1、第四章 空间与向量运算习题一1(1) )0,3(AB)0,5(C),34(A(2) 2221102A (3，4，0) 在 xoy 面上 B（0，4，3）点在 yoz 面上C（3，0，0）在 x 轴上 D（0，1，0）在 y 轴上63u3v3（ab2c ）3（3bc ）3a6b9c7 D COA B设四边形 ABCD 中 AC 与 DB 交于 O，由已知 AOOC ，DO OB因为 ABAOOBOC DODC,AD=AO+OD=OC+BO=BC所以 ABCD 为平行四边形。83Pcos(,)4*cos602rjuru即9设起点 0(,)Axyz24rjxPB0(1)4rjyPABy0(7)rjz
2、PABz解得： 003z12（1） a（2，1，1） 22(1)6a362cosa6cos6cos（2） b=(4,-2,2) 224()b362cosb6cos6cos ,630b（3） c=(6,-3,3) 226(3)6c362cos6cosos（4） d=(-2,1,-1) 22()1()6d362cos61cos6cos 6,30d与前三向量单位同的 。,30d13. 面 。轴 垂 直 ， 即 垂 直 于轴 垂 直 又 与表 明 向 量 既 和轴 平 行 ；表 明 向 量 与 轴 垂 直 ；表 明 向 量 与 xoyyxy0cos)3(1214. 。，方 向 余 弦 为 或即 ， 又
3、。 由 已 知设 向 量 的 方 向 余 弦 为 21,10 21cos0cs1)cos(s2coscos cos2c.2222 222 习题 二1； ； ；1469)b(a)5 3520725a32-4693cos()cos43ba 2 b2,由题意设(10)PQ 2(,),1R, 0121,0,PQARPQAR 即则 ,(,)323 。夹 角 为 135, 2320)()cos(,0,ba4 cbac abbaABCos2 .2,2 22 由 数 量 积 定 义 得 ：中 ， 建 立 向 量 如 图 ， 又证 明 ： 在5 ikjiba2120,1,-6 (,30)(,3)ab26)4(2
4、bakjikji7 2401)1()42()126321sin21 ABCABCS kjikji ACBS解 ： 由 向 量 积 定 义 ， 知8 112382432 babababadcS积 ， 即为 邻 边 的 平 行 四 边 形 面、即 以9 ccba证 ：10 共 线 。与故证 ： cba dbcadbadbabd 011 四 点 共 面 。、故证 ： DCBA012,683,1,4,02,443AD, 12 321321321 6,4, ecebea证 ：共 面 。、故 cbae0612461232113 共 面 。、故证 ： cba cacbac014解：101210102, ,2
5、02abc 15解： 2311231496663OABOCV即习题三1.（1） 由点法式： 2(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0, 即 2x+2y+3z-7=0(2) O(0,0,0) A(1,3,2) B(2,-1,-1) 则 OA= 1,3,2 OB= 2,-1,-1 n= = 所以 法向量为 -1，5，-7123kji kji75由点法式： -(x-1)+5(y-3)-7(z-2)=0 即 x-5y+7z=0(3) 设平面法向量为 A, B, C ,由点法式平面方程：A(x-2)+B(y-3)=0*因为: 平面平行 Z 轴, 所以：法向量垂直 Z 轴 即 c=0(,)(0,1AB
6、= -4, -2, 0 , n. 即 AB(4,20)(,)0ABC即 4A-2B=0 B=-2A 代入 *A(x-2)-2A(y-3)=0 两边同时除以 A 得方程 ： x-2y+4=0(4) 平面法向量为 n= 7, -3, 1 , 由点法式，平面方程为 ：7(x-1)-3(y+z)+(z-3)=0 即 7x-3y+z-16=02. (1) 过原点且以2，-1， -1 为法向量的平面zo y x (2) 表示平行于 Z 轴的平面，且过 XOY 面上的直线： -x+3y+6=0z yx (3) 表示平行于 XOZ 面的平面且过 (0, 7/3, 0)点zo yx(4) 表示平行于 Z 轴的平
7、面，且过 XOY 面的直线: x+y=03. （1） n1 2, 0, -1 n2 5,1,0 平面斜交（2） n1 1, 2, -1 n2 2, 4, -2 1/2=2/4=-1/-2 两平面平行（3） n1 2, -3, 1 n2 5, 1, -7 2 5+(-3) 1+1 (-7)=0两平面垂直4. = -5, -4, 1 = -4, 2, -6 ABACn= = 法向量为 11， -17， -13 6245kji kji2634由点法式： 即0)2(13)(7)1( zyx0317zyx5 设平面法向量为 n平面与另两平面垂直，则平面法向量也与另两平面法向量垂直n= 为 -16， 14
8、， 11 25341kji kji146n由点法式，平面方程为： 即0)8()2(zx016zx6 （1） 022221()3/1AByCDd（2） 2(1)763/1（3） 8()(4)2/3d7 （1）121222243()cos()()(420653ABC所求夹角为3/2arcos（2） 2221()1(3)cos 0所求夹角为 /8 设所成二面角平分面上任一点为（x, y, z）,该点到两平面距离相等即222 0)4(75)(11yxyx或 50z 05341z习题四1 （1） 取直线方向向量 AB= -2, -2, 6 由直线对称式方程 ： 32153zyx（2） 取直线方向向量 A
