1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 18 页魏县第三中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 已知空间四边形 ， 、 分别是 、 的中点，且 ， ，则（ ）ABCDMNABCD4A6BDA B C D5MN21015MN25MN2 设 f（x）是定义在 R 上的恒不为零的函数，对任意实数 x，yR ，都有 f（x）f（y）=f（x+y），若 a1=，a n=f（n）（nN *），则数列a n的前 n 项和 Sn 的取值范围是（ ）A ，2） B ，2 C ，1） D ，13 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数
2、f（x）= 被称为狄利克雷函数，其中 R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数 f（x）有如下四个命题：f （f（x）=1；函数f（x）是偶函数；任取一个不为零的有理数 T，f（x+T）=f（x）对任意的 x=R 恒成立；存在三个点A（x 1，f（x 1），B（x 2， f（x 2），C （x 3，f （x 3），使得 ABC 为等边三角形其中真命题的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4 已知正项数列a n的前 n 项和为 Sn，且 2Sn=an+ ，则 S2015 的值是（ ）A BC2015 D5 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）A4
3、B5 C D323精选高中模拟试卷第 2 页，共 18 页6 求值： =（ ）Atan 38 B C D7 设直线 x=t 与函数 f（x）=x 2，g（x）=lnx 的图象分别交于点 M，N ，则当|MN| 达到最小时 t 的值为（ ）A1 B C D8 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A B（4+ ） C D9 已知 xR，命题“ 若 x20，则 x0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D310在复平面内，复数 所对应的点为 ， 是虚数单位，则 （ ）zi(2,1)izA B C D 3i33i精选高中模
4、拟试卷第 3 页，共 18 页11函数 在定义域 上的导函数是 ，若 ，且当 时，()fxR()fx()2)fx(,1)，设 ， ， ，则（ ）(10()af2blog8cA B C Dabccabacb12已知函数 （ ），若数列 满足1()sin,1()2,2xnfx nNma，数列 的前 项和为 ，则 （ ）*()mafNmamS10596SA. B. C. D.909091【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.二、填空题13在直角梯形 分别为 的中点，,DC/AB,1,B2,EFAB,ABC点 在以 为圆心， 为半径的圆弧 上变动（如图所示）
5、若 ，其中 ，PEPD,R则 的取值范围是_214若复数 是纯虚数，则 的值为 .34sin(cos)i5ztan【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力15递增数列a n满足 2an=an1+an+1，（nN *，n1），其前 n 项和为 Sn，a 2+a8=6，a 4a6=8，则 S10= 16如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=5，BC=4 ， AA1=3，沿该长方体对角面 ABC1D1 将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 精选高中模拟试卷第 4 页，共 18 页17从等边三角形纸片 ABC
6、上，剪下如图所示的两个正方形，其中 BC=3+ ，则这两个正方形的面积之和的最小值为 18对于映射 f：AB，若 A 中的不同元素有不同的象，且 B 中的每一个元素都有原象，则称 f：AB 为一一映射，若存在对应关系 ，使 A 到 B 成为一一映射，则称 A 到 B 具有相同的势，给出下列命题：A 是奇数集，B 是偶数集，则 A 和 B 具有相同的势；A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B 是复数集，则 A 和 B 不具有相同的势；若区间 A=（ 1，1），B=R，则 A 和 B 具有相同的势其中正确命题的序号是 三、解答题19（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 平面
7、 ， 是 的中点.PABCDABPABCDEP（1）证明： 平面 ；/E（2）设 ， ，三棱锥 的体积 ，求 到平面 的距离.13D34V111精选高中模拟试卷第 5 页，共 18 页20（本小题满分 12 分） 如图 中，已知点 在 边上，且 ， ， ， ABCDBC0ADC2sin3BA2B3D（）求 的长；（）求 cos21已知等差数列 满足： =2，且 ， 成等比数列。（1） 求数列 的通项公式。（2）记 为数列 的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由.222015 年第 7 届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响，某连锁分店销售某种
8、纪念品，每件纪念品的成本为 4 元，并且每件纪念品需向总店交 3 元的管理费，预计当每件纪念品的售价为 x 元（7x9）时，一年的销售量为（x10） 2 万件（）求该连锁分店一年的利润 L（万元）与每件纪念品的售价 x 的函数关系式 L（x）；（）当每件纪念品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润 L 最大，并求出 L 的最大值精选高中模拟试卷第 6 页，共 18 页23一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点 南偏西 方向 10 海里的 处有一艘海A45B难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东 ，正以每小时 9 海里的速度向7一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度
