1、- 1 -课时提升作业 二十五生活中的优化问题举例一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.(2016杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油温度(单位:)为 f(x)= x3-x2+8(0x5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 ( )13A.8 B. C.-1 D.-8203【解析】选 C.原油温度的瞬时变化率为 f(x)=x 2-2x=(x-1)2-1(0x5),所以当 x=1 时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.2.(2016西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为 ( )A. cm
2、B. cm33 1033C. cm D. cm1633 2033【解析】选 D.设圆锥的高为 xcm,则底面半径为 cm,其体积为2022V= x(20 2-x2)(00;当 0;当 400,品是 ( )- 3 -A.100 单位 B.150 单位C.200 单位 D.300 单位【解析】选 D.设总成本为 C 元,总利润为 P 元,则 C=20000+100x,P=R-C=3002220 000,0400,60 000100,400,所以 P= 300,0400,100,400,令 P=0,得 x=300.当 00;当 x300 时,P0),令 l=- +2=0,解得 y=16(另一负根舍去
3、),当 016 时, l0,所以当 y=16 时,函数取得极小值,也就是最小值,此时 x= =32.51216二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.(2016大连高二检测)某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件 x 元出售,可卖出(200-x)件,则当每件商品的定价为 元时,利润最大.【解析】利润 s(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6000,s(x)=-2x+230.由 s(x)=0,得 x=115,这时利润最大.答案:1157.(2016洛阳高二检测)某公司一年购买某种货物 400 吨,每次购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费为 4x
4、 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则 x 为 吨.- 4 -【解析】设该公司一年内总共购买 n 次货物,则 n= ,所以总运费与总存储费之和 f(x)400=4n+4x= +4x,1 600令 f(x)=4- =0,解得 x=20(-20 舍去),1 6002当 00,所以 x=20 是函数 f(x)的极小值点,也是最小值点,故当 x=20 时,运费与总存储费之和最小.答案:208.某厂生产某种产品 x 件的总成本 C(x)=1200+ x3,产品单价的平方与产品件数 x 成反比,生产 100 件这275样的产品的单价为 50 元,总利润最大时,产量应定为 .【解析】设产品单价为 a
5、 元,产品单价的平方与产品件数 x 成反比,即 a2x=250000,a= .总利润 y=500500- x3-1200(x0),y= - x2,由 y=0 得 x=25.当 x(0,25)时,y0,当 x(25,+)时,x275 250 225y20 时,q0,所以当 v=20 时,q 取得最小值.即当速度为 20 千米/小时时,航行 1 千米所需费用总和最少.10.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为 x(00,f(x) 是增函数;(0,59)当 x
6、 时,f(x)0,当 R0),贷款的利率为 4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为 x(x(0,4.8%),则使银行获得最大收益的存款利率为 .【解析】依题意知,存款额是 kx2,银行应支付的存款利息是 kx3,银行应获得的贷款利息是 0.048kx2,所以银行的收益是 y=0.048kx2-kx3(00;当 0.0320),则 f(x)=1- ,4 42由 f(x)=0 得 x=2.当 02 时,f(x)0,所以 f(x)在 x=2 处取得极小值 4,也是最小值.所以 Tmin=80+204=160.答案:160【补偿训练】(2016亳州高二检测)某超市中秋前 30 天,月饼销售总量 f(t)与时间 t(00,得 t2 ,令 g(t)0,h(x)是增函数.所以当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25(升).因为 h(x)在(0,120上只有一个极值,所以 11.25 是最小值.答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升.- 9 -
