1、第2章 点、直线和平面的投影,2.1 投影法概述,2.2 点的投影,2.3 直线的投影,2.4 平面的投影,下一页,返回目录,2.1 投影法概述,上一页,下一页,返回目录,2.1.1 中心投影法,2.1.2 平行投影法,2.1.3 正投影法的主要投影特性,2.1.4 工程上常用的投影图,投影法的概念,投影面P,a 投影,b,S 投射中心,将光线通过物体向选定的平面投射，并在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。,上一页,下一页,返回目录,投影法的分类,1. 中心投影法 投射线汇交于一点。投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差2. 平行投影法 投射线互相平行。投影
2、大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好（1）斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影。（2）正投影 投射线与投影面垂直的平行投影。,上一页,下一页,返回目录,2.1.1 中心投影法,中心投影法 : 投射线汇交一点的投影法,上一页,下一页,返回目录,思考1,中心投影法时， 当物体沿投影面法线方向移动时其投影大小变不变？,思考2,在中心投影下，投影 能否反映物体的真实大小？,思考3,由1、2引出第三个思考： 中心投影能否满足工程图样的要求？,中心投影法的应用,中心投影法的应用,2.1.2 平行投影法,平行投影法 : 投射线相互平行的投影法 （投射中心位于无限远处）,平行投影法,斜投影法,正投影法
3、,工程图样 （零件图和装配图）,多面投影图,单面投影图, 单面投影图,辅助图样 （正等轴测图）,辅助图样（斜二轴测图）,上一页,下一页,返回目录,正投影法与斜投影法,正投影法：投射线与投影面相垂直的平行投影法。 斜投影法：投射线与投影面相倾斜的平行投影法。,上一页,下一页,返回目录,思考1,正投影法时， 沿投影方向移动物体 其正投影的大小变不变？,思考2,在正投影下， 物体的投影 有无可能反映 其某一个面的 实形？,思考3,由1、2引出第三个思考： 正投影能否满足 工程图样的绘制要求？,用正投影法绘制的图形能真实表达空间物体的形状和大小，作图较方便，因此，国家标准“图样画法”（GB/T 445
4、8.1-2002）中规定，工程图样采用正投影绘制。,2.1.3 正投影法的主要投影特性,1. 实形性 当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。2. 积聚性 当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。3. 类似性 当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。,上一页,下一页,返回目录,1. 实形性,P,当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。,上一页,下一页,返回目录,2. 积聚性,P,当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。,上一页,下一页,返回目录,3. 类似性,P,当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。,上一页,下一页,返回目录,2.1.4
5、工程上常用的投影图,1.正投影图（多面）,2.轴测图（单面）,3.透视图（单面）,4.标高投影图（单面）,上一页,下一页,返回目录,工程上常用的投影图,上一页,下一页,返回目录,2.2 点的投影,2.2.1 点在三投影面体系中的投影,2.2.2 两点之间的相对位置关系,上一页,下一页,返回目录,2.2.1 点在三投影面体系中的投影,上一页,下一页,返回目录,1. 三投影面体系的建立,2. 点的投影,3. 点的投影规律,4. 点的投影与直角坐标的关系,5. 特殊位置点的投影,6. 点在其他分角中的投影,1. 三投影面体系的建立,H,V,X,O,Z,Y,W,三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。
6、 H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。,上一页,下一页,返回目录,2. 点的投影,H,V,X,Z,Y,W,O,A,点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，H面向下旋转90，W面向右旋转90。,上一页,下一页,返回目录,3.点的投影规律,X,O,Z,YW,YH, 点的正面投影与水平投影的连线垂直OX轴，即aaOX 。,y,y, 点的正面投影与侧面投影的连线垂直OZ轴，即aaOZ 。, 点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。,例1 已知点A的
7、正面与侧面投影，求点A的水平投影。,Z,YH,X,YW,O,a,a,a,H,a,a,V,W,X,O,Z,YW,YH,ax,ay,az,ay,4. 点的投影与直角坐标的关系,点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。,H,V,X,Z,Y,W,O,A,ay,ax,az,x,y,z,a,a,a,a,上一页,下一页,返回目录,点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,H,V,上一页,下一页,返回目录,例2 已知点A 的坐标为（25,20,35)，求作点A 的三面投影。,X,YW,YH,Z,O,(1)在OX轴上截取坐标长度25，得到aX 点。,(2)过aX 点作OX轴垂线，在XOZ面截取
8、长度35得到投影a。,(3)在XOY面内截取坐标长度20，得到投影a。,a,a,25,aX,35,20,(4)通过 a和a两投影可得到投影a。,5.特殊位置点的投影,投影面上的点 一个投影与投影面重合，另两个投影投影轴上。 投影轴上的点 两个投影与投影轴重合，另一个投影在原点上。 与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。,上一页,下一页,返回目录,6. 点在其他分角中的投影,投影特点： (1) 第二分角中的B点, 其V面投影b和H面投影b都在X轴上方。(2) 第三分角中的C点, 其V面投影c在X轴下方, H面投影c在X轴的上方。 (3) 第四分角中的D点, 其V面投影d和H面投
9、影d都在X轴下方。,上一页,下一页,返回目录,2.2.2 两点之间的相对位置关系,两点相对位置的确定,2. 重影点,上一页,下一页,返回目录,1. 两点相对位置的确定,两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。,上一页,下一页,返回目录,2. 重影点,D,c(d),a(b),a,b,A,B,若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。,c,d,C,O,X,上一页,下一页,返回目录,重影点可见性判别,c(d),b,a(b),a,c,d,a,b,c,d,判
