdin微分方程 的阶数是 yxeyxsin)(4二、单项选择题（每小题 4分，本题共 20分）设函数 ，则该函数是（ ） siA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数当 =（ ）时，函数 ，在 处连续.k0,1)(2xkxfA1 B2 C D0 满足方程 的点一定是函数 的（ ） 。0)(xf )(fA极值点 B最值点 C驻点 D 间断点设 是连续的奇函数，则定积分 （ ） )(f axf-d)(A B C D 00-d2ax0-aaf0)(微分方程 的通解是（ ）1yA. ； B. ； C. ； D.
18、eCxexxyCxy21三、计算题（本题共 44分，每小题 11分）计算极限 423lim2x设 ，求 .xy3cos5siny-_计算不定积分 xd)1(2计算定积分 0dsin2x四、应用题（本题 16分）欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 微积分习题集答案一季一、计算下列极限：（每题 5 分，共 25 分）-_1 。233 200001arctnarctn1limlilimli() 33xxxx2 。22001ln(1)liim2coscos/0li()xxxee3. 220000ta
19、tansec1lilililitanxxxx。2000tlimlilimxxx4若 时, 是等价无穷小,求常数 的值.x21sink与 k解：由于 时有 与 ，故 。2kx:2six:5. 设 在 处连续，求 的值.sinsi,0,()3,1sinxbf xa ,ab解：由左连续与右连续分别得，00i23lim()lsinxxbfxb，00001li()lilimlinlsxxxxaf a所以得 及 。3aeb二、导数与微分：（每题 5 分，共 25 分）1. 设 求 sin,xy2.xdy解：两边去对数得 ，再求导得liln，整理后得 。1coslnsiyxxsin1colsinxyx当 时
20、有 ，所以 。2sin22colsiy 2xdy-_2求由方程 所确定的曲线 在 处的切线方程. yxe()yx0解：易知 时有 。求导得 ，将 代入则有 ，所以0xyxey01xy切线方程为 。y3利用微分近似计算,求 的近似值. 3824解：令 ，则 。()yfx321()fx取 ， ，则有 ，08.02433218.040.4.28ydyx所以 。34设 求 2210,sin,()l)xfx().fx解： ，00(1imlisnxxff ，22000)()lililimxxxff 所以 ，即 。21sinco() 01fxxx 21sinco0()xfx5. 求曲线 的拐点.53()f解
21、：求导得 与 。2310()fxx133001()fxx显然，当 时 不存在；当 时 ，所以 与 是潜在拐点。下面0f f考察函数凹凸性的变化，不难看出 1x0x()ff()f()f-_所以， 与 均为曲线的拐点。(0,)41,3三、计算不定积分：（每题 6 分，共 24 分）1 。2sin2(sinco)(sinco)sincocoxxddxdxC2 。22222artart1lart13 ：令 ， ，则21xdsinxtx。221co211si sin2arcsin14tdtCxCx42222ln(1)ln()l()1xdxxd 。2larctnC四、计算下列各题：（每小题 8 分，共 1
22、6 分）1. 设某商品的价格 与需求量 的关系为 ,PQ280P(1) 求 时的需求弹性,并说明其经济意义.4（2）求当价格 为何值时,总收益 最大？并求出此时的需求价格弹性 . RdE解：（1） ，故 ，这说明当价格 时，若价格280dEQP4320.5816dPE4P上涨（下跌） ，则需求量近似减少（增加） 。%0.5%（2）我们知道 时，总收益 最大。由 解得 ，所以当价格1dR228153时总收益最大。453P2. 设 为 的原函数,且 ,已知 求()Fxf ()()1Fxf2(),e()0,Fx().f解：因为 ，所以给定条件等价于 ，两边关于 求积分，则()0()()fxx，从而
