1、经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分1第一单元 极限的概念及其运算第一节 极限的概念一、学习目标极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的.学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限.二、内容讲解1.极限的概念 1 数列的极限：数列：一般地，按一定规律排列的一串数 ， ， ，称为数列，简1x2nx记为 。其中的第 项 称为该数列的通项。nxnx数列的极限：给定数列 ，如果当 无限增大时， 无限地趋近某个固定nnnx的常数 A，则称当 趋于无穷时，数列 以 A 为极限。记为x Alim2.
2、极限的概念 2研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。例 1 圆的周长的求法.早在公元 263 年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例 2 讨论当 x时， x1的变化趋势.例 3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”庄子天下定义 2.1函数的极限经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分2设函数 )(xf在点 0的邻域（点 0x可以除外）内有定义，如果当 x无限趋于 0x（但0x）时， 无限趋
3、近于某个常数 A，则称 x趋于 0时， )(f以 A为极限，记为Afx)(lim0或 xf)()(0x；若自变量 趋于 时，函数 x没有一个固定的变化趋势，则称函数 在 0处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1. 0x时（ 0），2. 00)(xx（包括这两种情况）问题思考：?1lim极限是描述函数的自变量在某个变化过程中函数的变化趋势，同一个函数在自变量不同的变化过程中，变化趋势可能不同，因此，在讨论函数的极限时，必须要知道自变量的变化过程，所以不好回答 x1lim是多少，但是x1lim0， )0(1li0xx，1limx.考虑函数 y，依照极限的定义，不能考虑 0的极限.因为 xy
4、在 0处无定义.又如函数 01)(xf，如果讨论 x是的极限，则函数分别在 和 时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念：定义 2.2左右极限设函数 fx()在点 0的邻域（ x0点可以除外）内有定义，如果当 x0且 x 无限于x0（即 x 从 0的左侧趋于 ，记为 ）时，函数 fx()无限地趋近于常数 L，则称当 x趋于 时， f()以 L 为左极限，记作lim()xfL0或 0= L；如果当 x0且 x 无限趋于 x0（即 x 从 0的右侧趋于 0，记为 ）时，函数 fx()无限地趋近于常数 R，则称当 x 趋于 时， f()以 R 为右极限，记作li()xfR0 0或=R
5、。经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分33.极限存在的充分必要条件：极限)(lim0xf存在的充分必要条件是：函数 fx()在 0处的左，右极限都存在且相等.即li()xfA0lili()xxffA00问题思考：设函数 )f, 求 )(lim0xf因为0lim)(li0xxf，)(lixfx由极限存在的充分必要条件知， 0由函数的图形也可得到此结论.4.无穷小量定义 2.3无穷小量和无穷大量0)(lim0xf称当 0x时， )(f为无穷小量，简称无穷小.无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量 y 以为 A 极限的充分必要条件是：y 可以表示成 A 与一个无穷小量的
6、和，即 )0(lili y无穷小量的有以下性质：性质 1 有限个无穷小量的和是无穷小量；性质 2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质 3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.无穷大量在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.例如 因为 x2lim，所以，当 x时， x2是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：定理：当 0x（或 ）时，若 )(xf是无穷小（而 0)(xf），则 )(1xf是无穷大，；反之，若 )(f是无穷大，则 )(1f是无穷小.yx经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分4三、例题讲解例 1 讨论 2xy时, 2lim
