1、 侧侧侧1112016 年永州市高考预测卷二 数学（理科）命题人： 审题人： 本试卷满分 110 分，时量：100 分钟一、小题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1.（李毅供题）等比数列 满足 ，数列 满足 ，na36,81anb13,lognnba则 10bA B C D23197-8-2 （冯小军供题）在ABC 中， ， ，若当 时的ABC 有两2cosicA0xa解，则 的取值范围是 0xA B C D(1,)(1,3)(,)(2,)3 （王勇波供题）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A B
2、C D24648544 （左加供题）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的 3 个小球上分别标上号码 1、2、3 ，现任取出 3 个，它们的颜色与号码均不相同的概率是A B C D14928565 （王勇波供题）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D 356236 （王勇波供题） 九章算术 “勾股“章有一题:“ 今有二人同立甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？” 大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3，乙一直向东走，甲先向南走十步，后又斜向北偏东合适方向走了一段后与乙相遇甲、乙各走了
3、多少步？ 甲、乙分别走多少步？A20 、8 B24 、10 C10.5、24.5 D 24.5 、10.57 （左加供题）在平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与椭圆xoy21:xyCab交于第一、二象限内的两点分别为 ，若 的外接2:10xyCab,ABO圆的圆心为 ，则双曲线 C1 的离心率为 , 62侧侧侧11222（第 3 题图）（第 5 题图）8. （左加供题）已知函数 f（x）=x 2ax，g（x）= b+aln（x 1） ，存在实数 a（a 1） ，使y=f（x ）的图象与 y=g（x ）的图象无公共点，则实数 b 的取值范围为 （，）3ln24二、解答题（本大题共 8 小题，共
4、 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）9 （左加供题）设数列 的前项和为 ，且 是等差数列，已知 ，nanSn13a32415S（）求数列 na的通项公式；（）令 ，设数列 的前 n 项和为 ，求2()nnaSc为 奇 数为 偶 数 cnT2.nT10 （本题满分 12 分） （王勇波供题）如图，在四棱锥 中, 底面PABCD是矩形， ， 平面 , , ，E 为线段 DP 上的一点.ABCD1PA23（）求证:平面 平面 ；BCD（）若二面角 与二面角 的大小相等，求 DE 的长.E11 （申检生供题）某商店每天（开始营业时）以每件 150 元的价格购入 A 商品若干（A 商品在
5、商店的保鲜时间为 10 小时，该商店的营业时间也恰好为 10 小时） ，并开始以每件 300元的价格出售，若前 6 小时内所购进的 A 商品没有售完，则商店对没卖出的 A 商品将以每件 100 元的价格低价处理完毕（根据经验，4 小时内完全能够把 A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进 A 商品） 该商店统计了 50 天 A 商品在每天的前 6 小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损而不能看清，制成如下表格（注：视频率为概率） （）若某天商店购进 A 商品 6 件，在前 6 个小时中售出 4 件，若这些产品被 6 名不同的 顾客购买，现从这 6 名顾客中随机选 2
6、 个进行服务回访，则恰好一个是以 300 元价格购买的顾客，另一个以 100 元购买的顾客的概率是多少？ （）若商店每天在购进 5 件 A 商品时所获得的平均利润最大，求 x 的取值范围前 6 小时内的销售量 N（单位：件） 3 4 5频数 10 x yEDCBAP（第 10 题图）12 （蒋健供题）已知椭圆 ： （ ） ，过椭圆的右焦点 任作一条直C21xyab0aF线交椭圆 于 ， 两点，过椭圆中心任作一条直线交椭圆 C于 ， 两点ABMN（）求证： 与 的斜率之积为定值；MN（）若 ，试探究直线 与直线 的倾斜角之间的关系2a2AB13 （左加供题）已知函数 ， .1()lnafxxR（
7、）讨论函数 极值点的个数；（）如果区间1，e（ ）上总存在一点 ，使2.78e 00011(ln)xax成立，求 的取值范围.a请考生在下 列 三 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 14 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲（王勇波供题）如图，CD 为ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BCAE DCAF，B、E、F、C 四点共圆（ 1） 证明：CA 是ABC 外接圆的直径；（2） 若 BE EA2DB，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与 ABC
