1、 第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 第二节 行列式性质 第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 一 n阶行列式的性质 性质 1 行列式与它的转置行列式相等 . 行列式 称为行列式 的转置行列式 . TD D记 nnaaa2211nnaaa21122121nnaaaD2121nnaaannaaa2112TDnnaaa2211第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 由性质 1可得 上三角行列式 nnnnaaaaaa00022211211.2211 nnaaa nnnnaaaaaa21221211000第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 性质 2 互换行列式的两行（列） ,
2、行列式变号 . 说明 行列式中行与列具有同等的地位 ,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 . 例如 ,571571266853.825825361567567361266 853推论 1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零 . 证明 互换相同的两行，有 .0 D,DD 第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 性质 3 行列式 等于它 的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ,111Aa DaDnjijijnjijjiijn ,111Aa DaDniijijniijjiijn ),21( n,i ),21( n,j 第一式称为行列式按 第 i行 展开的展
3、开式，第二式 称为行列式按 第 j列 展开的展开式。 ininiiii AaAaAa 2211 ni ,2,1 njnjjjjj AaAaAa 2211 nj , 21第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 nnnjjjiijiinaaaaaaaa1111niiaa1ini a a 1jnj a a 1njjaa1ininiiii AaAaAa 2211njnjjjjj AaAaAa 2211nD第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 111iniinD证明 设 12nnDnD nD i1i是 的第 行逐行与上一行对调 次得到。则 于是 1 1 1 11( 1 ) ( 1 ) ( 1
4、)ni i jn n ij jjD D a D 注意到 1 ,j ijDD 于是 11( 1 )nnijn ij ij ij ijjjD a D a A 第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 0532004140013202527102135D例 1 计算行列式 解 0532004140013202527102135D 53204140132021351252第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 10810 532414132)1(52 11 53204140132021352152第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 推论 ,0,1ki kiDAa nnjkjij,0,1k
5、j kjDAa nniikij第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 kninkiki AaAaAa 2211nnnikiinaaaaaa1111iniaa1ini a a 1knkkkik aaaa 1knkaa1inikiii aaa 1= knknkkkk AaAaAa 2211=0 第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 性质 4 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式 . k knnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211证明 将行列式按照有公因式的行（或者列）展开。 （ 1
6、）从左向右看是行列式提取公因式法则。 （ 2）从右向左看是数乘行列式。 第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 推论 2 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 推论 3 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零 第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 形如 00000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa的行列式，称为 反对称行列式 。有如下特征： )(0)(jiifjiifaa jiij证明奇数阶反对称行列式的值为零 . 第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 证明 假设 D000003213231322312
7、11312nnnnnnaaaaaaaaaaaa由性质 1，有： TDD 00000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa（再由性质 3的推论） 第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 00000)1(321323132231211312nnnnnnnaaaaaaaaaaaaDn)1(所以当 n为奇数时，有 D D， 即 D 0 第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和 . nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211则 D等于下列两个行列式之和
8、： nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD122211111122211111例如 第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 性质 把行列式的某一列 (行 )的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不变 1 1 1 1 12 1 2 2 21i j ni j nn n i n j n na a a aa a a aa a a a1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 21()()()i j j ni j j nijn n i n j n j n na a k a a aa a k a a ac k ca a k a a ak第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 有问题可通过 Email询问 : 第二节 行列式性质 第一章 行列式 杨建新 (行列式中行与列具有同等的地位 ,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 ). 计算行列式常用方法： (1)利用定义 ;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值 小结 行列式的 6个性质
