1、 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网第 1 页（共 3 页）正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：010-82310666双曲线中重要结论的灵活应用周启东反比例函数的图象双曲线上的点的横坐标与纵坐标的乘积为一恒定值，这是反比例函数的一个重要性质。所以，围绕此性质的各种形式的考题层出不穷。但无论形式如何变化，其解题方法是有律可循的。例 1. 如图 1 所示，过函数 （k 是常数，k0，x0）的图象上两点 A、B ，分别作yxAC 垂直 x 轴于 C， BD 垂直 x 轴于 D，则AOC 的面积 S1 和 BOD 的面积 S2 的大小关系为（ ）
2、A. B. S12S12C. D. S1 和 S2 的大小无法确定图 1分析：设点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为（ ） ，根据题意可得：()xy1， xy2，。因为点 A 和点 B 在函数SOCSOD1 22，的图象上，所以有 。因此有 ，答案选 B。ykx()0kx12， Sk12总结：从上面的解题过程可以看出，这两个三角形的面积是相等的。进而我们得出一个一般结论：过双曲线 上的任意一点作任意一个坐标轴的垂线，这点和垂足及ykx()0坐标原点所构成的直角三角形的面积都等于 。有了这个结论后，利用它就能轻易解决其|k2他与之相关的题目了。例 2. 如图 2 所示， 是函数 的图象在第一象A
3、xyByCxy()()()123， 、 ， 、 ， x1限分支上的三个点，且 。过 A、B、C 三点分别作坐标轴的垂线，得矩形23ADOH、BEON、CFOP，它们的面积分别为 ，则下列结论中正确的是（ ）S123、 、A. B. S123 1http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网第 2 页（共 3 页）正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：010-82310666C. D. S231S123图 2分析：利用上面的结论可得这三个矩形的面积都是相应直角三角形面积的 2 倍，等于1，所以答案选 D。例 3. 如图 3 所示，P 是反比例函数图象在第二
4、象限分支上的一点，且矩形 PEOF 的面积为 3。则反比例函数的表达式是_。图 3分析：根据例 2 可知矩形 PEOF 的面积等于|k| ，所以有|k|=3，故 。因为反比例函k3数图象在第二、四象限，所以 ，故函数表达式为 。kyx例 4. 如图 4 所示，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于 A、C 两点，yx1AB 垂直 x 轴于 B， CD 垂直 x 轴于 D，则四边形 ABCD 的面积为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 32 52http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网第 3 页（共 3 页）正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：010-82310666图 4分析：根据双曲线的对称性可得四边形 ABCD 是平行四边形。因此它的面积是AOB面积的 4 倍。因此，四边形 ABCD 的面积为 ，所以答案选 C。12总结：数形结合是一种重要的数学思想。解此类题，只要掌握“反比例函数图象上任一点的横、纵坐标之积为一定值”这一基本性质，问题就迎刃而解了。