7、x=？解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当 2时， 42xy，即2limx=4例 2 讨论函数 12xy,当 时的极限 1lim2x解：此函数在 处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到21limx例 3 01)(xf, 求 )(li0xf解：注意到此函数当 x=0 的两侧表达式是不同，在 0 点处分别求左、右极限. 1lim)(lixxf0lim)(li0xfx 可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在 0 点处极限不存在.例 4 2x
8、y，当 0时， ?2x解： 由图形可知，当 时， 0当 x时， 2x是无穷小量.四、课堂练习练习 1 讨论函数 y12x当 时的变化趋势.解：函数 2的图形是oyyo x经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分5练习 2 设函数 01)(xkf， 问 k为何值时， )(lim0xf存在？解：因为limli00xxf， fxx0li)(li，所以 1k.练习 3 当 时，下列变量中 （ ）是无穷小量. A） yln；B ） ycos；C） xye；D） 2y解：因为0i2x，所以选择 D 正确.练习 4 设 )(,gf是无穷大量，则 )(xgf是无穷大量.证明：因为 )(,xf是无穷大
9、量，由 “倒数关系”知 )(1,xgf均为无穷小量，于是有)(1xgf是无穷小量，所以 )(xgf是无穷大量.五、课后作业1.讨论函数 y1x当 时的变化趋势.2.判断下列极限是否收敛：（1）,432；（2）,8104,；（3） ,01.,.；（4） ,8623.求下列数列 )(nx的极限：（1）xn；（2） n1；（3）nnx)1(；（4） nxnsi4.试用图形说明： x0lim不存在.5.设 ,1)(xxf，求 )(xf在 0是的左、右极限，并说明 )(xf在 0点极限是否存在.经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分66.设 1,2)(xxf，求 )(lim),(li11xf
10、fx，并讨论 )(li1xf是否存在.7.分析函数的变化趋势，并求极限.（1）)(2xy；（ 2）)(lnxy；（3） )0(1x；（4） )0(cos8.当 时，下列变量中哪些是无穷小量？ xx2cs,1,2099.当 时，下列变量中是无穷小量的有：（1） 21xy；（2） xy2log；（3） xyarctn；（4） xycotar10.函数 )3(在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？1. 1xy；2.（1）收敛；（ 2）收敛；（3）收敛；（4）发散.3.（1）0；（2）1；（3）发散；（4）0.4. 5. 因为1lim)(li00xfx，0lim)(li0xfx，所
11、以，函数 )(xf在 0处左、右极限存在但不相等，故函数 f在 0 点的极限不存在.6. 32li)(li11xfx，21li)(li1xfx因为函数 f在 处左、右极限存在但不相等，所以)(li1xf不存在.7.（1）0；（2）0；（3）0；（4）1.经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分78. xx2cos;10;99. yartn10. 当 3x时， y为无穷大量，当 x时， y为无穷小量.经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分8第二节 极限的运算一、学习目标通过本课程的学习，要学会极限的四则运算法则，学会使用法则的方法和常用的技巧，能够用四极限的四则运算法则计算
12、则函数的极限.二、内容讲解在某个变化过程中，变量 vu,分别以 BA,为极限，则vulim)li(vli)0(liliBAv问题思考：设)(li,00 xgxf，则)(lim,0)(lim0 xgfxgfxx，对吗？请举例说明.不一定 如 )2(1),12()xgxf且)(li,)(li2xgxf但lim,)(lim02 fgxfx三、例题讲解例 1 求2lix解 42()(li2222 xxxx例 2 求 1limx解：21)(lim)(lili11 xxxx经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分9例 3 求 xx21lim解：31)(lili22xxx例 4 求 xx1lim0
13、解： )1(lili00 xxx)1(lim0xx 21li0x四、课堂练习练习 1 求 623lim2xx解：0)2()(3)(li3 x02)2， 属于分子、分母的极限均为 0.练习 2 求 3)(41lim5xx解 3)2(li)4(152x本题属于无穷大量之比的极限计算问题，需变形后再利用法则计算.五、课后作业1)2(lim0xx； 2 )56(lim2xx；3 31li21x4 3li23x；5 4li2x； 6 1lix；经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分107 xx1lim0； 8 xx1lim0；9、 123linn； 10、358)2(34lix10；2.21
