1、微分几何微分几何曲线论 三维空间曲线 从参数表示到求出特征 从特征 求出原曲线曲线方程案例 说明 一点附近 全程轨迹 总结 退出微分几何说明：1 任意参数 t , 绘曲线。曲线方程可以取自题库，或自由输入。起点或终点可以自动调整。2 改变为离起点的弧长 s 为参数，方程相应变换为新的方程。起点或终点 s 参数也可以自动调整。3 活动标架应以弧长 s 为参数。可先给定固定的某 s， 用按键来逐步求出并显示标架：三个坐标向量，三个坐标平面与两个特征函数。s，(s)，(s)显示于输出栏。(s)，(s)的图形也相应显示于相应窗口。 按键可以弹出窗口，显示公式与评注。4 让 s 从起点到终点，动起来。微
2、分几何曲线论 三维空间曲线 从参数表 示到求出特征 从特 征求出 原曲线曲线方程案例 说明 一点附近 全程轨迹 总结 退出说明 s(t)=(s) = d r/ ds d(s)/ds=(s) (s)(s) =1/(s) * d(s)/ds(s) = | d(s)/ds |(s) =(s) X(s) d(s)/ds=+(s) = |d(s)/ds | d(s)/ds =任意参数 t, 先绘曲线。r(t) =( x (t),- )x (t)= y (t)= z (t)= 改离起点弧长 s 为参数r (s)=( x (s),- )x (s)= y (s)= z (s)= 输出s =(s)=(s)=终点
3、 X ( s )起点求弧长 s切向量 (s)=法向量 (s)曲率 (s)次法向量 (s)挠率 (s)ts 给定 s = ， 运行。(s)s(s)s密切平面法平面 从法平面Ta= Tb=Sa= Sb= s = 时，曲线 X (s)在三个坐标平面上的投影。5 把 (s)，(s)加进第二屏的题库中，备生成图形后与之对比。微分几何微分几何曲线论 三维空间曲线 从 参数表 示到 求出特征 从特 征求出原曲线特征案例题库 说明 看方程组 全程轨迹积分 总结 退出说明： 给定曲线的曲率、挠率函数， 画出随 s 的变化，满足条件的曲线。 他首先还要满足下列远动公式：(s) = d r /dsd(s)/ds =
4、(s) (s)d(s)/ds =d(s)/ds +d(s)/dsd (s)/ds =相当于解十二个变量的十二个方程组的初值问题。可从题库上选出，也可以自由输入。解十二个变量的十二个方程组的初值问题：1 =d x1/ds2 =d x2/ds3 =d x3/dsd1/ds=d1/dsd2/ds=d2/dsd3/ds=d3/dsd1/ds=d1/ds+-d2/ds=d2/ds+-d3/ds=d3/ds+-d1/ds =1d2/ds =2d3/ds =3(s)= (s)= 0 s可显示参数的变动原点（0，0，0）初始正交标架 1， 0， 00， 1， 00， 0， 1 可以自由改变结论：任何正交坐标系
5、下，曲率、挠率特征相同，曲线形状就一样。曲率、挠率函数确是曲线形状的特征。微分几何微分几何曲线论 二维平面曲线 从参数表示 到求出特征 从特征 求出 原曲线 应用曲线方程案例 说明 一点附近 全程轨迹 总结 退出说明 s(t)=(s) = d r/ ds 佛耐特公式d(s)/ds=(s) (s)(s) =1/(s) * d(s)/ds(s) = | d(s)/ds |d(s)/ds= 任意参数 t, 先绘曲线。 r(t) =( x ( t ), y ( t ) )x (t ) = y (t ) = 改离起点弧长 s 为参数r (s)=( x (s), y (s) )x (s)= y (s)=
6、输出s =(s)=求弧长 s切向量 (s)=法向量 (s)=曲率 (s)ts 给定 s = ， 运行。(s)微分几何微分几何曲线论 二维平面曲线 从参数表示 到求出特征 从特征求 出原曲线 应用曲线特征案例 说明 看方程组 全程轨迹积分 总结 退出说明： 给定平面曲线的曲率函数， 画出随 s 的变化，满足条件的曲线。 他首先还要满足下列远动公式：佛耐特公式(s) = d r /dsd(s)/ds =(s) (s)d(s)/ds = -d(s)/ds 相当于解六个变量的六个方程组的初值问题。解六个变量的六个方程组的初值问题：1 =d x1/ds2 =d x2/dsd1/ds=d1/dsd2/ds
7、=d2/dsd1/ds=-d1/dd2/ds=d2/ds(s)= 0 s结论：任何正交坐标系下，曲率特征相同，曲线形状就一样。曲率函数确是确定曲线形状的特征量。原点（0，0）初始正交标架 1， 0，0， 1，可以自由改变文字描述与程序要求微分几何 知识结构网络曲线论参量 向量表示，即与坐标系，又与参数有关。换参数与坐标系则换表达式。条件约束： 正则。 即 三阶以上连续可微。活动标架：运动公式：本质特征：与坐标系，又与参数无关。 存在唯一定理，决定曲线形状。三维空间曲线参量 r (t) = x (t), y(t), z (t) , t0 t T换参数程序： s (t) = | r (t ) |
8、dt, t = s 1 (t )换坐标系程序：活动标架： 切向量 (s) (s) = r (t) / | r (t)| 弧长参数则自动归一。法向量 (s) (s) =(s) /|(s)| 向量微商，一定正交。从法向量 (s) (s) =(s) X (s) 画曲线及其活动标架。(s) (s) 张成密切平面。(s) (s) 张成主法平面。(s) (s) 张成从法平面。 要画曲线在三个坐标平面上的投影。本质特征： (s) = |(s)| 曲率， 未必单位长(s) = |(s)| 挠率， 存在唯一定理，决定曲线形状 要画曲线的特征曲线。运动公式：局部关系d r /ds = (s) d(s)/ds =(
9、s) (s)d(s)/ds =d(s)/ds + d(s)/dsd(s)/ds = -(s) (s) 解方程组的数值计算程序。给初始标架，解十二个变量的十二个方程组的初值问题。对比形状。结论。二维平面曲线参量 r (t) = x (t), y(t), z (t)=0 , t0 t T活动标架：(s)(s)本质特征： (s) = |(s)| 曲率， 运动公式：局部关系(s) = d r /dsd(s)/ds =(s) (s)d(s)/ds = -d(s)/ds 给初始标架，解六个变量的六个方程组的初值问题。对比形状。结论。曲面论空间曲面方法： 对描述文件生成最后屏幕，还可以供操作。转到 SMIL 及 JAVA 描述程序。 还可以有中间文件。对象窗口可以开关。文本可能在上下位找，放在一定模版上。程序可操作，操作对象程序必要参数，填上 符号程序生成数据列表，图示的程序。按钮说明结果存放地方
