1、- 1 -1.6 微积分基本定理一、教学目标 知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法：通过实例体 会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。二、教学重难点 重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基 本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点 了解微积分基本定理的含义 三、教学过程1、复习 ：定积分的概念及用定义计算2、引入新课：我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算
2、过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿 直线作变速运动，在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t)（ ()vto） ，则物体在时间间隔 12,T内经过的路程 可用速度函数表示为 21()Tvtd。另一方面，这段路程还可以通过位置函数 S（t）在 ,上的增量 12)(ST来表达，即21()Tvtd= 12)(S而 ()Stv。对于一般函数 ()fx，设 ()Ffx，是否也有bafdba若上式成立，我们就找到了用 ()f的原函数（即满足 ()Fxf）的数值差()F来计算 ()f
3、x在 ,上的定积分的方法。注：1：定理 如果函数 是 ,b上的连续函数 f的任意一个原函数，则()bafdFa证明：因为 ()x= (t与 x都是 f的原函数，故F- =C（ b） 其中 C 为某一 常数。- 2 -令 xa得 ()F- a=C，且 ()= (aftd=0 即有 C= ()Fa，故 ()x=+()= x- = xft令 b，有 ()()afdbF此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用 |ax表示 ()a，即()()|()bbaafx例 1计算下列定积分：（1）21dx； （2）321()xdx。解：（1）因为 (ln)，所以 2211|lndx。（2） ）因为 2(
4、),()x，所以 3332111dx2|(9)x。练习：计算 120x解：由于 3是 的一个原函数，所以根据牛顿莱布尼兹公式有120xd= 10|= 3=1例 2计算下列定积分： 220 0sin,sin,sinxdxdxd。解：因为 (co)，所以 00sis|(cos)(cos0)2 2 2in(co)|2xdx 2 200sis|(cos)(cos0). 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是 0: ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图 1.6 一 3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；- 3 -图 1 . 6 一 3 ( 2 ）（2）当对应的 曲边
5、梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 例 3汽车以每小时 32 公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a=1.8 米/秒 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当 t=0 时，汽车速度 0v=32 公里/小时= 3106米/秒 8.88 米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 0(t)t8.-tva当汽车停住时,速度 (t)=0v,故从(t)=8.-1t解得 .491秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 4.934.9300(t)(81.t)svdd 4.93201(8t)1.米,即在刹车后,汽车需走过 21.90 米才能停住.四、课堂小结：作业：
