1、 外力偶矩 传动轴所受的 外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速 n 与传递的功率 P 来计算。 当功率 P 单位为千瓦（kW ） ，转速为 n（r/min ）时，外力偶矩为 m) . (N 9549 e n P M 当功率 P 单位为马力（PS） ，转速为 n（r/min ）时，外力偶矩为 m) . (N 7024 e n P M 2.5.2 切应力计算公式 横截面上某一点切应力大小为 p p T I (3-12) 式中 p I 为该截面对圆心的极惯性矩， 为欲求的点至圆心的距离。 圆截面周边上的切应力为 max t T W (3-13) 式中 p t I W R 称为扭转截面系数，R
2、为圆截面半径。 2.5.3 切应力公式讨论 （1） 切 应 力公 式（3-12） 和式 （3-13） 适用 于材 料在 线 弹性 范围 内、 小变形 时 的等 圆截 面直 杆；对 小 锥 度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允许范围内。 （2） 极惯性矩 p I 和扭转截面系数 t W 是截面几何特征量， 计算公式见表 3-3。 在面积不变情况下， 材料离 散程度高， 其值愈大； 反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。 因此， 设计空心轴比实心轴更为 合理。 表 3-3 实心圆 （外径为 d） 4 32 p d I 3 16 t d W 空心圆 （外径为 D ， 内 径为 d）
3、 4 4 (1 ) 32 p D Ia d a D 4 4 (1 ) 16 t D Wa 2.5.4 强度条件 圆 轴 扭 转 时 ， 全 轴 中 最 大 切 应 力 不 得 超 过 材 料 允 许 极 限 值 ， 否 则 将 发 生 破 坏 。 因 此 ， 强 度 条 件 为 max max t T W (3-14) 对 等圆截面直杆 max max t T W （3-15） 式中 为 材料的许用切应力。 3.1.1 中性层的曲率与弯矩的关系 1 z M EI (3-16) 式中， 是变形后梁轴线的曲率半径；E 是材料的弹性模量； E I 是横截面对中性轴 Z 轴的惯性矩 。 3.1.2 横
4、截面上各点弯曲正应力计算公式 Z M y I (3-17) 式中，M 是横截面上的弯矩； Z I 的意义同上；y 是欲求正应力的点到中性轴的距离 最大正应力出现在距中性轴最远点处 max max max max zz MM y IW （3-18） 式中， max z z I W y 称为 抗弯截面系数。 对于hb 的矩形截面， 2 1 6 z W bh ； 对于直径为 D 的圆 形截面， 3 32 z WD ； 对于内外径之比为 d a D 的环形截面， 34 (1 ) 32 z W D a 。 若 中 性轴 是横 截面 的对称 轴 ，则 最大 拉应 力与最 大 压应 力数 值相 等，若 不
5、是对 称轴 ，则 最大拉 应 力与 最大 压 应力数值不相等。 3.2 梁的正应力强度条件 梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力， 其表达式为 max max z M W （3-19） 对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称 截面梁（如 T 字形截面、上下不等边的工字形截面等） ， 其强度条件应表达为 max max 1 lt z M y I （3-20a ） max max 2 yc z M y I （3-20b） 式中， , tc 分别是材料的容许拉应力和容许压应力； 12 , yy 分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴 的距离。 3.3 梁的切应力 z z QS Ib （3-2
6、1） 式中，Q 是横截面上的剪力； z S 是距中性轴为 y 的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩； z I 是整个横截面 对中性轴的惯性矩；b 是距中性轴为 y 处的横 截面宽度。 3.3.1 矩形截面梁 切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。 切应力计算公式 2 2 3 6 4 Qh y bh （3-22） 最大切应力发生在中性轴各点处， max 3 2 Q A 。 3.3.2 工字形截面梁 切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的 9597% ，因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。 切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为 2 2 2 2 8 2 4 z
