1、高中数学知识梳理总汇及复习第一部分 集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.举例 1已知集 ，求 .,2|,|2 RxyQRxyP QP2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.举例若 且 ，求 的取值范围.|,|2BaxABAa3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若 ，则 A 是 B 的充分条件；若x，则 A 是 B 的必要条件；若 且 即 ，则 A 是 B 的Bx充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价， “逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条
2、件（甲 乙） ”与“甲的充分条件是乙（乙甲） ”，是两种不同形式的问题.举例设有集合 ，则点 的2|),(,2|),(2 xyNyxMMP条件是点 ；点 是点 的条件.PMP4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.举例命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是，它是（填真或假）命题.5、若函数 的图像关于直线 对称，则有 或)(xfyax)()(xaff等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身2(af的对称问题.函数 的图像关于直线 的对称曲线是函数 的图像，f )2fy函
3、数 的图像关于点 的对称曲线是函数 的图像.)f),(b)(2fby举例 1若函数 是偶函数，则 的图像关于对称.1xy)(xf举例 2若函数 满足对于任意的 有 ，且当 时fRx，则当 时 .xf2)(2)(f6、若函数 满足： 则 是以 为周期的函数.注意：)(fy )0(axfaf (xfa2不要和对称性相混淆.若函数 满足： 则 是以 为)(y )0f (xfa2周期的函数.（注意：若函数 满足 ，则 也是周期函数）f )(1f举例已知函数 满足：对于任意的 有 成立，且当)(xRx)(f时， ，则 .)2,0x12f 2063)2(ff7、奇函数对定义域内的任意 满足 ；偶函数对定义
4、域内的任意 满足x0xff x.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量 的恒等式而)(xff不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于 y 轴对称；若函数 是奇函数)(fy或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若 是奇函数且 存在，则 ；反之不)(xfy)0(f0)(f然.举例 1若函数 是奇函数，则实数 ；axf12)( a举例 2若函数 是定义在区间 上的偶函数，则此函数3)(xb2,1的值域是.8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数 的图像关于直
5、线 对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函)(xfyax数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式） ”多用函数的单调性，但必须注意定义域.举例若函数 是定义在区间 上的偶函数，且在 上单调递增，若实数)(f 3,0,3满足： ，求 的取值范围.a122af9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数 的图像，)(xfy作出函数 的图像.（注意：axfyaxfyfxfyf )(),(|,)(|),(),(图像变换的本质在于变量对应关系的变换） ；要特别关注 的图像.|,举例函数 的单调递增区间为.|12|log|x10、研究方程根的个数、超越
6、方程（不等式）的解（特别是含有参量的） 、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域） 、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等） 、递增递减的区间、最值等.举例 1已知函数 ，若不等式 的解集不为空集，1)(,12)(axgxf )(xgf则实数 的取值范围是.a举例 2若曲线 与直线 没有公共点，则 应当满足的条件是 .|2ybkybk,11、曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于 y 轴的直线至多只有一个交点.一个函数存在反函数的充要条
7、件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于 轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它x的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？举例函数 ， （ ） ，若此函数存在反函数，则实数12)(axxf 4,30的取值范围是.a12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于 的）方程的过程.x注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.举例函数 的反函数为.)2,(),2(log)
8、(2xxf13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线 对称；若函数 的定义域为 A，值域为 C， ,则有xy)(xfybAa,. .需要特别注意一些复合函数的afbf)(,)(11 )(1bfab反函数问题.如 反函数不是 .22f举例 1已知函数 的反函数是 ，则函数 的反函数xfyxy )43(21xfy的表达式是.举例 2已知 ，若 ，则 .02,)(log,)(2f )(1af14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性） ，但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是
