1、1第五章 向量代数与空间解析几何5.1 向量既有大小又有方向的量表示： 或 （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作 、|a| 、ABa |AB|1 方向余弦： r（x，y ，z）,| r |=|,|)cos,(csrzyx22zyx2 单位向量 模为 1 的向量。)cos,(csa3 模azyx22|4 向量加法（减法） ),(2121zyxb5 ab| a | | b |coszab ab0（a bb a）6 叉积、外积|a b| =| a | b |sin = zyxbkjia/b a b0.( a b= - b a) 2121zy7 数乘： ),(kzyxk例 1 ， 与 夹角为 ，求
2、 。1|,2|baa3|ba解 22|cos|2)(| bab 713cos2例 2 设 ，求 。)(ba )()(acba解 根据向量的运算法则2)()(acba)()()()( acbcabacc)()()(4)(2cba例 3 设向量 ， ， ， 为实数，试证：当模kjikjib543baxx 最小时，向量 x 必须垂直于向量 b。解 由 ， 得 ， ，于是jiaji 50|,3|2212ab|)(| 222 5650432由此可知，当 时，模 最小，因而6|x 25,1726bax故 0)5,43(2,517bx所以，当模 x 最小时，向量 x 必须垂直于向量 b。8 向量的投影Prj
3、 b|b| 为向量 b 在向量 a 上的投影。a b| a |Prj bacos5.2 空间平面与直线5.2.1 空间平面点法式方程：与定点 连线和非零向量 n（a，b，c）垂直的点的集合。),(00zyxp。)()(0 cybxa3平面的一般方程： ，n（A，B，C）0DzByAx截距式方程： 1cba三点式方程 0131313222 zyx例 1 求过 ， ， 点的平面方程)0,(O),(A),(B解（1）点法式 n 。)7,51(231kji则平面方程为 ，即 。0)(7)0(5)(zyx 0zyx解（2）设平面方程为 ，代入 得 。DCBA),(OD代入 ， 得 解之得),31(A)1
4、,2(023ACB7,5代入方程消去 A，得方程为 75zyx例 2 一平面通过点 ，它在正 轴，正 轴上的截距相等，问此平面在三坐标面)3,21(上截距为何值时，它与三个坐标平面围成的四面体的体积最小？并写出此平面方程。解 依题意设所求平面的截距式方程为 ，由于点 在此平面上，故1czayx)3,2(有 ，解之 。132ca3ac四面体之体积 ， ，3216aV23)(aV令 得 。09,2ca例 3 求过点 ， 和 三点的平面方程。)1(A),(B),1(C解 由三点式方程 0320zyx故所求方程为 ，即)1(6)(9)1(3zyx 02zyx45.2.2 空间直线方向向量：平行于一已知
5、直线的任一向量称为直线的方向向量。易知直线上的任一向量都平行于直线的方向向量.若设已知向量为 ，则直线的对称式方程为),(nmlv nzmylx000一般式方程： 02211DzCyBxA参数式方程： .,0ptznt例 1 求过点 点，且与直线 平行的直线方程)2,(5213xzy解 将直线写成 ，以 为参数，则 ，故直线方程为5213xzy )2,3(v31zy例 2 求过点 且平行于平面 ，又与直线),(0p 01326:zyx相交的直线方程。5313zyx解 设 Q 为两直线的交点，则 ,即),(x 0,/0nQP， （1）)3()2()1(6zyx又 Q 在 L 上： （2）5323
6、1zy令（2）=t 解得 x, y, z 代入(1)解得 ，在反代入（2 ）得 Q 的坐标为 ，得直线0t )3,(为 6321z5.3 点、平面、直线的位置关系1 点到平面的距离点 到平面 Ax+By+Cz+D=0 得距离公式为：),(00zyxP5d = 2200|CBADzyx例 1 求平面 和平面 的交角平分面方程。62zyx 84平分面上的点到两面之间距离相等，故 222814|16| zyxzyx整理得： 或026147xy 057例 2 求平行于平面 且与球面 相切的平面方程。9z22zyx解 由于所求平面与 平行，故可设其为 。yx 0:Dx因为 与球面 相切，所以球心 到 的
7、距离422z)0,(，解之， ，故所求平面方程为1|0|22D3和02zyx 032zyx2 点到直线的距离点 到直线 L 的距离为 1M|10sMd例 3 求点 到直线 的距离。)4,(0252zyx解 ， ，于是所求距离 ,9131)(|2s5653|5|0 kjisd3. 两平面之间的夹角平面 和平面 的夹角 ,cos 1222121| CBA、 互相垂直相当于 0；12 22CBA、 互相平行或重合相当于 .12 21214两直线的夹角两直线的法线向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.6直线 和 的夹角 cos = (5)1L222121| pnmpn两直线 、 互相垂直相当于 0
8、；12 22两直线 、 互相平行或重合相当于1L2 .2121pn5. 直线与平面的夹角直线 s=(m，n， p)，平面 n（ A，B，C）夹角为 sin 222| pnmM直线垂直于平相当于 ；pn直线平行于或直线在平面上相当于 Am+Bn+Cp=0.6平面束过直线 L 的平面束方程为)12(0,2211DzCyBxA0(211 DzCyBxA例 1 求直线 在平面 上的投影直线的23:zl 83:方程。解 直线 的方程即为 ，故过 的平面束方程为l014zxyl)32(43yx即 043zyx因为此平面与平面 垂直，故有51),2(3,1(解得 ，于是与 垂直的平面方程为508zyx45)
9、2(即 ，从而所求投影直线方程为0319zyx 0832159zyx75.4 其它（旋转曲面方程）绕谁转谁不变，令一个用另两个变量的平方和的平方根代入0),(xzyf故绕 轴旋转， ，得 为旋转曲面方程。z2yx0),(2zyxf例 1 绕 x 轴转得 ，绕 z 轴转得 。012ycax 12cza 122czayx例 2 曲线 绕 z 轴旋转，求旋转曲面方程。)(,),(tztyt解 绕 z 轴旋转时， ， ， ，代入上式得02022yx)(0tz)(1zt)()(112 ztztyx例 3 求 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程。6解 承上题： ，令 ， ， ，)(02022tytxytzyx623tx3ty2tz则 2222 36113ztyx例 4 求直线 在平面 上的投影直线 的方程，:yl 012:zyx0l并求 绕 轴旋转一周所成曲面的方程。0y解 将直线 改写为 ，所以经过 的平面方程可设为l01zyxl，即 。)(zyx 0)1()(zy由于它与平面 垂直，故有 ，解得 。于是经过 且垂直于22l的平面方程为 。从而 的方程为0123zyx0l013zyx化为参数方程为)1(2yz8于是 绕 轴旋转一周生成的曲面方程为0ly 222)1(4yzx即 。04172yx