7、 Q B b h H h y Ib (3-23) 近似计算腹板上的最大切应力： dh F s 1 max d 为腹板宽度 h1 为上下两翼缘内 侧距 3.3.3 圆形截面梁 横截面上同一高度各点的切应力汇交 于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。 最大切应力发生在中性轴上，其大小为 2 max 4 2 4 83 3 64 z z dd Q QS Q d I b A d （3-25） 圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。 3.4 切应力强度条件 梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即 max max max z z QS Ib (3-26) 式中， max Q 是梁上的
8、最大切应力值； max z S 是中性轴一侧面积对中性轴的静矩； z I 是横截面对中性轴的惯 性矩；b 是 max 处截面的宽度。对于等宽度截面， max 发生在中性轴上，对于宽度变化的截面， max 不一定发 生在中性轴上。 1. 纯弯曲梁的正应力计算公式 2. 横力弯曲最大正应力计算公式 3. 矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数? ， ， 4. 几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（ 为中性轴一侧的横截面对中性轴 z 的静矩，b 为横截 面在中性轴处的宽度） 5. 矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处 6. 工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式 7. 轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公
9、式 8. 圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处 9. 圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处 4.2 剪切的实用计算 名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ，则名义切应力为 A Q （3-27） 剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力 ,即 A Q（3-28） 5.2 挤压的实用计算 名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则 bs bs bs bs P A （3-29） 式中， bs A 表示有效挤压面积， 即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。 当挤压面为平面时为 接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的
10、投影面积。 挤 压 强 度 条 件 挤 压 面 上 的 工 作 挤 压 应 力 不 得 超 过 材 料 的 许 用 挤 压 应 力 bs bs bs A P （3-30） 1， 变形 计算 圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为 l 的两个横截面的 相对扭转角 为 dx GI T l P 0 (rad) (4.4) 若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为 P GI Tl (rad) (4.5) 图 4.2 式中 P GI 称为圆轴的抗扭刚度。显然， 的正负号与扭矩正负号相同。 公式（4.4）的适用条件： （1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即 P ； （2
11、） 在长度 l 内，T 、G 、 P I 均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求 代数和得总扭转角。即 n i P i i i i I G l T 1 (rad) (4.6) 当 T 、 P I 沿轴线连续变化时,用式(4.4) 计算 。 2， 刚度 条件 扭 转的 刚度条 件 圆轴 最大的单位长度扭转角 max 不得超过许可的单位长度扭转角 ,即 max max P GI T(rad/m) (4.7) 式 180 max max P GI T（ m / ） （4.8） 2， 挠曲 线的近 似微 分方 程及 其积分 在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系 EI
12、 M 1对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得 EI x M x 1利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得 挠 曲线 的近似 微分 方程 ，即 EI x M （4.9） 将上式积分一次得转角方程为 C dx EI x M （4.10） 再积分得挠曲线方程 D Cx dx dx EI x M （4.11 ） 式中，C,D 为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边 界条件外，还需要利用连续条件。 、 弯曲 (1)积分法: ) ( ) ( x M x EIy C x x M x EI x EIy d ) ( ) ( ) ( D