14、；3.1；4. ；5. 43； 6. 2；7.1；8.1；9. ；10. 3.第二单元 两个重要极限与函数连续性第一节 两个重要极限一、学习目标通过本课程的学习，我们要学会两个重要极限公式，要会用重要极限公式计一些函数的极限.二、内容讲解第一个重要极限公式：1sinlm0x几何说明：如图，设 为单位圆的圆心角，则 x对应的小三角形的面积为 2sinx， 对应的扇形的面积为 2x， 对应的大三角形的面积为 2tan当 0时，它们的面积都是趋于 0 的 ，即之比的极限是趋于 1 的.第二个重要极限公式：e)(limxx； e)1(li0xx问题思考：?sinlx0.这不是第一个重要极限公式，当 x
15、时，此式为无穷小量乘以有界变量，其结果仍为无穷小量 .三、例题讲解例 1 x3sinlm0经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分11解： x3sinlm0=3sil0x3sinlm0x例 2 求极限 x)1(li解: 31331e)(li)(li)3(li xxxx例 3 求极限xx10)2(lim解 2210)2(1010 e)(lim(li)(li xxxxx四、课后练习练习 1 求极限 xx3sin2lm0练习 2 求极限1)(lix五、课后作业1. xtanlim0；2. xx5sin4l0；3. )3sin(6lm23x；4. xxsin12l0；5. xx1sinlm；
16、6.xxsin1l20；7.xx2)(li；8.1)(lix；9.xx30)2(li；10.xx)3(li;2.12. 543.5 4.1 5.1 6.0 7. 4e 8. 1 9. 23e10. 4第二节 函数的连续性一、学习目标通过本课程的学习，我们要知道连续的数学表示，知道数学中间断的概念. 将会了解连续与有极限存在这两个概念的联系与不同，会进行连续函数的运算.经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分12二、内容讲解生活中的实例：高山流水，植物生长，工业连续化生产连续函数的定义定义 2.4函数的间断与连续设函数 )(xf在点 0的邻域内有定义，若满足)(lim00xffx，则称
17、函数 )(xf在点0x处 连续.点 0是 f的连续点. 函数间断、间断点的概念。例如 函数 32,xy xycos,sin xye,ln在定义域内都是连续的.问题思考：设 )(f在点 0处连续，则 ?)(000ff答案 ：0. 因为 x在点 处连续 )(lim)(li)(limli 00000 xfxfffyxx 0)(0xff， 所以，极限为 0.三、例题讲解例 1 132)(xxf,问 )(xf在 1处是否连续？注意：此函数是分段函数， 是函数的分段点.解: )(lim)(li11fxx 2)(lim)(li11xfx )(li1xf不存在， )(xf在处是间断的.例 2 0sinxy,问
18、 )(xf在 0处是否连续？解: 1silm)(li00 ffxx（无穷小量有界变量=无穷小量）f在 处是连续的.结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的；（2）连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续；（3）初等函数在其定义区间内是连续的.经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分13例 3 xx20cos1elim解: 210coseli 220 x注意：x2cos1e是初等函数，在 x处有定义，利用结论有极限值等于函数值.四、课堂练习练习 1 求函数 2)(xf的连续区间.解:因为)(2xf是初等函数，所以其连续区间是定义域练习 2 设函数 1,43)(2xbf，求 b为
19、何值时，函数 )(xf在 1处连续. 解: xf xxx 3limlilimli 2211五、课后练习1.设函数 0sin,1)(xabxf问（1）当 a,b 为何值时，f(x) 在 x=0 处有极限存在；(2) 当 a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续.2.讨论函数 0,1)(2xxf在 处的连续性.3.求下列函数的间断点和连续区间：（1） 12xy；（ 2） xy；（3） xysin；经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分14（4） )1(arcsinxy；（5） 392xy；（6） 21302xy4.说明下列函数在定义域内连续（1） 2y；（2） )1sin(y（3）
20、 )1ln(x；（4） xco5.求下列函数极限（1） 13lim2xx；（ 2） x1elim；（3） )1sin(l20xx；（4） xx1cosli；（5）)1ln(i0x；（6）)e2si(larclex答案 1.（1）当 ab,任意时， )f在 处有极限存在；（2）当 时， (x在 处连续.2. 因为0limli,1)lim)(li 2000 xfxf xx，所以函数 )(xf在 0处不连续.3.（1） ,1,;；（2） ),(),(;；（3） )()(；（4） ),1(,1；（5） ,3,x；（6） ,0(4.（1）定义区间；（2）定义区间；（3） x；（4）定义区间；5.（1）
