1、通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文重庆大学本科学生论文数学模型的淋雨量模型学 生：谭昕宇、杨龙顺学 号：指导教师：黄光辉专 业：通信工程专业重庆大学通信工程学院二 O 一七年十月通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文摘要本文针对淋雨量最小问题，采用 matlab 仿真等方法，得到不同风向下淋雨量与跑步速度的关系。针对问题一，可以得到淋雨量最小是 2.44L针对问题二，通过 matlab 仿真可以得到迎面淋雨时跑步速度最大，淋雨量最小。且淋雨量大小与跑步方向和雨线夹角有关。针对问题三，通过 matlab 仿真可以知道背面淋雨时，跑步方向和雨线夹角不太小时，当跑步速度与雨速在同一方向分量相等时淋雨量最小，此时
2、只有顶面淋雨。在本文的最后，对模型的优缺点进行分析，并提出一些改进。关键字： 淋雨量最小 ，跑步速度 ， 雨线与跑步方向夹角 ， matlab通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文目录摘要 .2一、问题描述 .3二、问题分析 .3三、模型假设 .3四、 符号说明 .3五、 模型的建立与求解 .4六、 模型评价 66.1 模型优点 76.2 模型缺点 76.3 模型改进 7七、 参考文献 .7通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文一、问题描述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。讨论淋雨量与人体跑步速度的关系。二、问题分析这是一个简单优化问题，根据雨速大小和方向、人速度大小进行合理分析，使得人
3、淋雨量最小。淋雨面积与雨的方向有关，淋雨时间与跑步速度与雨速相对速度大小有关，所以在不同情况下有不同的最优解。三、模型假设1.人体简化成一个长方体，高 a=1.5m(颈部以下)，宽 b=0.5m,厚 c=0.2m；2.雨速 u 是常数(4m/s) ，在跑步过程中降雨量 w 是常数(2cm/h)；3.在整个过程中人跑步速度 v 是常数，且有最大速度 Vmax=5m/s;4.雨线的方向是确定的;5.跑步距离一定 d=1000m.四、 符号说明符号 符号说明v 跑步速度a 人体长b 人体宽c 人体厚w 降雨量（cm/h）d 跑步距离u 雨速Q 淋雨量 雨线与人体的夹角通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文五
4、、 模型的建立与求解根据题意，按以下步骤进行讨论：5.1 不考虑雨的方向，设雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。淋雨面积 s=2ab+2ac+ab=2.2m2,跑完时间 t=d/v=200 s,降雨量w=2cm/h=1/1.8X105m/s,淋雨量 Q=swt=2.44X10-3 m3。5.2 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为，建立总淋雨量与速度 v 的关系，求解总淋雨量最少的最优解，并计算=0，=30 。 的总淋雨量。（1）淋雨量分为正面和顶面两部分，正面面积 s1=ab=0.75m2,正面单位面积单位时间的淋雨量为 w(usin+v)/u,淋雨
5、时间 t=d/v淋雨量 ;Q1=s1dw(u +v)/uv顶面面积 S2=bc=0.1m2,顶面单位面积单位时间的淋雨量为 wcos,淋雨时间t=d/v,淋雨量 Q2=s2dwv总淋雨量=1+2=(1(+) +2cos)（2）模型求解得 =11.8（ 34+316+0.1cos )05很明显当 v=5 m/s 时 Q 最小。用 matlab 仿真得到：当 =0 时，通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文QMIN=1.1526L当 =30 。 时，QMIN=1.5535L5.3 雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为，建立总淋雨量与速度 v 的关系，求解总淋雨量最少的最优解，并计
6、算=30 。 的总淋雨量。（1）淋雨量分为顶面和背面淋雨，顶面淋雨量为 Q2=s2dwv背面淋雨可以看做是追击问题，分为同位置雨滴追得上人体和人体追上前面上的雨滴两种情况。淋雨量分别为1=1( ) 1=1( ) 总淋雨量为=1+2=(1( ) +2 ) =1+2=(1( ) +2 ) (2)模型求解=11.8（ 34316+0.1cos ) 04=11.8（ 34+316+0.1cos ) 4 5分析单调性可知，Q 在 时单调递减04当 时，Q 在 上单调递增，v=4sin 时 Q 最小0.1 0.75 4 5当 =30 .时，满足 0.1 0.75通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文当 v=2 时
7、。Q MIN=0.2365L当 =90 。 时满足 v=5 时 Q 最小。（4）解释上图结果的实际意义。雨从背面吹来，只要 满足 ，当 v=4sin 时 Q 最小，这0.1 0.75时人体背面不淋雨，只有顶面淋雨，超过此值，迎面淋雨增加。当 过小时，主要是顶面淋雨，这就与淋雨时间有很大关系，跑得越快，淋雨时间越短，淋雨量越小。（5）若雨线与跑步方向不在同一平面，模型会有什麽变化？模型会增加一角，没有其他变化。六、 模型评价通信学院谭昕宇、杨龙顺数模论文6.1 模型优点上述讨论，考虑了各种淋雨情况，比较全面的分析了因风向不同导致雨线方向不同的淋雨情况，可以在现实情况下应用。6.2 模型缺点主要将跑步速度常量化，忽略了人的体质问题，还有雨速方向是时刻变化的，可以建立函数表示，而不是简单固定不变。6.3 模型改进可以将人跑步看成匀加速、匀速、匀减速过程；雨速方向与跑步方向夹角在一定范围内变化。七、 参考文献数学模型（第四版）姜启源、谢金星、叶俊编，高等教育出版社 2013
