1、#*习题二1. 求映射 下圆周 的像.1wz|2z解：设 则i,ixyuv2221ii()ixyxyuvxyyx因为 ,所以24xy53i4uv所以 ,5u3vy534,x所以 即 ，表示椭圆.2534uv22531uv2. 在映射 下，下列 z 平面上的图形映射为 w 平面上的什么图形，设 或2wz eiw.iuv（1） ； （2） ;0,4r 02,4r(3) x=a, y=b.(a, b 为实数)解：设 22i(iwuvxiyxy所以 2,.(1) 记 ，则 映射成 w 平面内虚轴上从 O 到 4i 的一段，即ei02,4r04,.2(2) 记 ，则 映成了 w 平面上扇形域，即eiw0
2、,24r 04,.2#*(3) 记 ，则将直线 x=a 映成了 即 是以原点为焦wuiv2,.uayv224().au点，张口向左的抛物线将 y=b 映成了 ,.xbx即 是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.224()vbu3. 求下列极限.(1) ;21limz解：令 ,则 .t,0t于是 .2201lilizt(2) ;0Re()mz解：设 z=x+yi，则 有()izxy00e()1liliiizxykk显然当取不同的值时 f(z)的极限不同所以极限不存在.（3） ；2lim(1)zi解： = .liz 1lilim()()2z zi#*（4） .21limzz解：因为 2(2)12
3、,z所以 .2113liliz z4. 讨论下列函数的连续性：(1) 2,0,()0;xyzfz解：因为 ,20(,)0,limlizxyf若令 y=kx,则 ,(,),li1xyk因为当 k 取不同值时，f( z)的取值不同，所以 f(z)在 z=0 处极限不存在.从而 f(z)在 z=0 处不连续，除 z=0 外连续.(2) 342,0,()0.xyfz解：因为 ,33422xy所以342(,)0,lim(0)xyf所以 f(z)在整个 z 平面连续.5. 下列函数在何处求导？并求其导数.(1) (n 为正整数 )；1()fz解：因为 n 为正整数，所以 f(z)在整个 z 平面上可导.1
4、()fz(2) .2()z解：因为 f(z)为有理函数，所以 f(z)在 处不可导 .21)(0z从而 f(z)除 外可导 .1,i#*22232()1()(1)(1)543()zzzfz (3) .87f解：f(z)除 外处处可导，且 .=5 223(57)(8)561) (7)zf z(4) .22ixyf解：因为 .2222i()i(i)(i)1(i)1i()xyxyzfz xyz所以 f(z)除 z=0 外处处可导，且 .2(1i)fz6. 试判断下列函数的可导性与解析性.(1) ;2()ifzxy解： 在全平面上可微.2,()uvxy2 2,y vxxyy所以要使得 ， , vxux
5、只有当 z=0 时,从而 f(z)在 z=0 处可导，在全平面上不解析.(2) .2ixy解： 在全平面上可微.2(,),()uv2,0,2vx yyx只有当 z=0 时, 即(0,0) 处有 , .u所以 f(z)在 z=0 处可导，在全平面上不解析.(3) ;32ixy解： 在全平面上可微.3(,),()uv2 26,0,9,0vxyyx所以只有当 时，才满足 C-R 方程.3#*从而 f(z)在 处可导，在全平面不解析 .230xy(4) .f解：设 ，则izxy23232()i)(ii()fzxyxyxy3232(,),uv2 2,3uvvxyxyxyyx所以只有当 z=0 时才满足
6、C-R 方程.从而 f(z)在 z=0 处可导，处处不解析.7. 证明区域 D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1) ;()0fz证明：因为 ，所以 , .()f 0uxy0vxy所以 u,v 为常数，于是 f(z)为常数.(2) 解析.()fz证明：设 在 D 内解析 ,则ifuv()uvxyxy,uvuvxyx而 f(z)为解析函数，所以 ,uvyx所以 即,vvxy 0xy从而 v 为常数，u 为常数，即 f(z)为常数.(3) Ref(z)=常数.证明：因为 Ref(z)为常数，即 u=C1, 0uxy因为 f(z)解析，C-R 条件成立。故 即 u=C2从而 f(z)为常数.