9、因式分解.记住并会证明：函数 的单调性.)0,(baxy举例函数 在 上是单调增函数，求实数 的取值范围.)0(1)(xaf 1a15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值.举例求函数 在区间 的最值12)(axxf 3,16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是
10、；不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.举例 1已知关于 的不等式 的解集是 ，则实数 的值为 .x5|3|ax4,1a举例 2解关于 的不等式： .)(02Ra第二部分 不等式17、基本不等式 要记住等号成立的条件与 的取值范围.“一正、2)(,2baba ba,二定、三相等” ， “积定和有最小值、和定积有最大值” ，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.举例已知正数 满足 ，则 的最小值为.,3ba118、学会运用基本不等式： .|a举例 1若关于 的不等式 的解集是 R，则实数 的取值范围是xx21a；举例 2若关于 的不等式 的
11、解集不是空集，则实数 的取值范围是.a|19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）通分转化为整式不等式化所有因式中的变量系数为正， （即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）“序轴标根” （注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论） ；解绝对值不等式的关键是“去绝对值” ，通常有利用绝对值不等式的性质平方讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”.举例解关于 的不等式： .x)0(12)(ax20、求最值的常用方法：用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等） ；方程有解法单调性；换元法；一般而言：在用基本不等式求最值因
12、“不相等”而受阻时，常用函数 的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用)0(,axy图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求” （即判别式法） ；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数.举例 1已知函数 的最大值不大于 ，又当 时，23)(xf6121,4x，求实数 的值.8)(xfa举例 2求函数 在区间 上的最大值与最小值.1362x2,21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值） ；但是若该参数分离不出来（或很难分离） ，那么也可以整体研究函
13、数 的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量),(xafy作为主变量，另一个作为参数.举例已知不等式 对于 ）恒成立，求实数 的取值范围.024,1xa第三部分 三角函数22、若 ，则 ；角的终边越“靠近” 轴时，角的正弦、正切的绝)2,0(tgsiny对值就较大，角的终边“靠近” 轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大 .x举例 1已知 ，若 ，则 的取值范围是.,0|cos|i举例 2方程 的解的个数为个.six23、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小） ，然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如
14、：由 未必有 ；由 同样未必有 ；两个角的三角函数值相tgtg等，这两个角未必相等，如 ；则 ；或sinik2；若 ，则 ；若 ，Zkk,2coZ,tg则 .举例 1已知 都是第一象限的角，则“ ”是“ ”的（ , sini）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.举例 2已知 ，则“ ”是“ ”的（ 0,ii）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.24、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由 的值求 的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求tgcos,in
15、（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.举例 1已知 是第二象限的角，且 ，利用 表示 ；atg举例 2已知 ，求 的值.),2(,0cos2sini62 )32sin(25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即： ；引入辅助角（特别注意 ，)cos1(2cos),21(sin2 xxx 3经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一） ，将所给的三角函数式化为6的形式.函数 的周期是函数BAy)si(|)sin(|Ay周期的一半.nx举例函数 的最小正周期为；最大值为1co32co