9、为每小时 21 海里.（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；（2）若最短时间内两船在 处相遇，如图，在 中，求角 的正弦值.CBC24某校为了解 2015 届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前 3 个小组的频率之比为 1：2：4，其中第二小组的频数为 11（）求该校报考飞行员的总人数；（）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选 3 人，设 X 表示体重超过 60kg 的学生人数，求 X 的数学期望与方差精选高中模拟试卷第 7
10、页，共 18 页精选高中模拟试卷第 8 页，共 18 页魏县第三中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1 【答案】A【解析】试题分析：取 的中点 ，连接 ， ，根据三角形中两边之和大于第三边，两边BCE,MN2,3E之差小于第三边，所以 ，故选 A15考点：点、线、面之间的距离的计算1【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边
11、和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题2 【答案】C【解析】解：对任意 x，y R，都有 f（x） f（y）=f（x+y），令 x=n，y=1，得 f（n） f（1）=f（n+1），即 = =f（1）= ，数列a n是以 为首项，以 为等比的等比数列，a n=f（n）=（ ） n，S n= =1（ ） n ，1）故选 C【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意 x，yR ，都有 f（x）f（y）=f（x+y）得到数列a n是等比数列，属中档题精选高中模拟试卷第 9 页，共 18 页3 【答案】 D【解析】解：当 x 为有理数时，f（x）=1；当 x 为无理
12、数时，f （x）=0当 x 为有理数时，f（f（x）=f（1）=1；当 x 为无理数时，f（f（x）=f（0）=1即不管 x 是有理数还是无理数，均有 f（f （x）=1，故 正确；有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意 xR，都有 f（x）=f（x），故 正确； 若 x 是有理数，则 x+T 也是有理数； 若 x 是无理数，则 x+T 也是无理数根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T，f（x+T）=f（x）对 xR 恒成立，故 正确； 取 x1= ，x 2=0，x 3= ，可得 f（x 1）=0，f（x 2）=1，f（x 3）=0A（ ，0）， B（0，1）， C（
13、 ，0），恰好ABC 为等边三角形，故正确故选：D【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题4 【答案】D【解析】解：2S n=an+ ， ，解得 a1=1当 n=2 时，2（1+a 2）= ，化为 =0，又 a20，解得 ，同理可得 猜想 验证：2S n= + = ， = ，因此满足 2Sn=an+ ， S n= S 2015= 故选：D精选高中模拟试卷第 10 页，共 18 页【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题5
14、 【答案】D【解析】试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图 相互垂直，面 面,ADBGAEFG,根据几何体的性质得：,/,3,1ABCEABDGE 223,(3)C， ,所以最长为 22734524,10,FC考点：几何体的三视图及几何体的结构特征6 【答案】C【解析】解： =tan（49+11）=tan60= ，故选：C【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题7 【答案】D【解析】解：设函数 y=f（x）g（x）=x 2lnx，求导数得=当 时，y0，函数在 上为单调减函数，当 时，y0，函数在 上为单调增函数所以当 时，所设函数的最小值为所求 t 的值为故选 D精
15、选高中模拟试卷第 11 页，共 18 页【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+）上 x2lnx 恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量 x 的值8 【答案】 D【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是 2，四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是 = ，几何体的体积是 = ，故选 D【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察9 【答案】C【解析】解：命题“若 x20，则 x0”的逆命题是“ 若 x0，则
16、 x20” ，是真命题；否命题是“若 x20，则 x0”，是真命题；逆否命题是“若 x0，则 x20”，是假命题；综上，以上 3 个命题中真命题的个数是 2故选：C10【答案】D 【解析】解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算， ， ，选 D21zi(1)23zii11【答案】C【解析】考点：函数的对称性，导数与单调性精选高中模拟试卷第 12 页，共 18 页【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数 满足：()fx或 ，则其图象关于直线 对称，如满足 ，
