1、三角形中的最值（或范围）问题 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例 1在ABC 中， 分别是内角 的对边，且 2asinA =（2b+c）sinB+（2c+b）sinC .,abc,ABC(1) 求角 A 的大小；（2）求 的最大值.sin变式 1：已知向量 ，
2、，且 ，其中 是ABC 的内(,)macb(,)nacb0mn,ABC角， 分别是角 的对边.,abcABC(1) 求角 的大小；（2）求 的最大值.si解：由 ，得 a +b c =ab=2abcosCn()()022所以 cosC= ，从而 C=601故 = sin(60 +A)sisin(12)OABA3所以当 A=30 时， 的最大值是i变式 2已知半径为 R 的圆 O 的内接ABC 中，若有 2R（sin Asin C）=（ ab）sinB22成立，试求ABC 的面积 S 的最大值。解：根据题意得：2R( )=( ab)*24ac2b化简可得 c =a +b ab, 由余弦定理可得：
3、C=45 , A+B=135 S= absinC= 2RsinA*2RsinB*sinC21= sinAsin(135 A)= ( sin(2A+45 )+1R0b，bb，则 AB，故 B ，根据余弦定理，有(4 )25 2c 225c ，4 2 ( 35)解得 c1 或 c7(舍去)故向量 在 方向上的投影为 | |cos BBA BC BA 2213.(2013 新标 2) ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 abcos Ccsin B.(1)求 B； (2)若 b2，求ABC 面积的最大值【简解】(1) sin Asin Bcos Csin Csin Bsin(B
4、C )sin Bcos Ccos Bsin Csin Bcos B.又 B(0， )，所以 B .4(2)ABC 的面积 S acsin B ac.由已知及余弦定理得 4a 2c 22ac cos .12 24 4又 a2 c22 ac，故 ac ，当且仅当 a c 时，等号成立因此 ABC 面积的最大值为42 2 1.214、 （ 2015 年新课标 2 文） ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 BAC,BD=2DC.（I）求 sinBC ； （II）若 60BAC,求 .1、已知 ABC中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ABC的 面积为 S,且2,tanSa
5、bc则等于（ ）A 34B 43C 43D 34 【答案】C 由 2Sabc得 22Sabc,即2212sinabbac,所以 sin,又sinco 1cCb,所以 sinco12C,即2sincos2C,所以 ta2,即 22ta4tn31,选 C 2、若三角形 的内角满足 ，则 的最小值是 ABCBAsiiincos【解析】 4214321432)(2cos 22 ababababcC461433、在 中， 为 边上一点， ，ABCDCAD B, 103cos,52cos（1 ）求 的大小； （2 ）当 时，求 的值中 点为 A解：（1） 由已知， ， 5cos1sin10cos1sin2
6、i)co(csBAC 253 。,04（2 ） （1 ） （2）BADABsini中 ， BACCsin)si(中 ， 5102)sin(2i)sin()1(2 BDCAD4、已知函数 co0fxmx的最大值为 2.(1)求函数 ()在 0,上的单调递减区间; （2)ABC 中,(46sin4fAfBAB,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 C=60,c=3,求ABC 的面积.5、在 中,内角 、 、 的对边分别是 、 、 ,且 .ABCBCabcbca322()求 ; ()设 , 为 的面积,求 的最大值,并指3aSAB3osSBC出此时 的值.答案：（1） （2） ，最大值 365A12CB