16、sxxf；单调递增区间为；在区间 上，方程 的解集为2,01)(xf26、当自变量 的取值受限制时，求函数 的值域，应先确定 的取值x )sin(xAy 范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定 的取值范围，并注意 A 的正负；千万不能把 取值范围的两端点代入表达式求得.举例已知函数 ，求 的最大值与最小值.,0)co(sin2)( xf )(xf27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关 的cba,齐次式（等式或不等式） ，可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道ABC 三边平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为cba,（其中 R 是ABC 外接
17、圆半径.2sinisincABC举例在ABC 中， 分别是 对边的长.已知 成等比数列，且ba,CBA, cba,，求 的大小及 的值.ca2csin28、在ABC 中： ； ，basii Asin)i()co(CB， ， 等常用的结论须记住.三角形三内角Acos2sinACB2coACBA、B、C 成等差数列，当且仅当 .3举例 1在ABC 中，若 ，则ABC 的形状一定是（ sinicos）A、等腰直角三角形； B、直角三角形； C、等腰三角形； D、等边三角形.29、 这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本xxxcosin,si,cosin关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要
18、能熟练地掌握它们之间的关系式：.求值时能根据角的范围进行正确的取舍.2()1举例 1关于 的方程 有实数根，求实数 的取值范围.02)(ii a a举例 2已知 且 ，则 .,0(51cosntg30、正（余）弦函数图像的对称轴是平行于 轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对y称轴之间的距离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期.函数 的图像没有对称轴，它们的对称中心为 .两相邻对称ctgxyt, Zk),02(轴之间的距离也是半个周期.举例 1已知函数 ，且 是偶函数，则满足条件的最小正数f2sin)()(txf；t举例 2若
19、函数 的图像关于点 成中心对称，则 .axfcoi)0,3(a第四部分 复数31、复数问题实数化时，设复数 ，不要忘记条件 .两复数 ，biazRba, biaz1， 的条件是 .这是复数求值的主要依据.根),(,2Rdcbaiz21dc据条件，求复数的值经常作实数化处理.举例若复数 满足： ，则 .ziz3)(z32、实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.举例若方程 的两根 满足 ，求实数 的值.)(02Rbx,2|b33、 的几何意义是复平面上 对应点之间的距离， 的几何意义是复|21z21,z rz|0平面上以 对应点为圆心， 为
20、半径的圆.0r举例若 表示的动点的轨迹是椭圆，则 的取值范围是.4|0zi |34、对于复数 ，有下列常见性质：（ 1） 为实数的充要条件是 ；（2） 为纯虚数的zzz充要条件是 且 ；（3） ；（4） .z2|1|举例设复数 满足：（1 ） （2） ，求复数 .,4R第五部分 数列与极限35、等差数列 中，通项 ，前 项和 （ 为公差， ）.nabdncndSn2Nn证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：是常数 ( =常数， ，也可以证明连续三项成等差（比）数列 .n1)N1na)N即对于任意的自然数 有： （ ）.nna12 n12举例数列 满足： .na
21、)(2,1Nan（1）求证：数列 是等差数列；（2）求 的通项公式.n 36、等差数列前 n 项和、次 n 项和、再后 n 项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前 n 项和（和不为 0） 、次 n 项和、再后 n 项和仍成等比数列 .类比还可以得出：等比数列的前 n 项的积、次 n 项的积、再后 n 项的积仍成等比数列 .37、在等差数列 中，若 ，则 ；在等比a),(Nqpm qpnmaa数列 中，若 ，则 等差（等比）数列n ,qpm中简化运算的技巧多源于这条性质.38、等差数列当首项 且公差 ，前 n 项和存在最大值.当首项 且公差 ，01ad01ad前 n 项和存在最小值.求
22、等差数列前 项和的最值可以利用不等式组 来确定)(n的值；也可以利用等差数列的前 项的和是 的二次函数（常数项为 0）转化成函数问题来求解.举例 1若 是等差数列，首项 ，则（1）使na ,0,02762761 aaa前 项和 最大的自然数 是；（2）使前 项和 的最大自然数 ；SnnS39、数列 是等比数列，其前 项的和 是关于 的分段函数 ，nannSq1,)(1qan在求和过程中若公比不是具体数值时，则要进行讨论.举例 1数列 是等比数列，前 项和为 ，且 ，求 的取值范围.n n1limaSn举例 2数列 是等比数列，首项 ，公比 ，求 的值.a1aqnli40、等差数列、等比数列的“
23、基本元”是首项、公差（比） ，当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若 是等差数列，则对于na任意自然数 有 ；若 是等比数列，则对于任意的自然数nm, dmna)(na，有 .在这两关系式中若取 ，这就是等差（比）数列的通项公式.,qa 1举例 1已知数列 是等差数列，首项 ，且 .若此数列的前 项和为010537n，问 是否存在最值？若存在， 为何值？若不存在，说明理由 .nS举例 2已知正项等比数列 中，首项 ，且 .若此数列的前 项积为 ，na175anT问 是否存在最值？说明理由.nT41、已知数列的前 项和 ，求数列的通项公式时，要注意分段