17、()()faxf(2)fxaxxa(2fmn则其图象关于点 对称,mn12【答案】A. 【解析】二、填空题13【答案】 1,【解析】精选高中模拟试卷第 13 页，共 18 页考点：向量运算【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决14【答案】 34【解析】由题意知 ，且 ，所以 ，则 .sin054cos054cos53
18、tan415【答案】 35 【解析】解：2a n=an1+an+1，（ nN *，n1），数列 an为等差数列，又 a2+a8=6，2a 5=6，解得：a 5=3，又 a4a6=（a 5d）（a 5+d）=9 d2=8，d2=1，解得：d=1 或 d=1（舍去）an=a5+（n5）1=3+ （n 5） =n2a1=1，S10=10a1+ =35故答案为：35【点评】本题考查数列的求和，判断出数列a n为等差数列，并求得 an=2n1 是关键，考查理解与运算能力，属于中档题精选高中模拟试卷第 14 页，共 18 页16【答案】 114 【解析】解：根据题目要求得出：当 53 的两个面叠合时，所得
19、新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（54+55+34）2=114故答案为：114【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题17【答案】 【解析】解：设大小正方形的边长分别为 x，y，（x，y0）则 +x+y+ =3+ ，化为：x+y=3 则 x2+y2 = ，当且仅当 x=y= 时取等号这两个正方形的面积之和的最小值为 故答案为： 18【答案】 精选高中模拟试卷第 15 页，共 18 页【解析】解：根据一一映射的定义，集合 A=奇数B= 偶数，不妨给出对应法则加 1则 AB 是一一映射，故正确；对设 Z 点的坐标（a，b），则
20、Z 点对应复数 a+bi，a 、 bR，复合一一映射的定义，故不正确；对，给出对应法则 y=tan x，对于 A，B 两集合可形成 f：A B 的一一映射，则 A、B 具有相同的势；正确故选：【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力三、解答题19【答案】（1）证明见解析；（2） .31【解析】试题解析：（1）设 和 交于点 ，连接 ，因为 为矩形，所以 为 的中点，又 为BDACOEABCDOBDE的中点，所以 ， 且平面 ， 平面 ，所以 平面 .P/EPPE/PAC（2） ，由 ，可得 ，作 交 于 .由题设知366V34V3
21、2H平面 ，所以 ，故 平面 ，又 ，所以 到平面BCABAHB31AB的距离为 .1P31考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理.20【答案】 【解析】（）因为 ，所以 ,ADCsinsicos2BABAD所以 3 分2cosB在 中，由余弦定理可知，22cs精选高中模拟试卷第 16 页，共 18 页即 ,解之得 或 , 28150AD5AD3由于 ,所以 6 分B3（）在 中，由 可知 7 分2cosB1sinBAD由正弦定理可知， ,iniA所以 9 分s6sin3D因为 ，即 12 分2ADBC6cos3C21【答案】 见解析。【解析】（1）设数列a n的公差为 d，依
22、题意，2，2+d，2+4d 成比数列，故有（2+d） 2=2（2+4d），化简得 d24d=0 ，解得 d=0 或 4，当 d=0 时，a n=2，当 d=4 时，a n=2+（n1） 4=4n2。（2）当 an=2 时，S n=2n，显然 2n60n+800，此时不存在正整数 n，使得 Sn60n+800 成立，当 an=4n2 时，S n= =2n2，令 2n2 60n+800，即 n230n4000，解得 n40，或 n10（舍去），此时存在正整数 n，使得 Sn60n+800 成立，n 的最小值为 41，综上，当 an=2 时，不存在满足题意的正整数 n，当 an=4n2 时，存在满足
23、题意的正整数 n，最小值为 4122【答案】 【解析】解：（）该连锁分店一年的利润 L（万元）与售价 x 的函数关系式为：L（x）= （x7）（x10） 2，x 7，9 ，（）L （x）=（x10） 2+2（x7）（x 10）=3（x10）（x8），令 L（ x）=0，得 x=8 或 x=10（舍去），x7，8 ，L（x）0，x 8，9，L（x）0，L（x）在 x7，8 上单调递增，在 x8，9上单调递减，L（x） max=L（8）=4；答：每件纪念品的售价为 8 元，该连锁分店一年的利润 L 最大，最大值为 4 万元精选高中模拟试卷第 17 页，共 18 页【点评】本题考查了函数的解析式问题
24、，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题23【答案】（1） 小时；（2） 3314【解析】试题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在 处相遇.C在 中， ， ， ， .ABC457120AB9t21Bt由余弦定理得： ，2 cosABC所以 ，2()0(9)9()ttt化简得 ，解得 或 （舍去）.3612351所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为 小时.（2）由 ， .293AC24B在 中，由正弦定理得 .B36sinsin120si 414ACBA所以角 的正弦值为 .314考点：三角形的实际应用【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理
25、的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示 ，再根据正弦定理和余弦,ACB定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键24【答案】 【解析】（本小题满分 12 分）解：（）设该校报考飞行员的总人数为 n，前三个小组的频率为 p1，p 2，p 3，精选高中模拟试卷第 18 页，共 18 页则 ，解得 ， ， ，由于 ，故 n=55（）由（）知，一个报考学生的体重超过 60 公斤的概率为：p= ，由题意知 X 服从二项分布，即： XB（3， ），P（X=k）= ，k=0，1，2，3，EX= = ，DX= = 【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题
