1、第三章 随机向量,第二节 二维连续型随机变量,1、二维连续型随机变量的联合密度,设有二维随机向量(X,Y)，若存在非负可积函数f(x,y)，使得对于平面上的任意区域D，都有,则称(X,Y)为连续型的二维随机向量。并称f(x,y)为连续型二维随机向量(X,Y)的密度函数，或称之为X与Y的联合密度函数。记作(X,Y) f(x,y)，(x,y)R2,特别的，若D=(x, y)|axb, cyd，则上式变为：,令D为全部二维平面，得到密度函数的归一化条件：,例 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,试求概率P(X+Y1),x+y=1,x=1,y=2,解,联合密度函数的几何意义：,取为一个充分小的正数，
2、考虑(X,Y)落入一个小方块内的概率：,可以把f(a,c)看成(X,Y)落入(a,c)附近单位面积中的概率,例 设(X,Y)的联合密度为,求C； P(X,Y)D其中D=(x, y)| 0x1, 0y1.,解 由, P(X,Y)D,解 设(X,Y)的联合密度为,求常数C；P(X,Y)D.,解 由,2,1,x+2y=2,D, P(X,Y)D,2、二维均匀分布,引例 两人相约于8时至9时在某地会面,先到者等候另一人15分钟后即可离开,求两人能够会面的概率.(p13),解:用X,Y分别表示两人到达的时刻(单位:分),则他们到达的时刻(x,y)的取值区域为=(x,y)|0x60, 0y60,y,x,60
3、,0,60,假定他们到达的时刻(x,y)在正方形中是等可能的，(X,Y)的密度函数很自然的定义为：,其中c是一个常数。根据归一化条件，,更一般的有：,设D是二维平面的一个子集，在子集D上的联合均匀概率密度函数定义为：,例 设随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，其中,求X与Y的联合密度函数。,解,对于任何D的子集A，(X,Y)落入区域A的概率为,P(X,Y)A)=,3、联合密度与边缘密度,应用联合密度函数，可以刻画任何由(X,Y)所刻画的事件的概率。,作为特殊情况，可以计算单独随机变量(X或Y)所刻画的事件的概率。令A是一个实数集，考虑事件,与下面公式相比较：,可知X的密度函数为：,类似，
4、Y的密度函数为：,和,分别称为关于X和关于Y的边缘密度函数,例设(X,Y)服从区域D上的均匀分布， D=(x, y)|axb,cyd 求边缘密度.,解,X,Y,b,a,c,d,当xb时,当axb时,同理,例 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布，D=(x, y)|x2+y21 求边缘密度.,X,Y,1,-1,-1,1,解,当|x|1时,当|x|1时,同理,解 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布，D是由抛物线y=x2和直线y=x围成，求联合密度和关于X、Y的边缘密度.,解,1,1,X,Y,O,当x1时,当0x1时,同理,例 设(X,Y)的联合密度为,求边缘密度函数。,解：,4、联合分布函数,定义
5、设X和Y是同一个试验中的两个随机变量，它们的联合分布函数定义为：F(x, y)=PXx, Yy，xR, yR，,若X，Y具有联合概率密度函数f(x,y),则,联合密度函数也可以从联合分布函数通过求微分得到：,注意：事件Xx,Yy可理解为Xx与Yy的积事件。,y,x,(x , y),PaXb,cYd=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c),例 设X和Y为单位正方形上的联合均匀随机变量，则其联合分布函数为：,这样，对于单位正方形中的(x,y),例 设(X,Y)的联合密度为,求联合分布函数,解：,例设(X,Y)的联合密度为,求分布函数.,解 F(x, y)=PXx,Yy 当x0或y0时， F(x, y),当x0且y0时,2e-(x+2y),联合分布函数F(x, y)的性质 0F(x, y)1 (x, y)R2 F(x, y)分别关于x和y单调不减，即对固定的x0与y0，F(x, y0)与F(x0, y)都单调不减。 F(x, y)分别关于x右连续，关于y也右连续。 ,联合分布函数与边缘分布函数的关系 F(x, +)= = PXx, -Y+= PXx= FX(x) xR F(+, y)= = P-X+, Yy= PYy= FY(y) yR,即,
