1、1 第九章 梁的应力 学习要求： 了解主应力的概念及强度理论； 掌握梁正应力及剪应力的计算及其强度条件； 理解主应力迹线的概念。 2 9.1 梁内正应力、强度条件 9.2 梁内剪应力、强度条件 9.3 梁的合理截面和变截面梁 9.4 梁的主应力、主应力迹线 9.5 强度理论 9.6 弯曲中心 主要内容： 第九章 梁的应力 3 平面弯曲 纯弯曲 横力弯曲 内力只有弯矩 内力有弯矩和剪力 B 20kN A 1m 1m D 20kN 1m C A B D C 20 20 20 20 Q图 (kN) A B D C 20 20 M图 (kNm) CD段 CA、 DB段 9.1 梁内正应力 、 强度条件
2、 4 假定： a.平面假设 ：变形前横截面是平面，变形后仍是平面， 只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。 b.中性层假设： 梁内存在一个纵向层， 在变形时，该层的纵向 纤维即不伸长也不缩短， 称为 中性轴 。 9.1.1 纯弯曲梁和横截面上的正应力 5 z y dA M 力矩平衡 yIMzM：横截面上的弯矩 y：所求正应力点处到中性轴的距离 Iz：截面对中性轴的惯性矩 z 6 等截面梁内的最大应力发生在弯矩最大的截面， 且是距中性层最远的地方。 有拉应力和压应力 zz WMyIM m a xm a xm a xm a x 宽 b、高 h的矩形 261 bhWz 直径为 D的圆截面 323
3、DW z 轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 WZ 从型钢表中查得 7 1强度校核 9.1.2 正应力强度条件 m a xm a xzMW m a xm a xzMW2截面设计 m a xMW3. 计算容许荷载 m a x zMW8 例 1：图示矩形梁，材料的 =170MPa，试对该梁作强度校核。 2kN A 2m B 1m 5kN C 2020z 20 单位： mm 9 解： 2kN A 2m B 1m 5kN C (1) 绘内力图 AB和 BC段，斜直线 A B C M图 (kNm) MB=0 kNm 2 4 弯矩图 : MC=2 1=2 kNm MA=2 3 5 2 =-4 kNm 0 10
4、mkNM 4m a x(2)确定截面的几何参量 332 10335402061 mm.Wz 2020z 20 261 bhWz (3)强度校核 M P aWMz7501033.510436m a xm a x M P a170 不安全 11 (3)讨论 M P a7 5 0m a x M P a170 b h=20mm 40mm时 b h=20mm 100mm时 342 1033310 02061 mm.Wz M P aWMz1201033.310446m a xm a x M P a170 12 提高弯曲强度的一些措施 弯曲正应力强度条件： m a xm a x zWM在 一定时，提高弯曲强
5、度的主要途径： m a x, MW z （一）选择合理截面 （ 1）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截 面更合理。 1. 根据应力分布的规律选择 z 13 （ 2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。 14 2. 根据材料特性选择 塑性材料： , 宜采用中性轴为对称轴的截面。 脆性材料： , 宜采用中性轴为非对称轴的截面， 例如 T字形截面： y c z 1y2y拉边 压边 zzIMyIMy21m a xm a x21yy 即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。 15 （二）合理安排载荷和支承的位置，以降低 值。 maxM1. 荷载尽量靠近支座： L A B F 0.5L L A B
6、F 0.8L L A B F 0.9L L A B F 16 2.将集中力分解为分力或均布力。 L A B F 0.5L 0.25L A B F 0.5L 0.25L 17 3、合理安排支座位置及增加支座 减小跨度，减小 。 maxMA B F 0.6L 0.2L 0.2L A B F L 18 （三） 选用合理结构 1. 等强度梁 设计思想： 按 M(x)的变化来设计截面，采用变截面梁 横截面沿着梁轴线变化的梁。 19 2. 桁架 整体桁架 受弯构件 桁架中单个杆件 受轴向拉压 20 工程中的桁架结构屋盖 21 22 3.拱 A B F AyF ByFAxF BxF,maxM 提高强度 NA
7、X FF 压应力使截面上拉 应力降低，可使抗拉能 力差的材料充分利用。 23 弯矩 产生 正应力 剪力 产生 剪应力 横力弯曲梁的横截面上 9.2.1 剪应力 9.2 梁内剪应力 、 强度条件 研究对象 (1) 矩形梁截面 (2) 工字形梁截面 (3) 圆形梁截面 24 (1) 矩形梁截面的剪应力 (1) 截面上各点剪应力 方向与 Q方向一致 假定： (2) 剪应力沿截面宽度 方向均匀分布。 25 z y a a y b A* h/2 h/2 bIQSyzz*)( 剪应力计算式 Q ：横截面上剪力 b：计算点处横截面宽度 Iz:整个横截面对中性轴的惯性矩 S*z：面积矩 26 z y a a
8、y b A* h/2 在切割线以外的一块被切割面积 A*对中性轴的面积矩，不必考虑带负号 h/2 )4(2)2(21)2(22*yhbyhbyhyASczS*z：面积矩 27 z y a a y b A* h/2 h/2 bIQSyzz*)( 剪应力计算式 312zbhI )4(2 22* yhbSz 224123)(hybhQy28 224123)(hybhQy(1)沿高度方向抛物线分布 (2)梁上下表面处 剪 应力为零 结论 : (3)y=0时， 剪 应力值最大 m a x32QA 29 (2) 工字型截面梁的剪应力 主要考虑工字型截面梁 腹板上的剪应力计算。 *zzQSId 剪应力计算式 d :腹板宽度 A* 30 (1)沿腹板高度方向抛物线分布 (2)腹板上下边处 剪 应力最小 结论 : (3)y=0时， 剪应力 值最大 *zzQSId