21、；（2）1e2；（3）0；（4） )1cos(；（ 5）1；（6） 2.经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分15第三单元 导数、微分的概念及四则运算第一节 导数和微分的概念一、学习目标本节课主要讨论导数和微分的概念，通过学习应明确导数与微分的定义，了解导数的几何意义和经济意义，会求曲线的切线方程；了解导数、微分与连续之间的关系并熟练背住导数和微分的基本公式.二、内容讲解本节的主要内容是导数与微分的概念.1.导数概念三个引例：边际成本问题；瞬时速率问题；曲线切线问题.引例 1： 边际成本问题C总成本， q总产量，已知 时当 0),(（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量）)(
22、)0qq， qC)(0（成本平均变化率）Cq(lim00（边际成本）引例 2:瞬时速率问题路程 S是时间 t的函数 )(tS当 t从 0时， 从 )()00tStt)(0（平均速率）tSt)(lim00（在 0t时刻的瞬时速率）经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分16引例 3：曲线切线问题考虑曲线 )(xfy在 0处的切线斜率.当 x0时，对应的 yy0曲线上 )(,0xf和 )(,00xf两点间割线的斜率为 xff)(tan0.（当 0x时） xffxx )(limtanlita 000称为切线的斜率.qCqC)(li)( 00tStSt)(lim)(00xffxf )(li)
23、( 00关于函数 )(fy， x0， )()(00xff考虑极限fx)(lim0定义 2.5导数设函数 )(xfy在点 0的邻域内有定义，当自变量 x在点 0处取得改变量 )0(x时，函数 取得相应的改变量： )(00fxfy若当 0x时，两个改变量之比y的极限 xffxy )(limli 000存在，则称函数 )(fy在点 处可导 ，并称此极限值为 )(f在点 0处的导数，记为 )(0xf或 0xy或 0dxf或 0xy，即 )(0f= xfx)(li0若极限不存在，则称函数 )(f在点 处不可导.在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的.经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分
24、172.导数定义的意义数量意义：变化率经济意义：边际成本几何意义：切线的斜率3.微分的概念设 )(xfy，导数)(d)(xfyxfy两边同乘 xd，得到函数的微分，微分f)(dd4.导数公式 xc1)(ln0)(xae)(lnsico)(si5.微分公式由导数公式可以得到微分公式 xxxd)(d)( 11 ；xxd1)(ln1)(lncossincosin； sincosiaaxxl)(l)(； xaxx)e(d)e(问题思考：设 ,cy则 ?0)(cy证明如下：因为 ,)(cxfy cxff)(,)(，(xxff；于是0limlim00 xx三、例题讲解例 1 2)(fy，求 .)2(,3)
25、1(ff思路：先求 x，再求 0x.解：因为 22)()(,)(ff 经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分18xxxfxfx2)(lim)(li200所以 xf2)(， 426321 ）（，）（，）（ fff例 2 xgln，求 ).50(,g解: 因为 ln,)( xxxxxxx100)(lnimln)l(ixxx1elni10）（，所以2)5.0(,1)(g导数公式：)(l求导步骤：1、求 xf；2、求 0)(xf.注意： )(f是 的导函数，函数在 处的导数值 0)(0xfxf四、课堂练习练习 1 设 0)(f，且 0)(f存在，求 xf)(lim0.利用已知条件对 xli
26、m0进行适当的变形，再用导数定义求极限.经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分190)(lim)(li00xfxf .由导数定义，上式极限存在且就是函数 )(xf在 0处的导数，即为)(f练习 2 设函数 )(xf在 0 处可微，求 )(lim0xf.利用已知条件，函数可微一定连续.可以证明函数可导与可微是等价的，可导一定连续，反之则不然.因为函数可微一定连续，所以 )(li0fxf五、课后作业1.根据导数定义，求下列函数的导数：（1） 23xy；（2） xy2.求下列函数在指定点处的导数：（1） 3,0xy；（2 ） e,ln0xy；（3） 0,2xy；（4） 3,sin0xy3
27、.求下列函数的导数和微分：（1） 5(）xf；（2）xf)21(）；（3） 1(xf） ；（4） xflg(）4.求曲线 yln在（1，0）点处的切线方程.5.在抛物线 2x上求一点，使得该点处的切线平行于直线 14xy 1（1） 3y；（2） xy；2（1）27；（2） e1；（3）ln2；（4） 21。3（1）0； （2）lnx； （3） 10x； （4） 10lnx.4 xy ；5 )4,(第二节 导数的四则运算法则一、学习目标经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分20通过本课程的学习，我们要熟练掌握导数的四则运算法则，并且能够熟练运用四则运算法则计算函数的导数与微分.1.导
