1、 1 第2 节 用样本估计总体 【选题 明细 表】 知识点 、方 法 题号 样本的 频率 分布 1,5,8,9,10,12 茎叶图 2,3,4,6,13 样本估 计总 体 7,11,14,15 基础对 点练(时间:30 分钟) 1. 为 了 调 查学 生 每 天零 花钱 的 数 量( 钱数 取 整 数元),以 便 引 导 学生 树 立 正确 的消 费 观. 样本 容量1 000 的频 率分 布直 方图如 图所 示, 则样 本数 据 落在6,14) 内的 频数 为( B ) (A)780 (B)680 (C)648 (D)460 解析: 根据 题意, 得样 本数 据落在6,14) 内 的频 率
2、是1- (0.02+0.03+0.03) 4=0.68. 所以样 本数 据落 在6,14) 内的频 数 是1 000 0.68=680. 2.(2015 高 考重 庆卷)重庆市 2013 年 各月 的平 均气 温()数 据的 茎叶 图如 图: 则这组 数据 的中 位数 是( B ) (A)19 (B)20 (C)21.5 (D)23 解析: 由题 中茎 叶图 可知, 该组数 据的 中位 数为 =20. 故选 B. 3. 某学 生在 一门 功课 的 22 次考试 中, 所得 分数 如茎 叶 图所示,则 此学 生该 门功 课 考试分 数的 极 差与 中位 数之 和为( B ) (A)117 (B)
3、118 (C)118.5 (D)119.5 解析: 极差 为98-56=42, 中 位数 为76, 其和 为118. 4.(2015 河 南郑 州市 二次 质量预 测) 已知 甲、 乙两 组 数据如 茎叶 图所 示, 若它 们 的中位 数相 同, 2 平均数 也相 同, 则图 中的m,n 的 比值 等于( D ) (A)1 (B) (C) (D) 解析: 根据 茎叶 图,得 乙的 中位数 是 33, 所 以甲 的中 位数也 是 33, 即m=3; 甲的 平 均数 是 = =33, 乙的平 均数 是 = =33, 解得n=8, 所以=. 5. 从某校 高三 年级中 随机 抽取一个 班,对 该班
4、50 名 学生的高 校招 生体检 表中 的视力情 况进 行统计,其 结果 的频 率分 布 直方图 如图 所示,若 某高 校 A 专 业对 视力 的要 求在0.9 以上,则该 班学生 中能 报A 专业 的人 数为( B ) (A)10 (B)20 (C)8 (D)16 解析: 满足 条件 的有3 组: 视力在0.9 到1.1; 视 力在1.1 到1.3; 视 力在1.3 到1.5, 纵 轴表 示 的是频 率/ 组距, 所以 可以 报考 A 专业 的有(1+0.75+0.25) 0.2 50= 20( 人). 6.(2015 广东 省广州 市高 中毕业 班综 合测 试一)若某市 8 所中 学参 加
5、中 学生 合 唱比赛 的得 分 用茎叶 图表 示, 其中 茎为 十 位数, 叶为 个位 数, 则 这组 数据的 中位 数和 平均 数分 别是( C ) (A)91,91.5 (B)91,92 (C)91.5,91.5 (D)91.5,92 解析: 中位 数为 =91.5, 平 均 数为90+ =91.5. 7.(2015 高 考安 徽卷)若 样 本数 据 x1,x2,x10 的标 准 差为 8, 则 数据 2x1-1,2x2-1, , 2x10-1 的标 准差 为( C ) (A)8 (B)15 (C)16 (D)32 解析: 设样 本数 据x1,x2,x10 的标 准差 为s, 则 s=8,
6、 由标准 差定 义可 知数 据 2x1-1,2x2-1, ,2x10-1 的标 准 差为 2s=16. 8.(2015 新 疆乌 鲁木 齐三 诊)某校100 名 学生 其中 考试 成绩的 频率 分布 直方 图如 图所示,其中 3 分组区 间为50,60),60,70),70,80),80,90),90,100, 则图 中的a 值为 . 解析: 由题 知,组距为 10, 根据频 率分 布直 方图 得(0.04+0.03+0.02+2a) 10=1, 故 a=0.005. 答案:0.005 9.(2015 甘 肃省 高三 二诊) 某商场 在庆 元宵 节促 销活 动中, 对元 宵节 9 时至 14
7、时的销 售额 进 行统计,其 频率 分布 直方 图 如图所 示, 已知 9 时至 10 时的销 售额 为 2.5 万元, 则 11 时至 12 时的销 售额 为 万元. 解析:11 时至 12 时 的频 率 为9 时至 10 时频 率的4 倍,其销 售额 也大 约为 其4 倍,即10 万元. 答案:10 10. 样 本容 量为 200 的 频率 分布直 方图 如图 所示.根 据 样本的 频率 分布 直方 图估 计,样 本数 据 落在6,10) 内的 频数 为 ,数 据落 在2,10) 内 的概率 约为 . 解析: 样 本 数 据 落 在6,10) 内 的 频 率 是 0.08 4=0.32,
8、样 本 数 据 落 在6,10) 内 的 频 数 为 200 0.32=64; 样 本 数 据 落 在2,6) 内 的 频 率 为 0.08, 故 数 据 落 在2,10) 内 的 频 率 为 0.32+0.08=0.40, 这 个值 近 似代替 概率,故 数据 落在2,10) 内 的概 率约 为0.40. 答案:64 0.40 能力提 升练(时间:15 分钟) 11.(2015 河 南开 封市 高三5 月冲 刺)某 棉纺 厂为 了了 解一批 棉花 的质 量, 从中 随 机抽取 了100 根棉花纤维的长度(棉 花 纤维 的 长 度 是 棉 花 质量 的 重要 指 标), 所 得 数 据都 在