7、(4) Imf(z)=常数.#*证明：与（3）类似，由 v=C1 得 0vxy因为 f(z)解析，由 C-R 方程得 ,即 u=C2u所以 f(z)为常数.5. |f(z)|=常数.证明：因为|f( z)|=C，对 C 进行讨论 .若 C=0，则 u=0,v=0,f(z)=0 为常数.若 C 0，则 f(z) 0,但 ，即 u2+v2=C22)(fz则两边对 x,y 分别求偏导数，有2,20uvuvy利用 C-R 条件，由于 f(z)在 D 内解析，有xyx所以 所以0uvvx0,uvxx即 u=C1,v=C2,于是 f(z)为常数.(6) argf(z)=常数.证明：arg f(z)=常数，
8、即 ,arctnvCu于是2222()()(/) 01 vuuv yxv得 C-R 条件 0uxvy 0vxu解得 ，即 u,v 为常数，于是 f(z)为常数 .0vxy8. 设 f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在 z 平面上解析，求 m,n,l 的值.解：因为 f(z)解析，从而满足 C-R 条件.2,uunxmn23,vvlylxyunlx#*3,uvnlmyx所以 .,1l9. 试证下列函数在 z 平面上解析，并求其导数.(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i证明：u(x,y)=x 3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3 在全平面可微,且2 266,3
9、uvvxxy所以 f(z)在全平面上满足 C-R 方程，处处可导，处处解析.222i3i3(i)vxyyz(2) .()ecosin)ecosinx xfz证明： 处处可微，且,(i,(,)=ecosin)x xuyyvyye(cosin)e(cos)six xxi incos)x xyyyyye(cosin)e(si)(cosinx xxv(cocos)x xyyyxy所以 , uvvx所以 f(z)处处可导，处处解析 .ie(cosincos)i(ecosins)cosi e(1)x xx xx xzzyyyyy10. 设 332i,0.0.xyzfz求证：(1) f( z)在 z=0 处
10、连续(2)f(z)在 z=0 处满足柯西黎曼方程(3)f(0)不存在证明.(1) 0,0,limlii,zxyuvxy#*而 32,0, ,0,limlixyxyu3221320xyx 32,0,limxy同理 ,li0xy ,0,xyfzff(z)在 z=0 处连续(2)考察极限 0()limzf当 z 沿虚轴趋向于零时，z=iy，有320 011iliili1iy yff当 z 沿实轴趋向于零时，z= x，有0limixff它们分别为 i,uvuxy ,y满足 C-R 条件(3)当 z 沿 y=x 趋向于零时，有330 0i,1iilimlim21ixy xyff x 不存在即 f(z)在
11、 z=0 处不可导z11. 设区域 D 位于上半平面，D 1 是 D 关于 x 轴的对称区域，若 f(z)在区域 D 内解析，求证在区域 D1 内解析Fzf证明：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为 f(z)在区域 D 内解析所以 u(x,y),v(x,y)在 D 内可微且满足 C-R 方程，即 ,uvvxyx，得,i,i,fzxy#*,uxy,uxyuxy,vx,vvyy故 (x,y),(x,y)在 D1 内可微且满足 C-R 条件 ,xyx从而 在 D1 内解析fz13. 计算下列各值(1) e2+i=e2ei=e2(cos1+isin1)(2) 2i33 31ecosisne
12、i3i (3) 22222ii222Reecosisnxyyxxyxy yx (4) i2ii2eexyxy14. 设 z 沿通过原点的放射线趋于点，试讨论 f(z)=z+ez 的极限解：令 z=rei，对于 ， z时，r故 iieiiscnolmlerrr所以 izf15. 计算下列各值(1) 3ln23i=l1iarg23iln1iarctn2(2) n li66(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i#*(4) lnieliarge1i216. 试讨论函数 f(z)=|z|+lnz 的连续性与可导性解：显然 g(z)=|z|在复平面上连续，ln z 除负实轴及原点外处
13、处连续设 z=x+iy， 2)| ,i,xyuxvy在复平面内可微2,0uv12222xuyxyyx0v故 g(z)=|z|在复平面上处处不可导从而 f(x)=|z|+lnz 在复平面上处处不可导f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续17. 计算下列各值(1) 1i1iln2i1ilnilni 4ln2iln2l44ln24eee coslisnl24el2ilkkkk (2) 55ln3ln3li2il5i2i5ln3eecos1s15inkk (3) iiln1iln1il102ii2eekkk#* 1i 1i1ilniln221ilnii1ii44i22i 424eeecosin4()
14、 i4ekkkk18. 计算下列各值(1) i5i5i5i5eecos221ch(2) i5i15ii555eesin22co1iscosinieein122(3) i3i3ii2esi sin6ita3coch132(4) 2 2ii222221sinesniosichohi cihsnyxzxyxyxy (5) 2arcili1iln10,1ilnik (6) 12i2arct12lnii5arct4k19. 求解下列方程(1) sinz=2#*解： 1arcsin2li3ln23il i12iln23,0,1zkk(2) e3i0z解： 即1zln13iln2ii2zkk(3) lni2
15、z解： 即lii2ez(4) 10z解： 1lniliiln2i44kk20. 若 z=x+iy，求证(1) sinz=sinxchy+icosxshy证明：iiiiiieesin221.sichos.xyzyxy(2)cosz=cosxchy-isinxshy证明： iiiiiie1cose2ecosine.cosin22cshiszxyxyyxyyxxxxy(3)|sinz|2=sin2x+sh2y证明： ii1sinesnchioshxy xy222222icho.sssinsinzxyxy#*(4)|cosz|2=cos2x+sh2y证明： coschisnxy222222hsscosin.shcoz xyxy21. 证明当 y时，|sin(x+iy)| 和|cos( x+iy)|都趋于无穷大证明： ii ii11sinee22zy iii ieeyxyxy而 ii11sne22yxxyz当 y+时，e -y0，e y+有|sinz|当 y-时，e -y+，e y0 有|sinz|同理得 ii11cosi e22xyx所以当 y时有|cosz|