13、 Cx x x x M x EIy d d ) ( ) ( (2) 叠加法: 2 1 , P P f = 2 1 P f P f + ， 2 1 ,P P = 2 1 P P (3) 基本变形表(注意： 以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号) EI ML B EI PL B 2 2 EI qL B 6 3 EI ML f B 2 2 EI PL f B 3 3 EI qL f B 8 4 EI ML B 3 , EI ML A 6 EI PL A B 16 2 EI qL A B 24 3 EI ML f c 16 2 EI PL f c 48 3 EI qL f c 384
14、4 (4) 弹性变形能(注：以 下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出) EI L M U 2 2 = i i i EI L M 2 2 = EI dx x M 2 2(5) 卡氏第二定理(注： 只给出线性弹性弯曲梁的公 式) P A B M A B A B q L L LP M A B q L A B 2 / L 2 / L A B L C C C i i P U dx P x M EI x M i3， 梁的 刚度条 件 限制梁的最大挠度 与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的 刚 度条 件， 即 max， max（4.12） 3， 轴向 拉伸或 压缩 杆件
15、 的应 变能 在线弹性范围内，由功能原理得 l F W V 2 1 当杆件的横截面面积 A 、轴力 FN 为常 量时， 由胡克定律 EA l F l N ，可得 EA l F V N 2 2 （4.14） 杆单位体积内的应变能称为 应 变能 密度 ，用 V 表示。线弹性范围内，得 2 1 V （4.15 ） 4， 圆截 面直 杆扭转 应变 能 在线弹性范围内，由功能原 e r M W V 2 1 将 T M e 与 P GI Tl 代入上式得 P r GI l T V 2 2 （4.16 ） 图 4.5 根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度 r V ： r V r 2
16、1 （4.17） 5， 梁的 弯曲 应变能 在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得 e M W V 2 1 将 M M e 与 EI Ml 代入上式得 EI l M V 2 2 （4.18） 图 4.6 横力弯曲时， 梁横截面上的弯矩沿轴线变化， 此时， 对于微段梁应用 式（ 4.18） ， 积分得全梁的弯曲应变能 V ，即 l EI dx x M V 2 2 （4.19） 2截面几何性质 的定义式列表于下： 静 矩 惯性矩 惯性半径 惯性积 极惯性矩 A y zdA S A y dA z I 2A I i y y A yz yzdA I A p dA p I 2 A z ydA S A z
17、dA y I 2A I i z z 3惯性矩的平行移轴公式 A a I I C y y 2 A b I I C z z 2 静矩：平面图形面积对 某坐标轴的一次矩，如图 -1 所示 。 定义式： A y zdA S ， A z ydA S （-1） 量纲为长度的三次方。 由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标 C z 和 C y 。则 y A C S dA z z A 由此可得薄板重心的坐标 C z 为 A S A zdA z y A C 同理有 A S y z C 所以形心坐标 A S z y C ， A S y z C （-2） 或 C y z A S ， C z y A S 由式
18、（-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即 0 C y ， 0 z S ； 0 C z ， 则 0 y S ；反之，若图形对 某一轴的静矩等于零， 则该轴必然通过图形的 形心。静矩与所选坐标 轴有关， 其值可能为正，负或零。 如一个平面图形是由几个简单平面图形组成， 称为组合平面图形。 设第 I 块分图形的面积为 i A ， 形心 坐标为 Ci Ci z y , ，则其静矩和形心坐标分别为 Ci i n i z y A S 1 ， Ci i n i y z A S 1 （-3） n i i n i Ci i z C A y A A S y 1 1 ， n i i n i
19、ci i y C A z A A S z 1 1（-4） -2 惯 性矩和 惯性半 径 惯 性矩 ： 平面图形对某 坐标轴的二次矩，如图 -4 所示。 A y dA z I 2 ， A z dA y I 2（-5） 量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义 A I i y y ， A I i z z （-6） 为图形对 y 轴和对 z 轴的惯性半径。 组 合 图 形 的 惯 性 矩 。 设 zi yi I I , 为 分 图 形 的 惯 性 矩 ， 则 总 图 形 对 同 一 轴 惯 性 矩 为 yi n i y I I 1 ， zi n i z I I 1 （-7）若以 表示微面积 dA 到坐标