24、 .当nS 2,11Snn满足 时，才能用一个公式表示.1a)2(,1n举例已知数列 的前 项和 .若 是等差数列，求 的aanan2)(nna通项公式.42、形如： + 的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如： 的n1)(f )(1gan递推数列，求通项用连乘（约项）法.举例数列 满足 ，求数列 的通项公式.a)2(3,11nan n43、一次线性递推关系：数列 满足： 是常数）是最重要n cbann,(,11的递推关系式，可以看出当 时，此数列是等差数列，当 （ 时，此数列b0)是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令 化成等比数列求解.)kb举例已知数列 满足： ，求此数列的通项公式
25、.na(,2,1Nan44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项” ，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式） ，然后再求通项.举例某企业去年底有资金积累 万元，根据预测，从今年开始以后每年的资金积累会在a原有的基础上增长 20%，但每年底要留出 万元作为奖励金奖给职工.企业计划用 5 年时b间使资金积累翻一番，求 的最大值 .b45、常见的极限要记牢： ，注意 存在与1|,01limqqn或不 存 在 ， nqlim是不相同的； ，特别注意此式的
26、结构形式；若 是0limnqenn)(li )(,gf关于 的多项式函数，要会求 .gf举例 1求下列各式的值：（1） ；（2） .)4(2limann nn2)1(lim举例 2若 ，则 ； .143lim2banb46、理解极限是“无限运动的归宿”.举例已知ABC 的顶点分别是 ，记ABC 的外接)(0,24(),0(),2NnCnBA圆面积为 ，则 .nSnlim第六部分 排列、组合与概率47、解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么，其次要分清完成该事件是分类还是分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即淘汰法）思想.简单地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？怎么做
27、！”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问题，更要注意“特殊元素、特殊位置”之间的关系，一般地讲，从正面入手解决时， “特殊元素特殊照顾，特殊位置特殊考虑.”相邻问题则用“捆绑” ，不邻问题则用“插空”.特别提醒：解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏.举例对于问题：从 3 位男同学，5 位女同学这 8 位同学中选出 3 人参加学校一项活动，求至少有 2 位女同学的选法种数.一位同学是这样解的：先从 5 位女同学中选出 2 名有种选法，再在剩下的 6 位同学中任选一位有 种选法，所以共有 种不同的选5C16C165C法.请分析这位同学的错误原因，并给出正确的解法
28、.48、简单地说：事件 A 的概率是含有事件 A 的“个体数 ”与满足条件的事件的“总体数”的比值.现行高考中的概率问题实际上是排列、组合问题的简单应用.举例定义非空集合 A 的真子集的真子集为 A 的“孙集 ”，集合 的真子9,7531A集可以作为 A 的“孙集”的概率是 .第七部分 向量49、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线） ，首尾相接适用“蛇形法则” ， 表示ABC 的边 BC 的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同)(21ACB适用三角形法则， （终点连结而成的向量，指向被减向量） ， 表示 A、B 两点间的距|离；以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线分别
29、表示向量 + 、 （或 ）.ab abab举例已知非零向量 满足： ，则向量 的关系是（ ）, |ba,A、平行； B、垂直； C、同向； D、反向.50、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.与非零向量 同向的单位向量 ，反a|0a向的单位向量 .|0a举例已知ABC，点 P 满足 则点 P 的轨迹是（ ）)(,|(RACBAA、BC 边上的高所在直线； B、BC 边上的中线所在直线；C、 平分线所在直线； D 、BC 边上中垂线所在直线.51、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积 ；其baba,cos|中 可视为向量 在向量 上的射影.ba,cos| ba举例 1已知AB
30、C 是等腰直角三角形， 90，ACBC2，则 ；CBCA52、向量运算中特别注意 的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算.2|a举例已知 ，且 的夹角为 ，又 ，求1|,|ba,4baODa2,3.|CD53、向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.已知 则,21yxbyxa.若 ，则 2121,yxbayxba )(),(2BAA ，其坐标形式中是向量的终点坐标减去起点坐标.请注意：向量的坐标形式,21y实质上是其分解形式 的“简记”.其中 分别表示与 轴、 轴正方向同向的jiji,xy单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论：若向量 是非零向,21ba量则有： ； .0