23、（ ） 。将 代入可得ln2arctnFxxC2arctnFe0C/2(1)Fe-_，所以 ，从而 。1C2arctn()xFe2arctn1()()xfFxe五、证明题：（每小题 5 分，共 10 分）2. 当 时, 证明： .0x(1)lnarctnxx证明：令 ，则 ，当 时显然()ltf2()l1)xf0有 ，并且只有在 时才有 ，所以 在 时为增函数。故当0fx0x0fx(f时有 ，也就是说当 时, 。0x()(1)lnarctnx2. 设 )(f连续且 ，试证明 是 的极小值点。()lim8xafax)(f证明：由 知 。又 连续，所以 。根据定义有lixa 0xf ()0fa，由
24、第二充分条件即可知 是 的极小()()()liaffx)(f值点。二季一、填空题（每小题 4分，本题共 20分） 1 2,(),(21xycxsin3二、单项选择题（每小题 4分，本题共 20分）C B D A B 三、 （本题共 44分，每小题 11分）解：原式 11 分321lim)(42li4xxx解： 9 分y3cosln211 分 dxdx)(解： = 11 分cs cxsosinii4解：xln51e eex121 )5ln(10)5l)(l(11 分27360-_四、应用题（本题 16分）解：设底边的边长为 ，高为 ，用材料为 ，由已知xhy223,xhxy1834222 令 ，
25、解得 是惟一驻点，易知 是函数的极小值点，此时有0182xx4x，所以当 ， 时用料最省 432hh微积分初步期末试题选（一）1填空题（1） 答案： 且 .2x3（2）答案： ,1(),(（3）答案： 2f（4）答案： k（5）答案： 1)(2xf（6）答案： （7）答案：1（8）答案： k2单项选择题（1）答案：B （2）答案：C （3）答案：D （4）答案：C （5） 答案：D （6） 答案：B （7）答案：A3计算题（1） 解： 412lim)(21li43lim2 xxxx（2） 解： 36li)(3li9li 323 xxx（3）解： 21li)(42li586li 424 xxx微
26、积分初步期末试题选（二）1填空题-_（1）答案： 2（2）答案： 1xy（3）答案： ， =27（3ln)(2xf )(f)3ln1（4）答案： ， =x)(f21（5）答案： ，xxfe2)( )0(f2.单项选择题（1）答案：C （2）答案：B （3）答案：D （4）答案：C3计算题（1）解： )1(e2221xxy )1(ex（2）解： sinco34sxx2incos4（3）解： 21(ey（4）解： )sinco231xx xtan321微积分初步期末试题选（三）1填空题（1）答案： ),(（2）答案： 0a2单项选择题（1）答案：D （2）答案：C （3）答案： B （4）答案：B
27、3应用题解：设底边的边长为 ，高为 ，用材料为 ，由已知xhy22108,xhxxy 431084222 令 ，解得 是唯一驻点， 0432x6-_且 ，04326xy说明 是函数的极小值点，所以当 ， 用料最省.x6x31082h解：设水箱的底边长为 ，高为 ，表面积为 ，且有xS24x所以 ,164)(22hxS2令 ，得 ， 0)(x因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 时水箱的面积最小. 1,2hx此时的费用为 （元） 1604)2(S微积分初步期末试题选（四）1填空题（1）答案： （2）答案： x2 x2cos（3）答案： （4）答案：csin e（5）答案： （6）答案
28、： cxF)3(21（7）答案： （8） 答案：cxF)1(22（9）答案：0 （10）答案：2单项选择题（1）答案：C （2）答案：D （3）答案：A （4）答案：A（5） 答案：A （6）答案：D3计算题（1）解： cxxx 11010 )2()d()(2d)(（2）解： cossinsi2（3） xdxxe2e-_(4)解： )ed(4)(d)e4(22ln022ln0 xxxx = 310516331l x(5); 27)136()ln()ln()l5(dln51 121e ee xxdx(6)解： 1e000 x(7) 解： sindcocsdsin202020 xx微积分初步期末试
29、题选（五）1填空题(1)答案： (2)答案：12xy42a(3) 答案： (4)答案： (5)答案：4xe xcy3e2.单项选择题(1) 答案：A (2) 答案：D (3) 答案：C (4) 答案：B三季一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题分，共计 10 分)1C； 2 D； 3.B C; 4.A; 5.B C.二、 填空题（每小题 3 分，共 18 分）1. 2 3 1yx21lnCx4X=2,极小值 5上升 2% 6 21dyx三、计算题（每小题 6 分，共 42 分）：1、求 1ln()limxxe解：令 ，则1ln()xy1ln()_2yx分000llilil(im11nxx