20、原点O 的距离,则定义图形对坐标原点O 的极惯性矩 A p dA I 2 （-8）因为 2 2 2 z y 所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系 z y A p I I dA z y I 2 2（-9） 式（-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的 极惯性矩。 下式 A yz yzdA I （-10） 定义为图形对一对正交轴 y 、 z 轴的惯性积。 量纲是长度的四次方。 yz I 可能为正， 为负或为零。 若 y ，z 轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。 -3 平行 移轴 公式 由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的 惯 性 矩 或 惯 性 积 并不相
21、同，如果其中一对轴是图形 的形心轴 c c z , y 时，如图-7 所示，可得到如下平行移轴公式 abA I I A b I I A a I I C C C C z y yz z z y y 2 2（-13） 简单证明之： A A C A C A C A y dA a dA z a dA z dA a z dA z I 2 2 2 2 2 其中 A C dA z 为图形对形心轴 C y 的静矩，其值应等于零，则得 A a I I C y y 2 同理可证（I-13）中的 其它两式。 结论： 同一平面内对所 有相互平行 的 坐标轴的 惯性矩，对形 心轴的最 小。在使用惯 性积移轴 公式时应注
22、意 a ,b 的 正 负号 。 把斜 截 面上 的 总应 力 p 分 解成 与 斜截 面 垂直 的正 应力 n 和 相切 的 切应 力 n （图 13.1c ）, 则其与主应力的关系为 2 2 2 1 2 3 n l m n （13.1 ） 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 nn l m n （13.2 ） 在以 n 为横坐标、 n 为纵坐标的坐标系中， 由上式所确定的任意斜截面上的正应力 n 和切应力 n 为由三 个主应力所确定的三个圆所围成区域 （图 13.2 中阴影） 中的一点。 由 图 13.2 显见 13 max 2 、 扭转 p p i i p GI dx x T GI L
23、T GI TL 0 180 p GI T L（ m / ） 三、应力状态与强度理论 、 二向应力状态斜截面应力 2 sin 2 cos 2 2 xy y x y x 2 cos 2 sin 2 xy y x 、 二向应力状态极值正应力及所在截面方位角 图13.2 2 2 min max ) 2 ( 2 xy y x y x y x xy 2 2 tg 0、 二向应力状态的极值剪应力 2 2 max ) 2 ( xy y x 注：极值正应力所在截面与极值剪应 力所在截面夹角为 45 0、 三向应力状态的主应力： 3 2 1 最大剪应力 ： 2 3 1 max 5、二向应力状态的广义胡克定律 （1
24、）、 表达形式之一（用应力表示应变） ) ( 1 y x x E ) ( 1 x y y E ) ( y x z E G xy xy （2）、 表达形式之二（用应变表示应力） ) ( 1 2 y x x E ) ( 1 2 x y y E 0 z xy xy G 6、三向应力状态的广义胡克定律 z y x x E 1 z y x , , G xy xy zx yz xy , , 7、强度理论 （1） 1 1 1 r 3 2 1 2 r b b n （2） 3 1 3 r 2 1 3 2 3 2 2 2 1 4 2 1 r s s n 7、圆轴弯扭组合：第三强度理论 z 2 n 2 w 2 n
25、2 w r3 4 W M M第四强度理论 z 2 n 2 w 2 n 2 w r4 75 . 0 3 W M M8、平面应力状态下的应变分析 （1） 2 sin 2 2 cos 2 2 xy y x y x 2 sin 2 2 y x 2 cos 2 xy（2） 2 2 min max 2 2 2 xy y x y x y x xy 0 2 tg 四、压杆稳定 1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类） 细长受压杆 p 2 min 2 cr L EI P 2 2 cr E 中长受压杆 s p b a cr短粗受压杆 s “ cr ”= s 或 b 2、关于柔度的几个公式 i L p 2 p
26、 E b a s s 3、惯性半径公式 A I i z （圆截面 4 d i z ，矩形截面 12 min b i （b 为短边长度） ） 五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 U V T 冲击系数 st d 2 1 1 h K （自由落体冲击） st 2 0 d g v K （水平冲击） 六、截面几何性质 1、惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状） dA I P 2 = 32 4 d 4 4 1 32 DD d 64 4 2 d dA y I z 4 4 1 64 D12 3 bh12 3 hb32 3 max d y I W z z 4 3 1 32 D6 2 bh6 2 hb
