1、第七讲 圆锥曲线知识归纳：1 双曲线和椭圆的标准方程知识结构相似：方程形式相似：只一号之别（椭圆是“+” 、双曲线是“” ） ；对称性相同：都关于 x 轴、y 轴、原点对称;双曲线和椭圆也有明显区别：双曲线和椭圆的形状是不一样的，双曲线是两条曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线；双曲线有两顶点，离心率 e1，准线在两顶点之间；而椭圆有四个顶点，离心率 0e1，准线在两顶点之外。2 从方程的形式看，在直角坐标系中，椭圆、双曲线和抛线这三种曲线的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲线。从点的集合（或轨迹）的观点看，它们都是与定点和定直线距离的比是常数 e 的点的集合（或
2、轨迹） ，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率 e 取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。圆锥曲线第二定义把“曲线上的点 M”、 “焦点 F”、 “相应准线 l”和“离心率 e”四者巧妙地联系起来，所以在圆锥曲线的问题中，凡与准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义已知双曲线 x22y 2=2，直线 l 过点(0 ，1)，(1) 若直线 l 与双曲线只有一个公共点，求直线 l 倾斜角的范围；(2) 当直线 l 与双曲线的左支交于两个不同点时，求直线 l 倾斜角的范围解：设直线 l：y =kx+1，解方程组，消元，得：(12k 2)x24kx4=012kx
3、y(1) 当 12k 2=0 时，即 时，直线 l 分别与双曲线的渐近线平行，此时直线 l与双曲线的一支有一个交点，直线 l 的倾斜角分别为 或 ；2arctg2arctg当 即 时，直线 l 与双曲线021k1021622 kkk相切，即直线 l 与双曲线只有一个公共点，直线 l 的倾斜角为 或 43综上，当直线 l 的倾斜角为 或 或 或 时，直线 l 与双曲线2arctg2arctg只有一个公共点；(2) 当 ，直线 l 与双曲线的左支交于两12021402160212 ，kkk点，此时直线 l 的倾斜角的范围是 42arctg，与双曲线的一支有一个交点，直线 l 的倾斜角分别为 或 ；
4、2arctg2arctg当 即 时，直线 l 与双曲线021k1021622 kkk相切，即直线 l 与双曲线只有一个公共点，直线 l 的倾斜角为 或 43综上，当直线 l 的倾斜角为 或 或 或 时，直线 l 与双曲线2arctg2arctg只有一个公共点；(2) 当 ，直线 l 与双曲线的左支交于两12021402160212 ，kkk点，此时直线 l 的倾斜角的范围是 42arctg，已知 l1、l 2 是过点 的两条互相垂直的直线，且 l1、l 2 与双曲线 y2x 2=1 各有两02，P个交点，分别为 A1、B 1 和 A2、B 2(1) 求 l1 的斜率 k1 的取值范围；(2)
5、若 ，求 l1、l 2 的方程25解：根据题意，l 1、l 2 的斜率存在设直线 l1 的方程为 ，(k 10)，直线 l2 的方程为 ，( k20)，1xy 2xky且 k1k2=1解方程组 ，消 y，得：22xy012112kxk解方程组 ，消 y，得：12k 22(1) l1、l 2 与双曲线各有两个交点，等价于31013402212 kkk ；3131 ， (2) 设 A1(x1，y 1)，B 1(x2，y 2)，212122 4xxkk 213k同理 ，2122 34134kkBA ， | A1B1|2=5|A2B2|2，215 ，解得 2121 3434kk 21k当 时，l1：
6、，l 2： ；xy2xy当 时，kl1： ，l 2： xy2xy实战演练：1到两定点 和 的距离之和为 4 的点 M 的轨迹是 （ ）)0,(F1),(2(A )椭圆 (B)线段 (C)圆 (D)以上都不对2椭圆 上一点 P 到一焦点距离为 7，则 P 到另一焦点距离为 （ ）2156xy(A) 3 (B)5 (C) 1 (D) 73若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍，则此椭圆的离心率为 （ ）（A） （B ） （C） （D ）42214已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是 （ ）11kyxk（A） （B） （C ） （D ）k00k11k或5双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F 2，在
7、左支上过点 F1 的弦 AB 的长为 5，1962yx那么ABF 2 的周长是 （ ）（A）16 （B）18 （C）21 （D）266求下列曲线的的标准方程：(1) 离心率 ，且经过点 的椭圆.23e(4,23)(2) 渐近线方程是 ，经过点 的双曲线.23yx),M(1297已知一个动圆与圆 C： 相内切，且过点 A（4，0） ，求这个动圆圆心2(4)10xy的轨迹方程.8已知 22, 41,(,)34xyRxyxyfxyy且 满 足 方 程 试 求 的 最 大 值 最 小 值 .9过点（0,4） ，斜率为 -1 的直线与抛物线 交于两点 A，B，如果)px(y02（O 为原点） ，求 P
8、的值及抛物线的焦点坐标。AB本章测试1双曲线 的左焦点到其渐近线的距离是 .21xy2若曲线 表示双曲线，则 的取值范围是 .24kk3当 且 时，曲线 与曲线 有共同的 .178181722yx1782yx4已知椭圆 上的一点 P 到左焦点的距离是 ，那么点 P 到椭圆的右准线的距592yx 34离是 . 5与圆 相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 22yx。6圆锥曲线 的一个焦点是 ，相应的准线方程为 ，且曲线 经过点 ，C1,0F01yC3,2则曲线 的形状是 。7，是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆的一条准线，点在 上，则角24yxl l的最大值是 。EPF8正三角形 中， 的中点
9、，则以 为焦点且过 的双曲线ABCACBED,分 别 是 CB,ED,的离心率是 。9已知抛物线 的焦点弦 的两端点为 , ,则式子 的值xy42)(1yx)(221xy一定等于 10已知点 ， 是双曲线 的右焦点，若双曲线上有一点 ，使)2,3(AF132yx P最小，则点 的坐标为 P111若关于 的方程 没有实数解，则实数 的取值范围为 xmx42 m12 是直线 和直线 垂直的6a031:1yal 0231:2 yaxl（ ）充分条件 必要条件 充要条件 既非充分也非必要条件ABCD13若方程 仅表示一条直线，则 的取值范围是（ ）kxy k3,30,或 30,或14过椭圆左焦点 且倾
10、斜角为 60的直线交椭圆于 两点，若 ，则椭圆FBAFB2的离心率等于 （ ）A32B2C21D3215已知向量 ， 与 的夹角为 ，则直线(cos,in),(3cos,in)abab60与圆 的位置是（ ） 01icosyx s(22yx相切 相交 相离 随 的值而定ABCD,16双曲线的一条渐近线方程是 ，焦距为 ，求此双曲线的标准方程xy231317.已知中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，直线x3210xy与它相交于 M、N 两点，且 ，求椭圆的方程。7ON18已知抛物线 ，直线 交 于 FE、 两点.求证：命题“若直线 过点xyC2:lCl，则 （ 为坐标原点） ”是真命题；A（ 2， 0） 90EOF