9、区间5,40中, 其频率分 布直 方图如 图所 示. 从抽 取的 100 根 棉花 纤维中任 意抽 取一根, 则其 棉花纤维 的长 度小 于20 mm 的 概率 是( A ) 4 (A) (B) (C) (D) 解析: 以频 率估 计概 率的 思 想,位 于区 间5,20) 的频 率 即为所 求的 概率,即(0.01+ 0.01+0.04) 5= . 12. 为 了了 解某 校高 三学 生 的视力 情况,随 机地 抽查 了 该校 100 名高 三学 生的 视 力情况,得到 频率分 布直 方图,如图,由 于不慎 将部 分数 据丢 失, 但 知道前4 组 的频 数成 等比 数列, 后6 组的 频数
10、成 等差 数列,设 最大 频 率为 a, 视 力在 4.6 到 5.0 之间的 学生 数 为 b, 则 a,b 的值分 别为 ( A ) (A)0.27,78 (B)0.27,83 (C)2.7,78 (D)2.7,83 解析:前 4 组 成等比 数列, 由图知第 一组 的频率 是 0.01, 故第 一组 有 1 人;第二 组的频率 为 0.03, 故第 二组有 3 人; 所 以第三 组 9 人; 第四 组 27 人,所以 a=0.27. 后 6 组共 87 人,设 最后 一组人 数 为x, 则 6=87, 解得x=2, 故公 差d= =-5, 所 以倒数 第二 组 有7 人, 则b=87-2
11、-7=78. 13. 某 校开 展摄 影比 赛,9 位评委 为参 赛作 品 A 给 出 的分数 如茎 叶图 所示.记 分 员在去 掉一 个 最高分 和一 个最 低分 后, 算 得平均 分为 91, 复核 员在 复核时,发 现有 一个 数字( 茎叶图 中的 x) 无法看 清. 若记 分员 计算 无 误,则 数字x 应 该是 . 解析: 最低 分显 然是88, 若90+x 为最 高分, 则平 均分 是 5 = 91, 故 90+x 不 是 最 高 分 , 最高分是 94, 由 =91,解得 x=1. 答案:1 14. 某 中学 共有1 000 名 学 生参加 了该 地区 高三 第一 次质量 检测
12、的数 学考 试, 数 学成绩 如表 所 示: 数学成 绩分组 0,30) 30,60) 60,90) 90,120) 120,150 人数 60 90 300 x 160 (1) 为了 了解同 学们 前段时 间的复习 情况, 学校将 采用 分层抽样 的方 法抽 取 100 名同学进 行 问卷调 查, 甲同 学在 本次 测 试中数 学成 绩 为 95 分, 求 他被抽 中的 概率; (2) 已 知本 次数 学成 绩的 优 秀线 为 110 分, 试根 据所 提 供数据 估计 该中 学达 到优 秀线的 人数; (3) 作 出 频 率分 布 直 方 图,并 估 计 该 学 校本 次 考 试 的数 学
13、 平 均 分.(同 一 组 中 数据 用 该 组 区间 的中点 值作 代表) 解:(1) 分层 抽样 中, 每个 个 体被抽 到的 概率 均为 , 故甲同 学被 抽到 的概 率 P= . (2) 由 题意 得x=1 000-(60+90+300+160)=390. 故估计 该中 学达 到优 秀线 的人 数 m=160+390 =290. (3) 频 率分 布直 方图 如图 所 示. 该学校 本次 考试 的数 学平 均分 = 6 =90. 估计该 学校 本次 考试 的数 学平均 分 为90 分. 15.(2015 吉林 长春 高三 质 检)某 校甲 、 乙 两个 班级 各 有5 名 编号 为1,
14、2,3,4,5 的学生 进行 投 篮训练,每 人投10 次, 投 中 的次数 统计 如表: 学生编 号投 中次 数班 名 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 5 7 9 8 乙班 4 8 9 7 7 (1) 从 统计 数据 看,甲 、乙 两个班 哪个 班成 绩更 稳定( 用数字 特征 说明); (2) 在 本 次训 练 中, 从两 班中 分 别 任 选一 个 同 学,比 较两 人 的 投 中次 数, 求 甲班 同学 投 中 次数 高于乙 班同 学投 中次 数的 概率. 解:(1) 两个 班数 据的 平均 值都 为 7, 甲班的 方差 = =2, 乙班的 方差 = = , 因为 m
15、 乙 (B) ,m 甲m 乙 (D) ,m 甲m 乙 解题关 键: 由茎 叶图 列出 各 组数据 后得 出平 均数 和中 位数. 解析: = = , = = , 显然 ,又m 甲= =20,m 乙= =29,m 甲m 乙. 2. 一个 样本 容量 为 20 的 样 本数据,它们 组 成一 个公 差 不为 0 的 等差数 列an, 若 a3=8 且前 4 项和S4=28, 则此 样本 的平 均数和 中位 数分 别是( C ) (A)22,23 (B)23,22 (C)23,23 (D)23,24 解题关 键: 由等 差数 列通 项 公式计 算首 项和 公差 进而 求出平 均数 和中 位数. 解析: 设 公 差 为 d, 则 a1+2d=8 且 4a1+6d=28 2a1+3d=14, 解得 a1=4,d=2, 所 以 中 位 数 是 =a1+ d=4+19=23, 平均 数是 =a1+ d=23.