10、断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,上一页,下一页,返回目录,例3 已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的投影。,上一页,下一页,返回目录,2.3 直线的投影,2.3.2 直线对投影面的相对位置及投影特性,2.3.3 直线上的点,2.3.1 直线的三面投影,2.3.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角,2.3.5 两直线的相对位置,2.3.6 直角投影定理,上一页,下一页,返回目录,2.3.1 直线的三面投影,Z,X,a,a,a,O,YH,YW,b,b,b,空间任何一直线可由直线上任意两点所确
11、定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。,上一页,下一页,返回目录,2.3.2 直线对投影面的相对位置及投影特性,1.一般位置直线2.投影面平行线平行于一个投影面，与其它两个投影面倾斜的直线。 正平线: V，对H、W面倾斜水平线: H，对V、W倾斜侧平线: W对H、V倾斜 3.投影面垂直线垂直于一个投影面，与其它两个投影面平行的直线。 铅垂线：H面，V，W正垂线：V面，H，W侧垂线：W面，H，V,统称特殊位置直线,上一页,下一页,返回目录,1. 一般位置直线投影特性,投影特性：1、a b、 ab、a b均小于实长 2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3 、不反映 、
12、 、 实角,上一页,下一页,返回目录,2. 平行线投影特性,水平线 平行于水平投影面的直线,X,O,z,YH,YW,投影特性：1、ab OX ; ab OYW 2、ab=AB3、反映、 角的真实大小,上一页,下一页,返回目录,正平线 平行于正面投影面的直线,X,a,b,b,a,O,Z,YH,YW,投影特性： 1. ab OX ; a b OZ 2. a b=AB3. 反映、角的真实大小,上一页,下一页,返回目录,侧平线 平行于侧面投影面的直线,X,Z,O,YH,YW,投影特性： 1、ab OZ ; ab OYH 2、ab =AB3 、反映 、 角的真实大小,上一页,下一页,返回目录,2. 投影
13、面平行线的投影特性,1.直线在所平行的投影面上的投影,反映其实长和与其它两个投影面的倾角（具有实形性）。 2.直线在其它两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且小于实长（具有类似性）。,正平线,水平线,侧 平线,上一页,下一页,返回目录,3. 垂直线投影特性,投影特性：1、a b 积聚 成一点 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB,铅垂线 垂直于水平投影面的直线,上一页,下一页,返回目录,正垂线 垂直于正面投影面的直线,投影特性： 1、 ab积聚 成一点 2 、 ab OX ; ab OZ3 、 ab = ab =AB,上一页,下一页,返回目录,侧垂线 垂
14、直于侧面投影面的直线,投影特性：1、ab 积聚 成一点 2 、 ab OYH ; ab OZ3 、 ab = ab =AB,上一页,下一页,返回目录,3. 投影面垂直线的投影特性,正垂线,铅垂线,侧垂线,1.直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点（具有积聚性）。 2.直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴,且反映其实长（具有实形性）。,上一页,下一页,返回目录,直线上的点具有两个特性：1.从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。2.定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B =
15、a c : c b= ac : cb = ac : c b,2.3.3 直线上的点,C,c,上一页,下一页,返回目录,例4 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C的投影。,O,上一页,下一页,返回目录,例5 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。,X,O,A,B,b,b,a,a,c,C,c,H,V,O,b,X,a,a,b,c,上一页,下一页,返回目录,3. 直线的迹点,m,n,直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。,X,A,b,a,a,m,N n,b,B,M m,n,O,V,H,上一页,下一页,返回目录,2.3.4 一般位置线段的
16、实长及对投影面的倾角,|zA-zB|,过A作ACab得直角三角形ABC，其中AC=ab，BC=Bb-Aa=zB-zA，斜边AB即为实长，AB与AC的夹角即为AB对H面的倾角，这种方法称为直角三角形法。,|zB-zA |,AB,X,a,a,b,b,O,上一页,下一页,返回目录,作图要领,用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。,上一页,下一页,返回目录,直角三角形的四个要素,四个要素包括：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便
17、可确定另外两个。,上一页,下一页,返回目录,例5 已知 线段的实长AB以及ab和a，求它的正面投影ab。,a,X,a,b,A,O,B,b0,bb0,bb0,b,b,上一页,下一页,返回目录,若空间两直线互相平行，其各组同面投影必平行。反之，若两直线的各组同面投影都互相平行，则空间两直线必平行。,1.平行两直线,2.3.5 两直线的相对位置,上一页,下一页,返回目录,2.相交两直线,两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点符合点的投影规律。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点符合点 的投影规律，则该两直线相交。,O,上一页,下一页,返回目录,3.交叉两直线,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,上一页,下一页,返回目录,例6 判断两直线的相对位置,上一页,下一页,返回目录,例7 判断两直线重影点的可见性,O,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号,上一页,下一页,返回目录,作业,完成习题集2-1至2-7,