28、数的加法法则设 )(,xvu在点 处可导，则 )(xvu在点 处可导亦可导，且)()(， )(c（ 为常数）2.加法公式证明求证导数的加法法则 )()(xvuxvu证：设 )()(xvuxf，则 )f ， )(xvuxf；xff x )(lim0 (lim0x vx ()(lim0 )(vu由已知条件， ,vu均可导 .3.导数的乘法法则设 )(,xv在点 处可导，则 )(xvu在点 处可导亦可导，且)()( xvu， )(xvcc4.导数除法法则设 )(,xvu在点 处可导，则 )(xvu在点 处可导亦可导，且)()(2u（ 0)(） 问题思考：设 )(xv在点 处可导且 )(xv，则?)(
29、xvc)()(2cxv.解：由导数的除法法则 )()()(22xvc三、例题讲解经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分21例 1 设函数 1453xy，求 ?y分析：现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式，利用上述法则可求它们组合后函数的导数 .解： )1(4)5(3xy（利用加法法则） )()(xvc12x （利用导数公式 0,1）例 2 设 xyln43，求 y.解： )2()(x )(ln2)(43x（提示 x1ln1)） 21例 3 设 4cosyx，求 y.解：)()x（提示 xaxsin)(coln)( ）sin413lxx4si3l例 4 yl2， ?y解：因为xxl
30、n13（由对数的性质：xxln21lln）所以y2（其中常数的导数为 0）例 5 设 xe，求 y解：利用导数的乘法法则， )(e)(22xx（利用导数公式 xe)(）例 6 4xy，求 y.经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分22解： 由导数基本公式 34)(x利用导数的乘法法则 24y32224 4)()() xxxxy 说明无论用哪种方法其结果是唯一的.例 7 xysin，求 y.解： 将函数看成xsin1，利用乘法法则求导. 22 cossicoi)(sin1i)( xxxy 利用导数的除法法则求导 2sico)si(xxy，其中 xvxu)(,sin)(两个结果是完全一
31、样的.例 8 求 tan解： xxx 22cos1cos)i()cosi()(t （利用三角公式 1in22）同理可求 2in)(t.四、课堂练习练习 1 设 xyl，求 y练习 2 设2)sin(co，求 .练习 3 设 xyx1e2，求 yd. 求下列函数的导数或微分：五、课后作业经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分231. 22logxxy，求 y；2. ts4,求 )(ts；3. dcxbay求 y；4.2351，求 y； 5. 326x，求 y；6. )os(inex，求 ；7. xey，求 ；8. 1，求 )(；9.2arct，求 yd；10. cotln，求 yd.
32、1. 2l1l2xx；2.4t；3.2)(cxba；4.)(213x；5.)986(22x； 6. xesin；7.)(e；8. 87；9.d)4(2；10.d)sin1(l2第四单元 复合函数求导与高阶导数第一节 复合函数与隐函数求导法则一、学习目标在本节课中，我们学习复合函数求导法则和隐函数求导方法，学习之后我们要能够运用复合函数求导法则计算初等函数的导数与微分，能够计算隐函数的导数或微分.二、内容讲解（一）复合函数求导1.复合函数求导问题：（1） 2)3(xy，求 ?y；（2） 10)32(xy，则 ?y解：第一个问题 )(，求导数没有直接公式可用.方法 1：将函数展开 9142xxy，
33、利用加法法则有 128xy方法 2：将函数写成两个因式乘积的形式 )32()3(2xy，利用四则运算法则求导数. )2()3(2)( xxy经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分24第二个问题 10)32(xy，展开？共 101 项，求导很麻烦.写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦.在这节课我们将介绍复合函数求导法则.讨论 10)32(xy，引进中间变量 32xu99)(02d u2.复合函数求导法则定理 设 y=f(u),u=(x),且 u=(x)在点 x 处可导，y=f (u)在点 u=x)处可导，则复合函数 y=f(x)在点 x 处可导，且 fy或 xxy3.复合函数求导步骤（
34、1）分清函数的复合层次，找出所有的中间变量；（2）依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导.4.多层复合的函数求导数对于多层复合的函数，即若 )(),(),(xvufy，则 )()(xvufy 或 xvx注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.（二）隐函数求导1.隐函数求导问题: 求由方程 12yx所确定的隐函数 )(xy的导数 y？解：先将 从方程中解出来，得到 21和 21x分别求导 21xy和 2xy，将 2y和 2y分别代入，得yx， 032（1）由（1）解得)3(2xy， 0exxy（ 2）在（2）中 0),xF隐含 (经济数学基础之微分学 第 2 章 极限