8、 外接圆面积的比值15（本小题满分 10 分）选修 44 ：坐标系与参数方程（申检生供题）极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 轴xOy x正半轴为极轴，曲线 的极坐标方程为 的参数方程为1C2=cos,C曲 线射线 ， ， 与曲线 交+tcos inxmty（ 为 参 数 ,00)，若 1|()(0)afxamn恒成立，求实数 a 的取值范围2016 年永州市高考预测卷二 数学（理科）答案1 C 2 D 3A 4 A 5C 6D7 8 （， ）63ln29解: （）由题意可得 ，所以 ，所以1S35S3(1)+2nSn所以 3 分n+2)S（时1a当 1时也成立,
9、所以所以 6 分n（）由（）得 ， ，21na21()2nSn所以 1()nc为 奇 数为 偶 数2132242()()nnnTcc 35211)( ()5 n 12 分.848()2123nnn10解：（） 面 面 ，QPACDPACD又 是矩形 面 ，BC又 面 平面 平面 ；AB（）解法一：过 P、E 作 AD 的垂线交 AD 于 M、N ，则知 PM底面 ABCD，PN底面ABCD，过 M、N 作 AB 的平行线交 BC 于 G、H ，连结 PG、EH ，则PGM 为二面角P BC A 的平面角，EHN 为二面角 E BC A 的平面角， 由题意得，2GHQ ， ， ， 31tan3P
10、G， ，tanEN3123DP解法二：依据解法一建立如图空间直角坐标系 则 ， ，Oxyz(3,10)B(,)C， ，设 ，则 ，易知(1,0)(,)DEa1(,2a平面 的一个法向量为 设平面 、平面 的ABCD1(0,)nurBECP法向量分别为 ， ，则21(,)nxyzr32,xyz(4,0)ur，(3,)Pur4,)EaQ Q 20nBCr23(,1)nur20nBCPur3(,1)nr由题意得： ，即 2321|cos,|cos,|ra2DE11 解：（ ）设“从这 6 名顾客中随机选 2 个进行服务回访，恰好一个顾客是以 300 元价格购买的，另一个顾客以 100 元购买”为事件
11、 A，P （A） ；142685C（）y=40x,依题知没有一天超过 6 件，故不必考虑进货 6 件，只考查进货 3 件、4 件与进货 5 件即可，若每天进货 3 件，平均每天的利润为 ，1450v若每天进货 4 件，平均每天的利润为 ，2(3)1045062若每天进货 5 件，平均每天的利润为，3(102)1(450)5()7xxv x HGNMPABCDEzyxOPABCDE依题知： ，即 ， ，则 32v67042x1.50,12x12证明：（）设 ， ，则 ，0(,)Ay1(,)My1(,)Ny由 ， ，两式相减得：20xab2xab，即 ，11222201bxa而 ， ，01AMyk
12、x01ANyk 为定值N2ba（）当弦 所在直线的斜率不存在时， ，B2bBa ，2b弦 M为此椭圆的短轴，此时， N/ A；当弦 ，弦 所在直线的斜率均存在时，不妨设弦 B与弦 的斜率分别为 ， ， ， ，1k21(,)Axy2(,)B， ，3(,)xy4(,)xy则直线 ， 的方程分别为： ， ，ck由 1220kcbab得： ，222111() 0xkcyakb ， ，2 1cax 12ABk2212()4kx2 121()4acbbak，42211()kk212()同理由 220yxbab得： ，()k ， ，12x212axk 34MNk223434()xx22104abkk，12a
13、b AB，MN即 ，21()kab 2214ka即 ，21b2即 ，2()()akabk ， ，21即 ，1弦 AB与弦 MN所在直线的倾斜角相等或互补易知弦 与弦 的斜率有一个存在，一个不存在时不满足题意13解：（）函数 的定义域为 , )(xf(0)22 211(1)()aaxafx如果 即 ，则 只有一个零点，因为当 时， ，当0()f (0,)x()0fx时， ， x=1 是唯一的极值点; (,)()f如果 ，令 ，得 或 ，1a01xa若 ，则 ， 在 上单调递增，没有极值点；()f()f,)若 ，因 在 和 的两侧附近均异号，故 和 都是极值x 1xa点综上，当 时，函数 只有一个
14、极值点；当 且 时函数 有两个极1a()f a2()f值点，当 时，函数没有极值点.2（）在1，e上存在点 ，使得 ，即 ，即函数0x001(ln)ax001lnaxx在 上的最小值小于零. 由 （）知1()lnafx,e，2()fx当 即 时， ， 在 上单调递减，所以 的最小值1ae()0fx()f1,e()fx为 ，由 ，解得 . 结合 得 ；(e)f1()e0af21+ea1ae当 即 时， ， 在 上单调递增，1a2()fx)(f,所以 最小值为 ，由 ，可得 ，与 矛盾； ()fx122当 即 时， 可得 最小值为 ，eae()fx(1)2ln(1)faa令 ，由 ，()ln()g
15、afln0ga知 为减函数， 0 即 ，也即当 时 在()()2ga(1)0f21ae()fx上的最小值小于零.1,e. 综上讨论可得所求 的范围是 (2,)14解：（）由 CD 为 ABC 外接圆的切线，DCBA，又 BCAEDC AF，CDBAEF ， DBC AFE，又 B、E、F、C 四点共圆，CBE AFE，故DBC CBA 90o，CA 是ABC 外接圆的直径；（）RTACD 中，CB 是斜边上的高，有 CB2DB AB，由 BEEA2DB，不妨设 DB1，则 BEEA 2，CB 24，CB 2，过 B、E、F、C 四点的圆的直径为 CE ，ABC 外接圆的直径为 AC ，两圆的面积比为 2525CEA15 （ 1）证明：易得 (4cos,)(4cos),(4cos),4AB则 而2OBC2cosO|2|（2）易得 则 的方程为： ，而 是经过点(1,3)(,)2C3()yx2C，倾斜角为 的直线， .0m,m16解：（I）不等式 14)(xf，即 413x，当 32x时，即 ,2 解得 ,325当 132x时，即 ,4123x 解得 ,213x当 时，即 无解，综上所述 )2,45(x . 5 分（） 41)(11nmnmn，记 axxaxfaxg ,2,34,3)()(32x时， axg32)(ma，要使不等式恒成立，只需 4)(ma即 10. 10 分
