1、二项式定理 -系数的性质,第5行 1 5 5 1,第0行 1,杨辉三角,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 1,第6行 1 6 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1, , ,15,15=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,第0行 1,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 1,第5行 1 5 1,第6行 1 6 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1, , ,第7行 1 7 21 21 7 1,10,35,+,+,+,+,=
2、,35,5,15,20,10,4,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,（3）各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总
3、数公式,1、在(ab)20展开式中，与第五项的系数相同的项是( ).,A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项,C,2、在(ab)10展开式中，系数最大的项是( ).,A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项,A,3、在(ab)10展开式中，系数最大的项是( ).,A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项,D,4、在(ab)11展开式中，系数最大的项是( ).,A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项,C,5、在(ab)11展开式中，系数最大的项是( ).,A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第
4、7项,B,已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+- +a9x+ a10,(1)求a0+ a1+ a2+- +a9+ a10的值,(2)求a0+ a2+ a4+- + a10的值,展开式的二项式系数的和为多少?系数的和为多少?,二项式系数的性质,1,、,对称性,2,、,增减性与最大值,3,、,各二项式系数和,与首末两端,等距离,的,两个二项式系数相等,最中间的二项式系数最大,的展开式中的各个二项式系数的和为,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,内容小结,二项式定理常见题型,问题,求展开式,分析：由 知，原式可变形为再展开，比直接展开简便。,解：,问题2,求指定项,分析：第 k+1 项的二项式系数 -第 k+1 项的系数-具体数值的积。,解：,求特定项,问题3,分析：常数项是含 的项，即不含 x 的项。,解：,求有理项,问题4,项,解：,求近似值,练习：,整除问题,练习：,求余数问题,练习：,
