1、2.4.1 等比数列,绥化一中 高一数学 郑纯,温故知新,1.等差数列的定义:,如果一个数列从第二项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。,2.等差数列的通项公式:,3.等差中项的定义：,如果三个数a,A,b成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项，即2A=a+b,4.等差数列通项公式的推广：等差数列an中，公差为d ， 则有an=am +(n-m)d,5.,引例1：, 如下图是某种细胞分裂的模型：,细胞分裂个数可以组成下面的数列：,1,2,4,8,16,庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”,意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。,如果将“一
2、尺之棰”视为单位“1”， 则每日剩下的部分依次为：,引例2：,引例3：,一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：,1,20,202,203,引例4：, 除了单利，银行还有一种支付利息的方式复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式是：本利和 = 本金（1+利率）存期。 现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照
3、复利，5年内各年末的本利和组成了下面的数列：,观察：,请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的比等于同一个常数； 我们给具有这种特征的数列一个名字等比数列,一、等比数列的定义：,类比,等差数列的定义：,如果一个数列从第二项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。公差通常用字母 d 表示。 定义的符号表示是：,一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母“q”表示）。 定义的符号表示是：,等比数列的定义：,(3)-1，3，-
4、9，27，-81，,(6) 1，-1，1，-1，1，,(1)2，4，8，16，32，64，,思考：下列数列是否是等比数列？,（2）1，1，0，1，1,是,是,是,不是,是,不一定,是,二、等比数列的通项公式：,法一：不完全归纳法,由此归纳等比数列的通项公式可得：,等比数列,类比,二、等比数列的通项公式：,累乘法,共n 1 项,）,等比数列,类比,例题讲解,例1：已知数列 的通项公式为 试问这个数列是等比数列吗？,解,：用an 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有,解得,因此，,答：这个数列的第1项与第2项 分别是,例2：一个等比数列的第项和第项分别是和，求它的第项和第项,三、等比中项：,
5、等差中项：,类比,等比中项：,如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。 符号表示为：,如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。 符号表示为：,三、等比中项：,思考三：1和4的等比中项是什么？,思考一：任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？,思考二：若a,G,b成等比数列 反之，若 是否有a,G,b成等比数列？,例3 求20、320的等比中项.,变式 已知an是等比数列,a3=20,a7=320,求a5.,四.等比数列通项公式的推广,已知等比数列的公比为q,第m项为 ,求 .,类比,已知等差数列的公差
6、为d ，第m项为am，求an。,解：由等差数列的通项公式可知 am=a1+(m-1)d an=a1+(n-1)d - 得： an-am=a1+ ( n 1 )d-a1+(m-1)d=(n-m)dan=am +(n-m)d,解法一：由题意,例4、已知等比数列an中，a5=20,a15=5,求a20.,例4、已知等比数列an中，a5=20,a15=5,求a20.,解法二：由a15=a5q10，得,例如：数列an的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是： ,上式还可以写成,可见，这个等比数列 的图象都在函数 的图象上，如右图所示。,0 1 2 3 4 n,an 8 7 6 5 4 3 2 1,思考
7、四：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？,an 8 7 6 5 4 3 2 1,an 8 7 6 5 4 3 2 1,an 8 7 6 5 4 3 2 1,an 8 7 6 5 4 3 2 1,an 8 7 6 5 4 3 2 1,0 1 2 3 4 n,0 1 2 3 4 n,an 8 7 6 5 4 3 2 1,0 1 2 3 4 n,an 8 7 6 5 4 3 2 1,0 1 2 3 4 n,练习 教材P53-1题,在等比数列 中，,小结,1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式 2、掌握并能熟练应用等比中项： 3、要会推导等比数列的通项公式：，并掌握其基本应用,补充练习,（1） 一个等比数列的第9项是 ，公比是 ，求它的第1项； （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。,谢谢,
