1、专题七十大解题方法,数学的解题方法,最具普遍性的是分析法与综合法,其次为反证法、数学归纳法等,在这些方法之外,还有一些虽然不具备普遍性,但在某个范围内应用广泛的方法,这些方法对提高解题能力也是具有不可或缺的作用,下面作简要阐述.,方法一,特值法,思路点拨:选取不同的自变量值计算函数值,结合图象逐个排除.,方法总结 特值法在解选择题、一般的探索性问题中具有广泛的作用.选择题中可以利用特值法排除选项,一般的探索性问题中可以利用特值法发现一般规律,指明解题方向.,方法二,方程法,思路点拨:(1)已知与sin2+cos2=1联立,求出sin ,cos 的值;,思路点拨:(2)根据已知列出方程求出a,b
2、.,方法总结 方程法在数学中的应用是最为广泛的方法之一,只要是涉及未知元素求解的问题,大多都可以使用方程法加以解决.,方法三,常值代换法,【例3】 已知tan =3,则sin cos +cos2=.,方法总结 把已知的整体等于常数的式子代入求解目标,达到沟通已知和求解的目的.在使用基本不等式求最值、三角函数求值等问题中很有用处.,方法四,待定系数法,思路点拨:(1)确定a,b满足的方程解之;,答案:(1)C,(2)若二次函数的图象过点(4,-3),且x=3时二次函数有最大值-1,则此函数的解析式为y=.,思路点拨:(2)设出函数解析式,利用已知条件确定解析式中系数.,解析:(2)设函数的解析式
3、为y=a(x-3)2-1,把点(4,-3)代入得-3=a-1,解得a=-2,故所求的二次函数的解析式是y=-2x2+12x-19.,答案:(2)-2x2+12x-19,方法总结 在已知求解目标具有固定形式时(如椭圆方程的形式),可以使用字母设出其形式,根据已知条件,得出关于系数的方程求得系数,待定系数法也可以认为是方程.,方法五,换元法,思路点拨:(1)令t=cos x,把求解的函数化为关于t的二次函数;,【例5】(1)(2015内蒙古包头二模)函数y=cos 2x+2cos x的最小值是.,思路点拨:(2)变换已知为平方和的形式后进行三角换元.,(2)(2015河北唐山一模)已知x,yR,满
4、足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.,答案:(2)4,12,方法总结 换元法有很多种,常用的有一般换元(即用一个简单的量代换一个复杂的量)和三角换元(即把变量代换为三角函数).使用换元法要注意新元的取值范围.,方法六,坐标法,思路点拨:把已知的平面图形放在坐标系中,使用坐标方法表达已知和求解目标.,方法总结 坐标法是解决平面图形(立体几何中也有坐标方法的应用)问题的有力工具,把平面图形放在坐标系中,可以使用平面解析几何、平面向量的方法等解决问题.,方法七,向量法,答案:(1)B,(2)已知a2+b2=1,m2+n2=1,则am+bn的取值范围是.,思路点拨:(2)构造向
5、量,使用向量数量积的知识求解.,解析:(2)设u=(a,b),v=(m,n),则|u|=|v|=1且uv=ma+nb,根据平面向量数量积的定义uv=|u|v|cos =cos ,其中为向量u,v的夹角,由于0,所以-1cos 1,所以-1am+bn1,即所求am+bn的取值范围是-1,1.,答案:(2)-1,1,方法总结 向量方法在解决几何问题、三角问题、代数问题中具有广泛的应用.解题的关键是把已知和目标向量化,使用向量知识加以解决.,方法八,割补法,思路点拨:(1)把已知的四边形分割为两个三角形;,答案:(1)D,思路点拨:(2)把折叠后的几何体补充为一个与其具有相同外接球的正方体;,答案:
6、(2)A,(3)如图,在半径为1的圆内有四段以1为半径相等的弧,现向圆内投掷一颗豆子(假设豆子不落在线上),则豆子恰好落在阴影部分的概率为.,思路点拨:(3)分割阴影外的图形.,方法总结 把不规则图形分割或者补充为规则的几何图形,通过规则几何图形求解不规则几何图形是割补法的基本思想.“割”与“补”的目的都是实现问题的转化.,方法九,构造法,思路点拨:根据已知构造函数,利用构造的函数的单调性解题.,方法总结 构造法是广泛使用的一种数学方法,本题是构造函数,还可以构造数列、构造几何图形、构造向量等.,方法十,数形结合法,思路点拨:转化为两个函数图象交点的个数,画出两个函数的图象,利用图象的相对位置找出k满足的条件.,方法总结 数形结合方法是数学中应用最为广泛的数学方法之一,即基本思想是考虑数式的几何意义,根据几何图形提供的直观,找到求解目标所需的结论.,