31、21yxbab/ 021yx举例设 O 是直角坐标原点， ，在 轴上求一点 P，使jiOBjiA4,3最小，并求此时 的大小.BPA P54、利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是 .特别注意 不能等同,00ba于 所成角是锐角.当 同向时也满足 .ba, ba, ba举例 1已知ABC，则“ ”是“ABC 为钝角三角形”的（ 0ACB）A、充分不必要条件； B、必要不充分条件；C、充分必要条件； D、既不充分又不必要条件.举例 2 是过抛物线 焦点的直线，它与抛物线交于 A、B 两点，O 是l )(2pxy坐标原点，则ABO 是（ ）A、锐角三角形； B、直角三角形； C、钝角三角
32、形； D、不确定与 P 值有关.55、关注向量运算与其它知识的联系，与三角函数综合是高考中的常见题型.举例已知向量 .设 .Rxxbxa,2sin3,co,1cs2 baf)(（1）若 且 ，求 的值；31)(xf （2）若函数 的图像按向量 平移后得到函数 的图像，ysin)2|(,m)(xfy求实数 的值 .m,56、关注点、函数图像（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点按向量 平移得到点的坐标是 ；曲线 C：),(yxM,nma ),(/nymxM按向量 平移得到曲线 的方程为 .在实际应用0f ,/C0f过程中不必要死记公式，可结合图形将函数图像（曲线）按某向量平移的
33、问题可以先“翻译”成向左（右） 、向上（下）平移，再用函数图像变换的规律操作.举例 1将椭圆 对应的曲线按向量 平移后得到的曲线的方程为13)(4)2(2yx a标准方程，则 ；a第八部分 空间图形57、平面的基本性质是高考中立体几何的重点内容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形.举例 1已知线段 AB 长为 3，A、B 两点到平面 的距离分别为 1 与 2，则 AB 所在直线与平面 所成角的大小为；举例 2判断命题：“平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，则平面 与平面 是平
34、行平面”的真假.58、线面关系中三类平行的共同点是“无公共点” ；三类垂直的共同点是“成角 90”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行.线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.举例已知平面 ，直线 .有下列命题：（1） ；（2）,ba, /a/a（3） ；（4） .其中正确的命题序号是./b/ba59、直线与平面所成角的范围是 ；两异面直线所成角的范围是 .一般情况下，求2,02,0(二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求它们的锐角（直角）情况即可.举例设 A、B、C、D 分别表示下列角的取值范围：（1）A 是直线倾斜角的取值范围；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所
35、成角的取值范围；（ 4）D 是两异面直线所成角的取值范围.用“ ”把集合 A、B、C、D 连接起来得到.60、立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点（二面角的计算文科不要求）.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法（要在方便建立坐标系时用），特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为 时，其所成角的大小应a为 .|arcos举例正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 是 AB 中点，则异面直线 DE 与 BD1 所成角的大小61、直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平
36、面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化.举例正三棱柱 ABCA 1B1C1 的底面边长是 2，BC 1 与平面 ACC1A1 所成角为 30.试求：（1）三棱柱 ABCA 1B1C1 的体积；（2）点 C 到平面 BAC1 的距离.62、长方体、正方体是最基本的几何体，要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、高分别为 ，对角线长为 ，则 .利用这一关系可以得到下面两个结论：cba,l22cba（1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为 ，则 ；, 1cosos222（2）若长方体的对角线与三面所成角分别为 ，则 .举例长方体 AB
37、CDA 1B1C1D1 的对角线 AC1 与过 A 点的三条棱所成的角分别为 ，,若 ，则 （ ）3,4A、 ； B、 ； C、 、 D、不确定.64363、正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容，相当一部分的高考题是以正方体作为载体进行命题，或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的展开图，会由展开的平面图形想象立体图形.举例 1如图是一正方体的平面展开图，在这个正方体中：（1）AF 与 CN 所在的直线平行；（2）CN 与 DE 所在的直线异面；（3）CN 与 BM 成 60角；（4）DE 与 BM 所在的直线垂直.以上四个命题中正确的命题序号是；64、三棱锥顶点在