30、x） =-3分0limxye-分-_3、1()limxxe解：原式= 1()2xx 分111li()4lixxxee分3、设 2,1axcbx时 ， 无 穷 小 量 求 常 数 、 、 .解：由 3 分21axcb得 a=0，b=-2 ，c 取任意实数。 3 分4 解： 3 分(2)1dxx 21112()()dxdx3 分arctgC5、解 2 分ln() 1ln(2)ln(2)xxxxxededede 2 分1l()xxx d2 分ln(2)ln()11x xxeeC6、解： 2 分32cosinsinxd2 分 221cixxd2 分2sintgC7、设函数 f(x)具有二阶连续导数，且
31、 f（0）=0, 又 ，(0)()fxx-_求 ()gx解： ，这时 连续 2 分2()0xff当 时 ， ()gx3 分00()1)limli (0)xxffx f当 时 ，所以 1 分2(,()10),.ffgfx四、 （8 分）假设某种商品的需求量 Q 是单价 P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本 C 是需求量Q 的函数：C=2500+5Q。（3） 求边际收益函数 MR 和边际成本函数 MC；（4） 求使销售利润最大的商品单价。解：（1） 3 分2108,5;MRPMC（2）利润函数1 分2()40,LQCP15162令 得 =2 分()6,Lp唯 一 驻 点 ， 又P=
32、155/2 时利润最大。 2 分五、 （12 分）作函数 的图形1()xy答案： （1）定义域是 是间断点 1 分1,x（2）渐近线因 故 y=0 为水平渐近线,0)1(2limx因 故 x=1 为垂直渐近线 2 分,)(21x(3)单调性、极值、凹凸及拐点令 得 x=0,)(3xy,0y令 得,)1(24,21x-_再列表是极小值；拐点是 . 6 分1)0(f )89,21(4)选点当 时，y=0; 当 时,y=8; 当 x=2 时,y=3；当 x=3 时， 1 分2x3x 45y(5)描点作图 略 2 分六、证明题（每题 5 分，共计 10 分） 1、设函数 在 上连续，且 在 内是常数，
33、证明 在 上的表达式为)(xf,ab()fx,ab)(xf,abAB其 中 、 为 常 数 。证明：设 在（a，b）内任取一点 x，在区间a，x上由拉格朗日中值定理有：(),fk2 分()()fxxka则 2 分,()fABkBaf其 中当 x=a 时，上式也成立。 1 分2、设函数 在 上可导，且 证明 在 内仅有一个)(xf0,)()0,().fxf)(xf0,)零点。证明：在 内任取一点 x，则,)（ ()f在 ， 上 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 条 件 ，3 分1()0(,fxfk(0),kxf即令 ，由 f（x）的单调性和零值定理知原命题成立。 2 分1),)0k且四季x
34、)21,( 0间断点拐点)1,(),(),21(yy-_一、填空题（每小题 4分，本题共 20分） 1 3)5,(2)(lnx cxF)(1二、单项选择题（每小题 4分，本题共 20分）B A C D D三、计算题（本题共 44分，每小题 11分）解：原式 11 分41)2(lim2xx解： 9 分13eyx11 分 xd)2(d1解： = 11 分xsin Cxxcos2sin解：11 分 de210 2ede10xx四、应用题（本题 16分）解：设水箱的底边长为 ，高为 ，表面积为 ，且有xhS24xh所以 ,164)(22xS2令 ，得 ， 10 分0)(x因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 时水箱的面积最小. 1,2hx此时的费用为 （元） 16 分1604)2(S五季一、填空题（每小题 4分，本题共 20分） 3)2,(21xCxcos二、单项选择题（每小题 4分，本题共 20分）B A C D B 三、 （本题共 44分，每小题 11分）