35、、导数与微分252.隐函数求导方法步骤（1）方程两边求导， )(xy；（2）整理方程，求出 y.问题思考：设2)1(exy，则2)1(ex错误.正确求解过程为： vu,2， xvuy)1()(2 )1(2e)1(v2)1(ex。注意： 1)(x.三、例题讲解例 1 求下列函数的导数或微分（1） xy2e，求 .y解：方法一:由 xxxee)1(2， xxy22e方法二: 利用复合函数求导法则，设 u,，xxuy2e)(（2） xye，求 .y解：利用复合函数求导法则，设 xuy,e，xuxuye21e)( .（3） xycosln，求 d.解：利用复合函数求导法则，设 xycos,ln，xxu
36、yx ta)si(co1)(s1)(l ， xydtan例 2 设 2y，求 .0y解：先求一般点上函数的导数，再将 0代入求得结果.设 21,xu，利用复合函数求导法则， 21)()() xuyxu ， .0)(y例 3 设函数 2sin3y，求 y.解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量） 32,si,xvuy，经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分2623cosxvuy 33)cos()sin(xx )2cos()sin(6332xx例 4 求函数 1y，求 y.解： 231,xu)()(12y 32)1(x例 5 设函数 xycos3，求 y.解 vu1,xvuy)(c
37、os)3(， 21)(x)1(in)l(2u )(sin)3l(21cosxx x1cos3inl例 6 求由方程 yx所确定的隐函数 y的导数 y.解：方程两边对自变量 求导数，此时 是中间变量.02yx，解出 yx（与前面的结果相同）.例 7 求由方程 0exy所确定的隐函数 )(xy的导数 y？解：方程两边对自变量 求导数，此时 y是中间变量. 0eex解得 xye（注意：在隐函数的导数结果中常常含有 y）.例 8 求双曲线 1在点（ 1，1）处的切线斜率.分析：此题是求隐函数在某点处的导数.解：因为 0yx，所以 xy，且在点（1， 1）处的切线斜率 1),(y四、课堂练习经济数学基础
38、之微分学 第 2 章 极限、导数与微分27练习 1 设 2axy，求 y. 练习 2 设2e1，求 .练习 3 设 xyy，求 d？ 练习 4 求曲线 22在 x处的切线方程？五、课后作业1.计算下列函数的导数：（1） 531xy；（2） xy1e；（3） 104)3(xy；（4） 12e；（5） basin；（6） ln2ba；（7） xyln；（8） xy1si3；（9） xy1l；（10） xy)(cos2.计算下列函数的微分：（1） 32)1(xy；（2）2e1xy；（3） xyxln213；（4） xycose123. 下列各方程中 是 的隐函数，试求 或 d：（1） 32xyx，求
39、 yd；（2） 1eyx，求 ；（3） 4)sin(e，求 ；（4） lnl，求 d.1.（1）235x；（2 ）2123ex；（3）943)1(0x；（4） )(12ex；（ 5） )cossin(bax；（6） ba2；（7） xln1；（8） 2sinco3lx；（9） x12；（10） )tacs(l)o经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分282.（1） xxd)13(432；（ 2）xx)de1(2-2（3）dlnl2；（4）xxdcossine)i(223.（1）xyd23；（2 ） xye；（3）xyx)cos(e；（ 4）xydln22第二节 高阶导数一、学习目标
40、了解高阶导数的概念，掌握函数二阶导数的计算方法，会计算一些简单函数高阶导数二、内容讲解 )(xf的高阶导数： 4)(xf，34)(dxff221)(ddfxf；fxf2)()(3.一般地， )(fy函数的 n阶导数记为)(d)(xfynn问题：求 10322xy的 10 阶导数 )10(y.)10(=0。因为 6， 6xy， 2， 0)4(y， 0)1()5(y，由此可以得出结论， n次多项式的 阶导数必为 0三、例题讲解例 1 求函数 52xy的二、三阶导数.经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分29解： 14xy， 4y， 0。例 2 求 )ln(的二阶导数 至 n导数.解：
41、xy1， 2)1()()x 32)(!)1(ynnnxy)1(!)(1) 四、课堂练习1 设函数 xye2，求 y；2 设函数 )1ln(2xy，求 y；3 求 x1，求 1xy.五、课后作业1.求下列函数的二阶导数：（1） 323xy；（ 2） )1ln(2xy；（3） xyln；（4） )(；（5） xe；（6） cosi.2.求下列各函数在指定点的高阶导数值：（1） 1235xy，求 1xy；（2）2xy，求 1xy（3） cos，求 0；（4） 3)0(，求 23.求函数 xay的 n阶导数 .1.（1） 46；（2）2)1(；（3）xln4123；（4）18； （5） xe；（6）xcosin经济数学基础之微分学 第 2 章 极限、导数与微分302.（1） 8；（2） e； 3)(；（4）6；3. anxl)1(
