1、专题六透析解析几何几类典型问题的解法,解析几何是高中数学最主要的知识板块之一,在高考中占有重要位置.解析几何试题类型众多、解法灵活,但其中有很多类问题的解法具有一般性,下面我们以解析几何试题的类型为线索,总结其几类问题的解题方法.,方法一,中点问题点差法,思路点拨:思路1,点差法,根据A,B在椭圆上,过点F,中点为(1,-1),设出点A,B的坐标后,通过上述关系得出方程组,消掉A,B的坐标,得出a,b的方程组求出a,b;思路2.设出直线方程,消元后利用根与系数的关系得出a,b的方程解之.,方法总结 直线y=kx+m与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中点M(x0,y0),
2、这类问题有两个基本的解决方法.(1)“点差法”,即A,B在圆锥曲线上,坐标适合圆锥曲线方程,得两个方程作差,通过分解因式,然后使用中点坐标公式、两点连线的斜率公式建立求解目标方程,解方程解决问题.(2)常规方法,即把直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得出一元二次方程后,利用根与系数的关系建立求解目标的方程后解决问题.,方法二,分点问题方程(组)法,方法总结 “直线与圆锥曲线相交的弦分点”,最基本的解法是本解析中解法1为利用根与系数的关系得出点的坐标的两个方程、分点关系得出点的坐标的一个方程(横坐标或者纵坐标),从三个方程中消去点的坐标,就得出了求解目标的方程,问题得解.解法2也是解决该类问题的基
3、本方法,相对解法1,运算方面复杂一些.解法3是对抛物线焦点弦的一个专门解法,其特点是应用抛物线的定义把问题转化为解一个直角三角形.该类试题也经常以解答题的形式出现.,方法三,对称问题几何意义法,思路点拨:(1)P,F1两点关于其中垂线对称,利用点关于直线对称满足的关系,然后分析其中的不等关系,得出离心率的取值范围;,答案:(1)D,思路点拨:(2)根据几何意义,把求解目标转化为两点间的距离与连接两点间的线段长度最小.,方法总结 (1)两点关于直线对称满足两个条件:一是两点连线和对称轴垂直,二是两点的中点在对称轴上.根据这两个条件就可以求解其中的一些未知量,到达解题的目的.(2)利用关于直线对称
4、的两点到对称轴上同一个点的距离相等,可以把折线之和的最小值,转化为直线上两点间距离的最小值.,方法四,范围问题函数(不等式)法,思路点拨:(1)求出a,c满足的不等关系;,答案:(1)B,思路点拨:(2)建立关于点P的坐标的函数关系式.,答案:(2)(-,-1,方法总结 (1)范围问题最基本的解法是函数方法与不等式方法.(2)解析几何中最常见的是求椭圆、双曲线的离心率的范围,基本方法为:一是直接求出a,c满足的不等式;二是建立离心率满足的不等式,求出e的范围.,方法五,最值问题不等式法,思路点拨:建立OMN面积关于k,m的函数关系式.,方法总结 解析几何最值(范围)问题,有时需要使用双参数表达
5、直线方程,解决方法:一是根据直线满足的条件,建立双参数之间的关系,把问题化为单参数问题;二是,直接使用双参数表达问题,结合求解目标确定解题方案.,方法六,定点问题参数法,思路点拨:思路1.以直线AM的斜率为参数表达直线MN的方程;思路2.以双参数表达直线MN的方程,求解双参数满足的关系.,方法七,定值问题变量无关法,方法总结 定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关,这些变化的因素可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等,这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标,通过运算求证目标的取值与变化的量无关.,方法八,切线问题消元法,思路点拨:(1)使用双参数设出切线方程,与求出的椭圆方程联
6、立消元后,根据得出的一元二次方程由判别式等于零,确定两参数间的关系.,(2)已知点P(-4,y0)(y03),圆C1:(x-5)2+y2=9.抛物线C2:y2=20x.过点P作圆C1的两条切线,分别与抛物线C2相交于A,B和C,D,求证:A,B,C,D的纵坐标之积为定值.,思路点拨:(2)两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1,k2满足同一个方程,把直线方程代入曲线C1方程,可用y0,k1,k2表示四点的纵坐标之积.,方法总结 (1)一般二次曲线的切线,可以根据直线与曲线方程联立消元后,得到的一元二次方程的判别式等于零,确定各个量之间的关系(如直线的斜率与截距的关系).(2)圆的切线可以使用圆
7、心到直线的距离等于圆的半径确定各个量之间的关系.,方法九,轨迹问题参数(直接、定义、代入)法,思路点拨:确定R(x,y)的坐标满足的方程即得.,方法总结 (1)求动点的轨迹方程的基本方法是直接法、待定系数法(定义法)、代入法、参数法(本例即为参数法)等,不管使用什么方法都要注意求出的轨迹的范围.(2)当直线过点(a,0)且直线的斜率不等于零时,可以设直线方程为x=my+a,既可以使计算简单,也可以避免直线斜率不存在的讨论.,方法十,探索性问题推算法,思路点拨:在假设存在的情况下,求出k值,看k值是否符合要求即可.,方法总结 解析几何中探索性问题的解法在假设其存在的情况下进行计算和推理,根据得出的结果是否合理,确定其存在与否.,