38、底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚.外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件） ；内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件） ；a a2aaaaAB CD 2垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）.举例 “三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱锥”的（ ）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.65、关注正棱锥中的几个直角三角形.（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组
39、成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.66、直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角在计算过程中都有射影定理.两直线所成角余弦值的大小是一直线上的线段在另一直线上的射影长（过此线段两端点向另一直线作垂线，两垂足之间的线段长，若两直线垂直，则两垂足重合，射影长为 0）与原线段长的比；二面角的平面角（或其补角）的余弦值等于 ，其中 是一个半平面上的图形/S面积， 是此图形在另一平面上的射影图形面积 ./S67、特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注
40、四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容.举例 1如图三棱锥 SABC 中，SA 平面 ABC， 90，则此三棱锥的四个面ACB中的直角三角形的个数有个.68、图形的分解、组合是立几命题的新思路，学会平面到空间、空间到平面的转化.举例下面图形为一四棱锥 SABCD 的侧面与底面.（1）请画出四棱锥 SABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在的话，指出是示意图中的哪一条，说明理由.（2）求出此四棱锥的体积；（3）设 E 是最长侧棱的中点，F 是底面正方形 ABCD 的边中与最长侧棱异面的边的中点，求EF 与最短侧棱所成角的大小 .第九部分 直线与圆锥
41、曲线70、直线的倾斜角是直线向上方向与 轴正方向所成的角，当直线是 轴或与 轴平行时，直xx线的倾斜角是 0，直线倾斜角的范围是 .当直线与 轴不垂直时，倾斜角的正切值),0称为直线的斜率.举例已知直线 的斜率是 ，直线 过坐标原点且倾斜角是 倾斜角的两倍，则直线1l32l 1l的方程为.2l分析：由 的斜率是 ，知直线 的倾斜角为 ，所以直线 的倾斜角为 ，则 的斜1l31l62l32l率为 ，所以直线 的议程为 .32lxy371、若直线的倾斜角为 ，直线的斜率为 ，则 与 的关系是：k； .2),(),0,不 存 在 ， tgk 0,karctg举例已知直线 的方程为 且 不经过第二象限
42、，则直线 的倾斜l )0(,bcyaxl l角大小为（ ）A、 ； B、 ； C、 ； D、barctg)(rtgbarctg.分析：注意到直线 的斜率 ，又直线不过第二象限，则 ，所以此直线的倾lbak0k斜角为 ，选 B.arctgk72、常见直线方程的几种形式及适用范围要熟悉：（1）点斜式 ，过定点)(00xy与 轴不垂直；（2）斜截式 ，在 轴上的截距为 与 轴不垂直；),(0yx kxyb（3）截距式 ，在 轴 轴上的截距分别为 与坐标轴不平行且不过坐标原点.1byaxba,特别注意的是当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上的截距也相等，直线在两坐标轴上的截距相等，则此直
43、线的斜率为1，或此直线过原点.举例与圆 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有（ )2()(yx）A、2 条； B、3 条； C、4 条； D、5 条.分析：注意到截距与距离之间的区别，截距指的是曲线（直线）与坐标轴交点的一个坐标，它有正负（也可以是 0）之分.选 B.73、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”.举例过点 与坐标原点距离为 2 的直线方程是.)3,2(P分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离来求解，则会漏解，这是因为在设立方
44、程的时候就排除了斜率存在的情况.考虑到直线 满足题义，故所求直线有两条，其2x方程为： 与 .0615yxx74、两直线位置关系讨论的主要依据是两直线的斜率，要注意斜率不存在时的情况.掌握点到直线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式.由一般式方程判断两直线之间的关系：直线 ： 不全为 0） 、1l 11,(0BACyBxA： ， （ 不全为 0）.则 的充要条件是 且2l 02CyBxA2,BA21/l 0121BA与11至少有一个不为零； 的充要条件是 ； 与 相交的充要条件1l0BAl是 .2举例 1直线 斜率相等是 的（ ）,l2/A、充分不必要条件；B、必要不充分条件
45、；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：直线 斜率相等，两直线可能重合，不一定有 ；又两直线 ，考虑到特2 21/l21/l殊情况，若 都与 轴垂直，则它们的斜率不存在，就谈不上斜率相等了.选 D.1,lx举例 2直线 过点 与以 为端点的线段 AB 有公共点，则直线 倾)3,(P)3,(),BA l斜角的取值范围是.分析：直线与线段之间的关系可借助于数形结合的方法来解决，先确定出“极限”位置时直线的倾斜角（斜率） ，再从旋转的角度进行变化研究. .若直线 与线段 AB 有2,1PBAkl公共点，则其斜率 存在时的取值范围是： 或 ，或其斜率不存在.因此直线 倾kkl斜角的取值范围是 .43,2arctg75、点 A、B 关于直线 对称即 是线段 AB 的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明 AB 的ll中点在 上.特别注意：当对称轴所在直线的斜率为 1 或 1 时，对称点的坐标