9、B= 0， 0， 1 则直线的方程为 ： 01yx2 直线与 平行，则直线的方向向量 t 同时与两平面的法向量垂直534zyx即 -2， -3， 1kjikjint 321021 t直线方程为zyx3 解 ： 先求出这条直线上一点 取 ),(010yx0z取 kjikjis3212对称式方程为： 1zyx参数方程为： tzt3124 解 ： 直线的方向向量 kjikjit 14625它可作为所求平面的法向量，由点法式： 0)3()2(zyx即 06146zyx5 解 ： 两直线的方向向量可分别取为 kjikjit 431251kjikjit 0183212120costt6 （1） 平面与直线
10、平行()4(7)3(2)（2） 平面与直线垂直7,23t7,23n（3） 平面与直线平行1(4)10又 ， ， 满足平面方程 03zyx直线在平面上7 直线平行于两个互不平行的平面 同时垂直于 （平面法向量）t21n所求直线方程 kjikjit 3210143yx8 设 分别为两直线的方向向量， 则 1t2 kjikjit211kjjit12设 为所求平面法向量 n kjikjitn103221由平面点法式方程： 即)()zyx 0zyx9 过点 作与直线垂直的平面，设平面与直线的交点与 P 距离即为所求。(3,12)P设与直线垂直的的平面法向量为 则平面方程为：kijin312即 平面与直线
11、的交点为0)2(3)1(zy 0zy的解 0142zyx231zyx23)/2()/1()3(2 p10 作过已知直线且垂直于已知平面的平面，设平面与已知平面的交线即为所求，过直线的平面束方程为 即0)9()4( zyxzyx由垂直条件：0921)4()32( x13过直线且与已知平面垂直的平面为：即09)2()134()132( zyx即所求直线方程为077zy 140737zyx习题四添加题11 判断直线 与平面 的位置关系， l5:123xl:510xkyz解 ： 直线的参数方程为 f 代入 中整理得13425tzytx52)7(kt当 时， 与 有唯一交点，交点为7kl )8,1,30
12、(k当 时，方程无解，即直线与平面平行12 判断 为何值时 与 相交m1l2?1 22317: :3442xyzxyzl lm解： 点 分别在 上， 方向向量)7,(),0(1pp1l 6,151p，令 显2,44,3221tt302435212 mt然 时， 与 相交。21mt1l2-习题五1设动点 M（x，y，z） ，BA )1(3)2()3(2)( 2222 zyxz等式两边平方化简得：xy2z0。2设 R 为球的半径， ，则球面方程为1422)(3)1(2z3方程中 系数均为 1，且不含 xy，yz，zx 项2,xy方程为球面，整理得：22 2222680(69)(816)(05)49
13、(3)(4)(5)4zzxyzxy即球心为（3，4，5） ，半径为 7 的球面。4（1） 将 代入 方程中的 z 后，即得 。2yz2x25yzx（2） 将 代入 方程中的 x 后，即得 。x4936y224936yz（3） 代入 方程中的 y 后，即得 。2y21zbc21bc5 z（1） y2194xzx z（2） y214xyx（3） 2z（4） 2yx6（1） 是 xoy 面上的椭圆 绕 x 轴旋转生成的，或是 xoz 面上的椭圆219xy绕 x 轴旋转生成的。219xz（2） 是 xoy 面上的双曲线 绕 y 轴旋转生成的，或是 yoz 面上的椭圆21绕 y 轴旋转生成的。21z（3
14、） 是 xoy 面上的双曲线 绕 x 轴旋转生成的，或是 xoz 面上的双曲线214x绕 x 轴旋转生成的。214xz（4） 是 xoy 面上的椭圆 绕 x 轴旋转生成的或是 xoz 面上的椭圆219y绕 x 轴旋转生成的。219xz7(1)22194xyz(2)249zxy(3) 224936xyz8 （1） 是 平面上的两直线 0yx2xoy xy（2） 是平面 上的双曲线1z（3） 是平面 面上的抛物线z2xxoy（4） 是平面 上的抛物线11（5） 是 面上的抛物线z2yyoz（6） 是平面 上的抛物线11x9 (画图) 10 解；母线平行于 轴且过轴线的柱面方程： ，准线方程：x 1
15、6zy32，是 面上的双曲线， 为双曲柱面，母线平行于0x16zy32yoz轴且过曲线的柱面方程为 ，准线为 ，是 面上的椭y 16y2x30y162x3xoy圆为椭圆柱面16y2x311 将 代入球面方程得投影柱面： ，在z 9)x1(yx2xoy面上的投影为 0z9)x1(yx2212 将 代入 得投影柱面： 3y 0x29y投影曲线为 ，原曲线是旋转抛物面 与 平面所截的抛0zx29y 2zy3物线x29y13 （1） 是在 平面上的一个圆，以（3，0，0）为圆心，4 为半径x（2） 是 平面上的椭圆，长轴为 且平行于 轴，短轴为 ，且平行于1y24x234轴z（3） 是 平面上的双曲线，虚轴于 轴平行，实轴与 轴平行。实半轴长为 3 2y，虚半轴长为 214 02 22 222yaxxoy axyoyyx axoayx面 上 的 投 影 为 ：在 面 上 的 投 影 柱 面 ：在面 上 的 投 影 为在 面 上 的 投 影 柱 面 上 为在过 交 线15（1） x=0, y=0, z=0, x=2, y=1, 3x+4y+2z-12=0（2） z=0, y=-3, x-y=0, x- y=0, (在第 1 象限 )32yx（3） 1,0,2zyxxoy(1)(2)zxoy(3)
